Fondamenti di comunicazione: segnali e modelli

Il segnale

Un segnale è una grandezza fisica che varia nel tempo e porta un'informazione. L'elettrocardiogramma è un segnale elettrico $x(t)$; i segnali sismici misurati da più sensori sono un altro esempio. Un'immagine è un segnale di due variabili spaziali, e un video aggiunge il tempo. Gli strumenti per i segnali monodimensionali valgono in gran parte anche per quelli bidimensionali, ma cambiano le caratteristiche e la difficoltà.

Un segnale certo (o deterministico) ha forma nota; uno aleatorio si descrive con una densità di probabilità. Il rumore è un segnale aleatorio, e un rumore gaussiano ha densità gaussiana. Qui si trattano solo segnali monodimensionali certi, cioè funzioni del tempo:

$$x:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad t\mapsto x(t),\qquad -\infty<t<+\infty$$

Il modello di comunicazione

Una comunicazione ha una sorgente che produce il segnale, un mezzo che lo trasporta e un ricevitore a cui è destinato. Con i trasduttori si ottiene lo schema di un sistema di trasmissione:

SorgenteTrasduttore di sorgente (trasmettitore)Canale di comunicazioneTrasduttore di ricevitore (ricevitore)Ricevitore

• Trasduttore di sorgente (trasmettitore): converte il flusso informativo prodotto dalla sorgente in un segnale adatto alla trasmissione e lo trasmette nel canale.
• Canale di comunicazione: il mezzo trasmissivo in cui il segnale si propaga. Esempi: coppie simmetriche, cavi coassiali, radio, fibra ottica, luce in aria, infrarossi.
• Trasduttore di ricevitore (ricevitore): riceve il segnale dal canale e lo converte in una forma utilizzabile dall'utente finale.

Nel telefono cellulare le onde di pressione della voce diventano un segnale elettromagnetico; in ricezione la conversione si inverte e l'orecchio percepisce di nuovo onde di pressione. La scelta di trasduttori e canale influenza le prestazioni.

I disturbi del canale limitano la lunghezza del collegamento:

• attenuazione: l'ampiezza diminuisce con la distanza; in propagazione libera la potenza ricevuta diminuisce con il quadrato della distanza;
• distorsione: la forma del segnale cambia;
• rumore additivo: un segnale aleatorio che si somma a quello trasmesso;
• interferenza: più segnali attraversano contemporaneamente lo stesso mezzo.

Classificazione in tempo e ampiezza

Si guarda se l'asse del tempo e quello delle ampiezze sono continui o discreti. Un segnale a tempo continuo è $x(t)$; uno a tempo discreto è una sequenza $x_n$, con $n$ che assume solo valori interi.

	Ampiezza continua	Ampiezza discreta
Tempo continuo	analogico	quantizzato
Tempo discreto	campionato	digitale

• Analogico: continuo nel tempo e nell'ampiezza, può assumere qualsiasi valore reale. Una sinusoide, una gaussiana o una curva qualunque lo sono.
• Campionato: discreto nel tempo, continuo nell'ampiezza. Si ottiene prelevando dall'analogico un campione ogni $T$, il passo di campionamento; $x_n$ è il campione di indice $n$.
• Digitale: discreto nel tempo e nell'ampiezza. L'asse delle ampiezze si divide in intervalli e ogni campione è rappresentato dal valore medio del suo intervallo. A ciascun valore si associa una sequenza di bit.
• Quantizzato: continuo nel tempo, discreto nell'ampiezza. L'onda quadra e il segnale a gradini lo sono; lo è anche, idealmente, una luce che segue il codice Morse, se si ignorano gli intervalli fisici fra accensione e spegnimento.

Dall'analogico agli altri tre tipi

Tipo

AnalogicoCampionatoDigitaleQuantizzato

$t$

• segnale analogico $x(t)$

$T$

0,5

Intervallo di ampiezza

0,5

Segnali complessi

Un segnale complesso è una coppia di segnali reali, una parte reale $x_R(t)$ e una parte immaginaria $x_I(t)$:

$$x(t)=x_R(t)+\mathrm j\,x_I(t)$$

Si può descrivere anche con modulo e fase, altri due segnali reali:

$$\begin{gathered} x(t)=|x(t)|\,e^{\mathrm j\arg(x(t))}\\ |x(t)|=\sqrt{x_R^2(t)+x_I^2(t)}\\ \arg(x(t))=\operatorname{arctg}\frac{x_I(t)}{x_R(t)} \end{gathered}$$

I segnali misurati direttamente, come voce, elettrocardiogramma e segnale sismico, sono reali. Il modello complesso serve alle comunicazioni: due segnali reali $x_1(t)$ e $x_2(t)$ da trasmettere insieme si possono porre come parte reale e parte immaginaria di un solo segnale,

$$x(t)=x_1(t)+\mathrm j\,x_2(t)$$

che a ogni istante è un punto del piano complesso e porta entrambe le informazioni. Si trasmette un segnale invece di due: alcune modulazioni sfruttano questa idea.

L'esponenziale complesso

È il segnale complesso più importante del corso:

$$\begin{aligned} x(t)&=A\,e^{\mathrm j(2\pi f_0t+\varphi)}\\ &=A\cos(2\pi f_0t+\varphi)+\mathrm j\,A\sin(2\pi f_0t+\varphi) \end{aligned}$$

$A$ è l'ampiezza, $f_0$ la frequenza, $\varphi$ la fase. La parte reale è un coseno e quella immaginaria un seno, entrambi con frequenza $f_0$ e fase $\varphi$. Modulo e fase sono:

$$\begin{cases} |x(t)|=A\\ \arg(x(t))=2\pi f_0t+\varphi \end{cases}$$

Il modulo è costante, pari ad $A$, e la fase cresce linearmente nel tempo, partendo da $\varphi$ in $t=0$.

Esponenziale complesso

Parte reale, parte immaginaria e modulo

$t$

• $x_R(t)$
• $x_I(t)$
• $|x(t)|$

Fase

$\phi$$t$

• $\arg [x(t)]$

$A$

1

$f_0$

1

$\phi$

0,8

Segnali elementari

Rettangolo, triangolo e gradino unitario servono a eseguire a mano le operazioni sui segnali: la convoluzione, per esempio, è già faticosa da disegnare con due rettangoli. Quando si scrive $\operatorname{rect}(t)$ senza disegno si intende sempre questa definizione.

$$\operatorname{rect}(t)=\begin{cases} 1,&|t|<\tfrac12\\ \tfrac12,&|t|=\tfrac12\\ 0,&|t|>\tfrac12 \end{cases}$$

Il valore $1/2$ nei punti di discontinuità è una convenzione della teoria dei segnali.

$$\operatorname{tri}(t)=\begin{cases} 1+t,&t\in[-1,0]\\ 1-t,&t\in[0,1]\\ 0,&\text{altrimenti} \end{cases}$$

Con il modulo si scrive in modo compatto: $\operatorname{tri}(t)=1-|t|$ per $|t|\le1$, e $0$ altrove.

$$u_{-1}(t)=\begin{cases} 1,&t\ge0\\ 0,&\text{altrimenti} \end{cases}$$

Nel gradino unitario la discontinuità in $t=0$ ha valore $1$, ancora per convenzione.

Rettangolo, triangolo e gradino unitario

Segnale

rect(t)tri(t)gradino unitario

$t$

• $x(t)$

Operazioni sui segnali

Somma, prodotto e costante. Si calcolano istante per istante, come per le funzioni:

$$\begin{gathered} z(t)=x(t)+y(t)\\ z(t)=x(t)\,y(t)\\ z(t)=c\,x(t) \end{gathered}$$

L'ultima amplifica o attenua. Somma e prodotto possono corrispondere anche a sistemi fisici, per esempio alcuni filtri.

Traslazione. $z(t)=x(t-\tau)$. Se $\tau>0$ il grafico si sposta a destra (ritardo), se $\tau<0$ a sinistra (anticipo).

Per disegnarla si pone $t'=t-\tau$ e si segue un punto notevole. In $\operatorname{rect}(t-1)$ si ha $t'=t-1$: la discontinuità che stava in $t'=-1/2$ si trova ora in $t=1/2$, quella in $t'=1/2$ in $t=3/2$. La larghezza resta $1$: il rettangolo va da $1/2$ a $3/2$.

Scalatura dell'asse. $z(t)=x(\alpha t)$, con $\alpha>0$. Se $\alpha<1$ il segnale si dilata, se $\alpha>1$ si contrae.

La prova dei punti vale anche qui. In $\operatorname{tri}(t/3)$ si ha $\alpha=1/3$: i punti $\pm1$ di $\operatorname{tri}$ sono dove $t/3=\pm1$, cioè $t=\pm3$. Il triangolo, nullo fuori da $[-3,3]$, è dilatato.

Traslazione e scalatura

Traslazione

rect(t − 1)rect(t + 1)

Scalatura

tri(t/3)tri(2t)

Traslazione: $z(t)=x(t-\tau )$

$t$

• $\mathrm{rect}(t)$
• $z(t)$

Scalatura: $z(t)=x(\alpha t)$

$t$

• $\mathrm{tri}(t)$
• $z(t)$