Dai limiti alle norme in ℝⁿ

Riassunto

Il limite di una funzione si definisce con gli intorni e i punti di accumulazione, prima sulla retta reale e poi in $\mathbb{R}^n$. Lo spazio $\mathbb{R}^n$ è dotato di operazioni vettoriali e di un prodotto scalare. La distanza dall'origine in uno spazio vettoriale si descrive mediante una norma, che deve soddisfare quattro proprietà. Accanto alla norma euclidea si hanno la norma 1, la norma infinito e la norma $p$, motivate con esempi di percorsi e movimenti. La disuguaglianza di Cauchy–Schwarz collega il prodotto scalare, le norme, l'angolo fra vettori e l'ortogonalità.

Concetti chiave

• Punto di accumulazione — punto tale che ogni suo intorno contiene almeno un punto dell'insieme considerato distinto dal punto stesso; non è necessario che appartenga all'insieme.
• Intorno sferico aperto — insieme dei punti a distanza minore di un raggio fissato da un punto dato; in $\mathbb{R}$ è un intervallo aperto simmetrico.
• Insieme derivato — insieme costituito da tutti i punti di accumulazione di un insieme.
• Punto isolato — punto appartenente a un insieme che non è di accumulazione per quell'insieme.
• Prodotto cartesiano — insieme delle coppie, o più in generale delle $n$-uple, i cui elementi appartengono nell'ordine agli insiemi dati.
• Spazio vettoriale $\mathbb{R}^n$ — insieme delle $n$-uple reali, chiuso rispetto alla somma componente per componente e alla moltiplicazione per uno scalare.
• Prodotto scalare — operazione tra due vettori che restituisce un numero reale, ottenuto sommando i prodotti delle componenti corrispondenti.
• Norma — funzione che associa a un vettore un numero reale e che misura la distanza del vettore dall'origine; soddisfa non negatività, definitezza, disuguaglianza triangolare e omogeneità.
• Norma euclidea — norma che calcola la radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti.
• Norma 1 — norma che somma i valori assoluti delle componenti; in due dimensioni corrisponde alla distanza Manhattan o taxicab.
• Norma infinito — norma che restituisce il massimo dei valori assoluti delle componenti.
• Disuguaglianza di Cauchy–Schwarz — disuguaglianza che maggiora il valore assoluto del prodotto scalare con il prodotto delle norme euclidee dei vettori.
• Vettori ortogonali — vettori non nulli il cui prodotto scalare, equivalentemente il coseno dell'angolo che formano, è zero.

Sviluppo

Dal limite alla nozione di vicinanza

Il limite si scrive $\lim_{x\to x_0}f(x)=L$ per una funzione di una variabile e, con la stessa notazione, per una funzione definita su punti con $n$ componenti. La notazione compatta raccoglie una definizione con $\varepsilon$ e $\delta$: scelta una tolleranza $\varepsilon$ per quanto si vuole che $f(x)$ sia vicino a $L$, esiste una distanza $\delta$ da $x_0$ che garantisce tale vicinanza. Il punto $x$ deve essere vicino a $x_0$, ma diverso da esso. Per poter parlare del limite, $x_0$ deve essere un punto di accumulazione del dominio di $f$.

In $\mathbb{R}$ la distanza fra due numeri si misura con il valore assoluto della loro differenza. Questa idea si estende agli spazi con più componenti.

Intorni sulla retta reale

Fissati un punto e un raggio, l'intorno sferico aperto in $\mathbb{R}$ è un intervallo aperto simmetrico centrato in quel punto. Per esempio, l'intorno di raggio $2$ del numero $3$ è l'intervallo aperto $(1,5)$, con gli estremi esclusi.

Un intorno di un numero può essere qualunque intervallo aperto che lo contenga: diversi intervalli aperti sono intorni di $3$, anche senza essere simmetrici o avere uno specifico raggio.

Punti di accumulazione in $\mathbb{R}$

Un punto è di accumulazione per un insieme se, comunque si scelga un intorno di quel punto, nell'intersezione fra l'intorno e l'insieme rimane almeno un punto distinto dal punto stesso. Il punto di accumulazione può appartenere o meno all'insieme.

Per l'insieme $(1,7]$, i punti $1$, $3$ e $7$ sono di accumulazione: $1$ non appartiene all'insieme, ma ogni suo intorno contiene punti dell'intervallo; $7$ vi appartiene e ogni suo intorno contiene punti dell'insieme. L'appartenenza all'insieme non è un requisito per essere punto di accumulazione.

Reali estesi e intorni di infinito

I reali estesi $\mathbb{R}^*$ si ottengono aggiungendo a $\mathbb{R}$ i simboli $+\infty$ e $-\infty$. Ogni numero reale è minore di $+\infty$ e maggiore di $-\infty$. Gli intorni di questi simboli permettono di formulare i limiti per $x$ che tende a più o meno infinito: sono costituiti dai numeri reali maggiori di una soglia (per $+\infty$) e dai numeri reali minori di una soglia (per $-\infty$). Per includere il centro dell'intorno si aggiunge il simbolo di infinito corrispondente.

Insieme derivato e punti isolati

L'insieme derivato di un insieme è l'insieme di tutti i suoi punti di accumulazione. Un punto appartenente all'insieme è isolato quando non è un punto di accumulazione: esiste quindi un intorno sufficientemente piccolo che non contiene altri punti dell'insieme. Un punto dell'insieme non isolato è invece anche un punto di accumulazione.

Per un intervallo come $(1,7)$, il derivato comprende tutti i punti dell'intervallo e anche gli estremi $1$ e $7$. Un insieme finito di punti distinti ha invece insieme derivato vuoto: ciascuno dei suoi punti è isolato.

Ordine, distanza e prodotto cartesiano

In $\mathbb{R}$ il valore assoluto rappresenta la distanza di un numero dall'origine; il valore assoluto della differenza rappresenta la distanza fra due numeri. La relazione d'ordine usuale sui reali è riflessiva, antisimmetrica e transitiva, ed è totale: presi due reali, uno è minore o uguale all'altro.

Il prodotto cartesiano di due insiemi contiene tutte le coppie con la prima componente nel primo insieme e la seconda nel secondo. Con più insiemi si ottengono triple o $n$-uple. In particolare, il prodotto cartesiano di $n$ copie di $\mathbb{R}$ è $\mathbb{R}^n$.

Su $\mathbb{R}^n$ si può usare l'ordine componente per componente, ma questo ordine non è totale: alcune coppie non sono confrontabili. Esistono ordini totali su $\mathbb{R}^n$ (per esempio quello lessicografico); l'ordine usato nel corso è però quello componente per componente, che non è totale.

Funzioni a più variabili e spazio vettoriale

Una funzione può dipendere da due, tre o $n$ variabili e restituire un numero reale; può anche restituire una $n$-upla di numeri reali. Lo spazio $\mathbb{R}^n$ è uno spazio vettoriale perché la somma componente per componente e il prodotto per uno scalare restituiscono ancora elementi di $\mathbb{R}^n$: si dice che è chiuso rispetto a queste operazioni.

Prodotti fra vettori

Fra i prodotti di vettori, il prodotto di Hadamard restituisce un vettore con componenti date dai prodotti delle componenti corrispondenti. Il prodotto diadico restituisce una matrice. Il prodotto interno, o prodotto scalare, restituisce un numero reale ed è quello usato più spesso.

Prodotto scalare e sue proprietà

Per calcolare il prodotto scalare si moltiplicano le componenti corrispondenti e si sommano i risultati. Se i vettori sono colonne, il prodotto si può rappresentare anche come prodotto della trasposta del primo vettore per il secondo. Il prodotto scalare è simmetrico, distributivo rispetto alla somma e omogeneo rispetto alla moltiplicazione per uno scalare.

Il prodotto scalare di un vettore con sé stesso è una somma di quadrati, quindi è non negativo. È uguale a zero soltanto se il vettore è quello nullo.

Proprietà del valore assoluto e norma euclidea

Il valore assoluto è non negativo, si annulla soltanto sullo zero, soddisfa la disuguaglianza triangolare ed è omogeneo rispetto al prodotto per uno scalare. Nel piano cartesiano, la distanza dall'origine di un punto di coordinate $(x,y)$ si ottiene con il teorema di Pitagora: è la radice quadrata della somma dei quadrati delle coordinate.

La disuguaglianza triangolare ha un'interpretazione geometrica: la lunghezza del segmento diretto dall'origine alla somma di due vettori non supera la lunghezza del percorso che va dall'origine al primo vettore e poi percorre il segmento corrispondente al secondo. Moltiplicare un vettore per uno scalare moltiplica la sua norma per il valore assoluto dello scalare.

In tre dimensioni si aggiunge il quadrato della terza coordinata; in $\mathbb{R}^n$ si sommano i quadrati di tutte le componenti. Questa distanza si chiama norma euclidea.

Norme 1 e infinito: esempi applicativi

La norma 1 somma i valori assoluti delle componenti. Trova applicazione nella distanza Manhattan: su una griglia stradale, per raggiungere una destinazione si cammina lungo i marciapiedi, e il percorso è dato dalla somma degli spostamenti sui due assi. La distanza si dice anche taxicab.

La norma infinito prende invece il massimo dei valori assoluti delle componenti. È utile nell'esempio di un plotter con due motori indipendenti che muovono una testina lungo assi ortogonali: il tempo di spostamento dipende dall'asse che richiede il tragitto più lungo. Un criterio analogo si applica alle gru con movimenti ortogonali: il tempo dipende dal maggiore dei tempi richiesti dai due movimenti.

Norma $p$, distanze e intorni in $\mathbb{R}^n$

La norma $p$ generalizza la norma 1 e la norma 2: con $p=1$ si ottiene la norma 1, con $p=2$ quella euclidea. Anche gli altri valori interi positivi di $p$ danno norme, tutte con le quattro proprietà descritte.

Una volta scelta una norma, la distanza fra due vettori si misura con la norma della loro differenza. Di conseguenza si definisce l'intorno sferico aperto di un punto in $\mathbb{R}^n$, usando la norma al posto del valore assoluto. In $\mathbb{R}$ le norme considerate coincidono con il valore assoluto.

Poiché $\mathbb{R}^n$ non è totalmente ordinato dall'ordine componente per componente, si considera un unico simbolo infinito, convenzionalmente più lontano da ogni elemento dello spazio; si introducono così intorni di tale simbolo usando la norma.

Una funzione che non è una norma

La funzione che associa a $(x_1,x_2,x_3)$ il massimo fra $0$ e le sue componenti non è una norma: sul vettore $(-1,-1,-1)$, distinto dall'origine, vale $0$. Viola quindi la proprietà secondo cui la norma si annulla soltanto sul vettore nullo. Per verificare che una funzione non è una norma basta trovare una delle proprietà che non soddisfa.

Disuguaglianza di Cauchy–Schwarz e ortogonalità

Per la norma euclidea, il valore assoluto del prodotto scalare fra due vettori non supera il prodotto delle loro norme. L'uguaglianza si verifica quando i vettori sono paralleli, cioè quando uno è un multiplo scalare dell'altro.

Se entrambi i vettori sono non nulli, si può dividere la disuguaglianza per il prodotto delle norme. Il rapporto fra il prodotto scalare e il prodotto delle norme è compreso tra $-1$ e $1$ ed è il coseno dell'angolo fra i vettori. Quando tale coseno è zero, i vettori sono ortogonali.

Formule e dimostrazioni

Definizione di limite in $\mathbb{R}$

$\lim_{x\to x_0} f(x)=L\quad\Longleftrightarrow\quad\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0:\;0<|x-x_0|<\delta\;\Longrightarrow\;|f(x)-L|<\varepsilon.$

Qui $x_0$ deve essere un punto di accumulazione del dominio di $f$; $\varepsilon$ controlla la vicinanza di $f(x)$ a $L$, mentre $\delta$ controlla la vicinanza di $x$ a $x_0$.

Intorno aperto di raggio $\rho$ in $\mathbb{R}$

$B(x_0,\rho)=\{x\in\mathbb{R}:|x-x_0|<\rho\}=(x_0-\rho,x_0+\rho).$

$x_0$ è il centro e $\rho>0$ è il raggio. Per esempio, $B(3,2)=(1,5)$.

Punto di accumulazione e insieme derivato

$y\text{ è di accumulazione per }A\quad\Longleftrightarrow\quad\forall\rho>0,\;\bigl(B(y,\rho)\cap A\bigr)\setminus\{y\}\ne\varnothing.$

$A'=\{y\in\mathbb{R}:y\text{ è punto di accumulazione per }A\}.$

$A$ è l'insieme considerato, $B(y,\rho)$ è l'intorno di centro $y$ e raggio $\rho$, e $A'$ è il suo derivato.

Reali estesi e intorni di infinito

$\mathbb{R}^*=\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}.$

$(A,+\infty]=\{x\in\mathbb{R}:x>A\}\cup\{+\infty\},\qquad[-\infty,B)=\{x\in\mathbb{R}:x<B\}\cup\{-\infty\}.$

$A$ e $B$ sono soglie reali; gli insiemi descrivono intorni dei rispettivi simboli di infinito.

Somma e prodotto per scalare in $\mathbb{R}^n$

$x+y=(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n),\qquad\alpha x=(\alpha x_1,\ldots,\alpha x_n).$

Qui $x,y\in\mathbb{R}^n$, $x_i,y_i$ sono le componenti e $\alpha\in\mathbb{R}$ è uno scalare.

Prodotto di Hadamard e prodotto diadico

$x\odot y=(x_1y_1,\ldots,x_ny_n),\qquad xy^{\mathsf T}=(x_i y_j)_{i,j}.$

Il prodotto di Hadamard è componente per componente e restituisce un vettore; il prodotto diadico restituisce una matrice. $x$ e $y$ sono vettori colonna e $y^{\mathsf T}$ è la trasposta di $y$.

Prodotto scalare

$x^{\mathsf T}y=\langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^{n}x_i y_i.$

Il risultato è uno scalare. Valgono la simmetria $x^{\mathsf T}y=y^{\mathsf T}x$, la distributività $x^{\mathsf T}(y+v)=x^{\mathsf T}y+x^{\mathsf T}v$ e l'omogeneità $(\alpha x)^{\mathsf T}y=\alpha(x^{\mathsf T}y)$.

Positività del prodotto scalare con sé stesso

$x^{\mathsf T}x=\sum_{i=1}^{n}x_i^2\ge 0,\qquad x^{\mathsf T}x=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=0.$

$x=0$ indica il vettore nullo. La somma dei quadrati è zero soltanto quando tutte le componenti sono nulle.

Quattro proprietà della norma

$\|x\|\ge 0,\qquad\|x\|=0\Longleftrightarrow x=0,\qquad\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|,\qquad\|\alpha x\|=|\alpha|\,\|x\|.$

$x,y$ sono vettori e $\alpha$ è uno scalare. Le proprietà esprimono non negatività, definitezza, disuguaglianza triangolare e omogeneità.

Norma euclidea

$\|x\|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}.$

È la distanza euclidea del vettore $x=(x_1,\ldots,x_n)$ dall'origine. In $\mathbb{R}^2$ è $\sqrt{x^2+y^2}$; in $\mathbb{R}^3$ è $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Norma 1 e norma infinito

$\|x\|_1=\sum_{i=1}^{n}|x_i|,\qquad\|x\|_\infty=\max_{1\le i\le n}|x_i|.$

La norma 1 somma le distanze percorse lungo le componenti; la norma infinito seleziona la componente di valore assoluto massimo.

Norma $p$

$\|x\|_p=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p\right)^{1/p},\qquad p\in\mathbb{N},\;p\ge 1.$

$p$ è l'esponente intero positivo: per $p=1$ si ottiene la norma 1 e per $p=2$ la norma euclidea.

Distanza e intorno in uno spazio normato

$d(x,y)=\|x-y\|,\qquad B(x_0,\rho)=\{x\in\mathbb{R}^n:\|x-x_0\|<\rho\}.$

La distanza fra $x$ e $y$ è la norma della loro differenza; $B(x_0,\rho)$ è l'intorno sferico aperto di centro $x_0$ e raggio $\rho$.

Esempio di funzione che non è una norma

$N(x_1,x_2,x_3)=\max\{0,x_1,x_2,x_3\},\qquad N(-1,-1,-1)=0.$

Poiché $(-1,-1,-1)\ne 0$, questa funzione si annulla anche su un vettore non nullo e non soddisfa la proprietà di definitezza.

Disuguaglianza di Cauchy–Schwarz

$|x^{\mathsf T}y|\le\|x\|_2\,\|y\|_2.$

L'uguaglianza vale se i vettori sono paralleli, cioè se uno è un multiplo scalare dell'altro.

Coseno dell'angolo e ortogonalità

Per $x,y\ne 0$,

$-1\le\frac{x^{\mathsf T}y}{\|x\|_2\,\|y\|_2}\le 1,\qquad\frac{x^{\mathsf T}y}{\|x\|_2\,\|y\|_2}=\cos\theta.$

$\theta$ è l'angolo fra i vettori. Se $x^{\mathsf T}y=0$, allora $\cos\theta=0$ e i vettori non nulli sono ortogonali.