Operazioni sui segnali e sequenze elementari

Riassunto

Le operazioni elementari sui segnali consentono di costruire nuove forme a partire da quelle fondamentali. La traslazione orizzontale sposta un segnale nel tempo; la scalatura orizzontale lo comprime o dilata. La sostituzione di variabile e il tracciamento dei punti notevoli permettono di ricavare il nuovo supporto e la nuova durata. La RECT e la TRI sono costrutti di base per le operazioni grafiche su segnali. La moltiplicazione punto per punto seleziona una regione di un segnale, mentre la somma lo estende. La sinc è il prodotto di $\sin(\pi t)$ per $1/(\pi t)$: oscilla con ampiezza decrescente e non ha durata finita in senso stretto. Le operazioni si estendono anche ai segnali a tempo discreto, descritti tramite sequenze numeriche, tra cui l'impulso discreto.

Concetti chiave

• RECT — segnale rettangolare unitario, nullo fuori dall'intervallo $[-1/2, 1/2]$, di valore 1 al suo interno e di valore convenzionale $1/2$ nei punti di discontinuità.
• TRI — segnale triangolare elementare, nullo fuori da $[-1, 1]$, con massimo unitario in $t=0$ e tratti lineari simmetrici.
• Supporto — insieme dei valori della variabile temporale per cui il segnale è diverso da zero.
• Durata — misura della lunghezza dell'intervallo in cui il segnale è diverso da zero.
• Traslazione — spostamento del segnale lungo l'asse del tempo; $x(t-\tau)$ sposta il segnale a destra se $\tau>0$ e a sinistra se $\tau<0$.
• Scalatura orizzontale — modifica della scala temporale moltiplicando la variabile nell'argomento; un fattore maggiore di 1 comprime il segnale, mentre un fattore tra 0 e 1 lo dilata.
• Seno cardinale (sinc) — segnale ottenuto dal prodotto di $\sin(\pi t)$ e $1/(\pi t)$, con valore 1 in $t=0$ per continuità e zeri negli interi diversi da zero.
• Sequenza — segnale a tempo discreto, descritto mediante una variabile intera come $n$.
• Impulso discreto — sequenza nulla per ogni indice tranne $n=0$, dove vale 1.

Sviluppo

Il rettangolo RECT e la scalatura orizzontale

Il segnale RECT è definito come 1 nell'intervallo $(-1/2, 1/2)$, zero altrove e $1/2$ nei punti di discontinuità. Applicando una scalatura orizzontale, il rettangolo viene compresso o dilatato.

Nell'esempio $\operatorname{rect}(t/3)$, la variabile è sostituita da $t/3$, quindi il segnale assume valore 1 quando $-1/2 < t/3 < 1/2$, ovvero quando $-3/2 < t < 3/2$. Il rettangolo è dilatato di un fattore 3 e i punti di discontinuità passano da $t = \pm 1/2$ a $t = \pm 3/2$.

Al contrario, $\operatorname{rect}(3t)$ è compresso: il valore è 1 quando $-1/2 < 3t < 1/2$, cioè quando $-1/6 < t < 1/6$. I punti di discontinuità sono ora $t = \pm 1/6$.

Se si moltiplicano i valori per una costante, come $2\operatorname{rect}(t/3)$, cambia anche l'ampiezza del rettangolo. Il metodo pratico per verificare le trasformazioni consiste nel tracciare i punti notevoli (discontinuità, zeri, massimi) e seguire il loro movimento sotto la trasformazione di variabile.

Traslazione nel tempo

La traslazione è descritta dalla formula $x(t-\tau)$. Se $\tau > 0$, il segnale si sposta a destra; se $\tau < 0$, si sposta a sinistra. Ad esempio, $\operatorname{rect}(t+2)$ è equivalente a $\operatorname{rect}(t-(-2))$, quindi il rettangolo si sposta di 2 unità a sinistra. I punti di discontinuità, originariamente in $t = \pm 1/2$, si trovano ora in $t = -2 \pm 1/2$, cioè in $t = -3/2$ e $t = -1/2$.

Combinazione di scalatura e traslazione

Quando scalatura e traslazione si combinano nell'argomento, come in $\operatorname{tri}(2t-3)$, si raccoglie il coefficiente davanti a $t$: $2(t - 3/2)$. Il triangolo è compresso orizzontalmente di un fattore 2 e traslato a destra di $3/2$. Il supporto del triangolo non scalato va da $-1$ a $1$; dopo la scalatura di fattore 2, diventa da $-1/2$ a $1/2$. Il traslamento lo sposta da $[-1/2 + 3/2, 1/2 + 3/2] = [1, 2]$. Il centro, corrispondente all'argomento zero, si trova in $t = 3/2$.

La tecnica consiste nel raccogliere il fattore, identificare il punto di simmetria e ricavare il supporto dalle disequazioni che descrivono il segnale originario.

Supporto e durata

Il supporto di un segnale è l'insieme dei tempi in cui è diverso da zero; la durata è la lunghezza di tale insieme. La scalatura orizzontale modifica la durata: il segnale $x(at)$ con $a > 1$ ha durata pari a quella di $x(t)$ divisa per $|a|$. Se la TRI elementare (supporto da $-1$ a $1$) è compressa di un fattore 2, il supporto diventa $[-1/2, 1/2]$ e la durata passa da 2 a 1.

Rettangolo traslato e dilatato

Per disegnare $\operatorname{rect}(t/10-4)$ si raccoglie il coefficiente di $t$ e si ottiene $\operatorname{rect}\left(\frac{t-40}{10}\right)$. Il rettangolo è centrato in 40 e dilatato orizzontalmente di un fattore 10: la durata passa da 1 a 10, quindi il supporto va da 35 a 45.

Moltiplicazione di segnali

Somma e prodotto di segnali si eseguono punto per punto e sono importanti per il filtraggio e per le operazioni di campionamento e di conversione analogico-digitale e digitale-analogica. Il prodotto è $z(t) = x(t) \cdot y(t)$. Un'operazione importante è moltiplicare per una RECT traslata, che agisce da "finestra": il segnale passa solo nell'intervallo in cui la RECT è diversa da zero ed è eliminato altrove.

Considerando $z(t) = \operatorname{rect}(t+1/2) \cdot \operatorname{tri}(t/2)$:

• La RECT è diversa da zero in $[-1, 0]$ con valore 1 (e $1/2$ ai bordi).
• La TRI dilatata ha supporto da $-2$ a $2$ e nel restringimento considerato coincide con $\operatorname{tri}(t/2) = 1 + t/2$ per $-1 < t < 0$.

Nel sottointervallo aperto $-1 < t < 0$, il prodotto è $1 \cdot (1 + t/2) = 1 + t/2$. Nei punti $t = -1$ e $t = 0$, la RECT vale $1/2$, quindi il prodotto vale $1/4$ e $1/2$ rispettivamente. Fuori dall'intervallo $[-1, 0]$, il prodotto è zero perché la RECT è zero.

La moltiplicazione per una RECT è alla base del filtraggio: consente di estrarre una porzione temporale di un segnale.

Somma di segnali

La somma di segnali si esegue punto per punto: $z(t) = x(t) + y(t)$. Quando i supporti sono disgiunti, la somma mantiene ambedue le forme nei loro intervalli senza sovrapposizioni.

Un esempio è la somma di $\operatorname{rect}(t/2 - 4)$ e $\operatorname{tri}(t + 2)$. Il rettangolo, dopo aver raccolto il fattore, diventa $\operatorname{rect}((t-8)/2)$, dilatato di un fattore 2 e centrato in 8, con supporto da 7 a 9. Il triangolo traslato a sinistra di 2 è centrato in $-2$ con supporto da $-3$ a $-1$. Poiché gli intervalli $[7, 9]$ e $[-3, -1]$ sono disgiunti, la somma non ha sovrapposizioni: vale la RECT nel primo intervallo e la TRI nel secondo.

Seno cardinale (sinc)

Il seno cardinale è il prodotto di $\sin(\pi t)$ per l'iperbole $1/(\pi t)$: $\operatorname{sinc}(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$. Il seno si annulla per interi di $t$, mentre il fattore $1/(\pi t)$ attenua l'ampiezza lontano dall'origine. La sinc oscilla attorno allo zero con un inviluppo decrescente.

In $t = 0$ l'espressione è una forma indeterminata che si risolve con il limite: $\lim_{t \to 0} \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} = 1$. Gli zeri si trovano in tutti gli interi diversi da zero.

A differenza della RECT e della TRI, la sinc non ha supporto di durata finita in senso stretto, poiché non diviene esattamente zero al di fuori di un intervallo. Per segnali che si attenuano, è utile fissare una soglia di attenuazione: il segnale è considerato trascurabile al di là di essa. La scelta della soglia è convenzionale e deve essere specificata; consente di definire un supporto e una durata operativi.

Segnali a tempo discreto e sequenze

I segnali esaminati finora sono a tempo continuo. I segnali a tempo discreto si descrivono come sequenze numeriche indicizzate da un intero $n$. Le operazioni su sequenze seguono le stesse logiche di quelle su segnali continui.

L'impulso discreto $\delta[n]$ vale 1 per $n = 0$ e zero per tutti gli altri interi.

Somma di impulsi traslati

La somma di impulsi discreti traslati $z[n] = \sum_{k=1}^{3} \delta[n+k]$ si espande in $\delta[n+1] + \delta[n+2] + \delta[n+3]$. Ciascun termine è un impulso unitario posizionato in $n = -1, -2, -3$ rispettivamente. La sequenza $z[n]$ è zero per tutti gli altri indici.

Formule e dimostrazioni

Definizione della RECT

$$\operatorname{rect}(t) = \begin{cases} 0, & t < -\frac{1}{2} \text{ oppure } t > \frac{1}{2},\\ \frac{1}{2}, & t = \pm\frac{1}{2},\\ 1, & -\frac{1}{2} < t < \frac{1}{2}. \end{cases}$$

Il valore nei punti di discontinuità è $1/2$ per convenzione.

Definizione della TRI

$$\operatorname{tri}(t) = \begin{cases} 1+t, & -1 \le t \le 0,\\ 1-t, & 0 < t \le 1,\\ 0, & |t| > 1. \end{cases}$$

Il segnale ha massimo 1 in $t = 0$, è simmetrico e ha supporto di lunghezza 2.

Scalatura e traslazione orizzontali

$$x(t-\tau), \qquad \operatorname{durata}\bigl(x(at)\bigr) = \frac{\operatorname{durata}(x)}{|a|}, \quad a \neq 0.$$

Per la traslazione, il segno di $\tau$ determina la direzione: positivo a destra, negativo a sinistra. La durata di un segnale scalato è inversamente proporzionale al fattore di scala.

Supporto e durata

$$S_x = \{t \in \mathbb{R} : x(t) \neq 0\}, \qquad D_x = \operatorname{lunghezza}(S_x).$$

Per segnali attenuati come la sinc, si definisce un supporto operativo con una soglia $\varepsilon$:

$$S_{x,\varepsilon} = \{t : |x(t)| > \varepsilon\}.$$

Prodotto della RECT traslata per la TRI dilatata

$$z(t) = \operatorname{rect}\left(t+\frac{1}{2}\right) \operatorname{tri}\left(\frac{t}{2}\right).$$

Nel sottointervallo $-1 < t < 0$ la RECT vale 1 e $\operatorname{tri}(t/2) = 1 + t/2$, quindi $z(t) = 1 + t/2$. Ai bordi, la RECT vale $1/2$:

$$z(t) = \begin{cases} 0, & t < -1 \text{ oppure } t > 0,\\ \frac{1}{4}, & t = -1,\\ \frac{1}{2}, & t = 0,\\ 1+\frac{t}{2}, & -1 < t < 0. \end{cases}$$

Definizione della sinc

$$\operatorname{sinc}(t) = \begin{cases} \dfrac{\sin(\pi t)}{\pi t}, & t \neq 0,\\ 1, & t = 0, \end{cases}$$

La sinc ha zeri in tutti gli interi $n \neq 0$ e tende a zero mentre $|t| \to \infty$.

Impulso discreto e somma di traslati

$$\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0,\\ 0, & n \neq 0, \end{cases} \qquad z[n] = \sum_{k=1}^{3} \delta[n+k].$$

La somma espande i tre impulsi unitari traslati in posizioni $n = -1, -2, -3$.