Limiti, continuità e modelli lineari

Il limite con gli intorni

Una sola definizione contiene i limiti di funzioni di una o più variabili, a valori reali o vettoriali, e di successioni. Per $f:X\subseteq\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ e $x_0$ di accumulazione per $X$, $\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell$ significa

$$\begin{aligned} &\forall\,\mathcal U(\ell)\ \exists\,\mathcal N(x_0):\\ &x\in(\mathcal N(x_0)\cap X)\setminus\{x_0\}\\ &\qquad\Rightarrow f(x)\in\mathcal U(\ell) \end{aligned}$$

Cambiano solo gli intorni: in $\mathbb R$ si descrivono con il valore assoluto, in $\mathbb R^n$ con una norma. Con $\mathcal U(\ell)\cap(\ell,+\infty)$ al posto di $\mathcal U(\ell)$ il limite è per eccesso, $\ell^+$; con $\mathcal U(\ell)\cap(-\infty,\ell)$ è per difetto, $\ell^-$. Riguardano i valori di $f$, non il lato da cui si avvicina $x$.

Se $\ell\in\mathbb R^m$ è finito, il limite si studia per componenti:

$$\begin{aligned} &\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell\iff\\ &\lim_{x\to x_0}f_j(x)=\ell_j,\ j=1,\dots,m \end{aligned}$$

Con $\ell=\infty$ non vale: l'elemento infinito di $\mathbb R^m$ non ha componenti infinite. Una funzione vettoriale diverge quando $\|f(x)\|\to+\infty$.

Proprietà dei limiti

Una proprietà vale definitivamente per $x\to x_0$ se vale in $(\mathcal N(x_0)\cap X)\setminus\{x_0\}$ per qualche intorno $\mathcal N(x_0)$. Il limite è unico. Se $\ell>0$ ($\ell<0$), $f$ è definitivamente positiva (negativa).

Siano $f\to\ell_1$ e $g\to\ell_2$ per $x\to x_0$, con $x_0$ di accumulazione per l'intersezione dei domini. Allora

$$\begin{gathered} \alpha f\to\alpha\ell_1,\qquad f+g\to\ell_1+\ell_2,\qquad fg\to\ell_1\ell_2\\[0.4em] \frac fg\to\frac{\ell_1}{\ell_2}\quad\text{se }\ell_2\neq0 \end{gathered}$$

Se $\ell_2=0$ il rapporto si studia a parte: per esempio

$$\lim_{x\to0}\frac1{x^2}=+\infty$$

non si ottiene sostituendo il denominatore con zero. Con limiti infiniti:

• se $f\to+\infty$ e $g$ è definitivamente limitata inferiormente, $f+g\to+\infty$;
• se $f\to+\infty$ e $g\to\ell\in(0,+\infty]$, $fg\to+\infty$;
• se $f\to0$ e $g$ è definitivamente limitata, $fg\to0$;
• se $f\to0^+$, $1/f\to+\infty$; se $f\to+\infty$, $1/f\to0^+$.

Gli altri casi, come $+\infty-\infty$ e $+\infty\cdot0$, sono forme indeterminate e si studiano direttamente.

Confronto. Se $f\le h\le g$ definitivamente e $f,g\to\ell$, allora $h\to\ell$.

Funzione composta. Siano $f:X\to\mathbb R^m$ e $g:Y\subseteq\mathbb R^m\to\mathbb R$, con $f(x)\in Y$ per ogni $x\in X$. Se $f(x)\to\ell$ per $x\to x_0$, $g(y)\to k$ per $y\to\ell$ e $f(x)\neq\ell$ definitivamente, allora $g(f(x))\to k$. Per esempio

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin\sqrt x}{\sqrt x}=1$$

perché $\sqrt x\to0$, con $\sqrt x\neq0$ nel dominio, e $\frac{\sin t}{t}\to1$ per $t\to0$.

Successioni in $\mathbb R^n$

Una successione è una funzione $f:\{k\in\mathbb N:k\ge\bar k\}\to\mathbb R^n$, con $f(k)=x_k$; si scrive $\{x_k\}$. Il solo limite sensato è per $k\to\infty$: $+\infty$ è di accumulazione per $\mathbb N$, mentre $7$ non lo è.

$$\begin{aligned} \lim_{k\to\infty}x_k=\bar x\iff&\forall\varepsilon>0\ \exists k_\varepsilon:\\ &\|x_k-\bar x\|<\varepsilon\ \ \forall k\ge k_\varepsilon \end{aligned}$$

Una sottosuccessione $\{x_k\}_K$ si ottiene scegliendo gli $x_k$ con $k$ in un insieme infinito $K\subseteq\mathbb N$. Un punto limite è il limite di una sottosuccessione, $\lim_{k\to\infty,\,k\in K}x_k=\bar x$. La successione $(-1)^k$ ha due punti limite, $1$ e $-1$.

In $\mathbb R^n$ c'è un solo elemento infinito: la successione diverge, $\lim x_k=\infty$, quando i vettori si allontanano dall'origine oltre ogni soglia:

$$\forall M>0\ \exists k_M:\ \|x_k\|>M\ \ \forall k\ge k_M$$

Una successione è convergente se ha limite in $\mathbb R^n$, divergente se $x_k\to\infty$, irregolare se non è né l'una né l'altra. È limitata se $\|x_k\|\le M$ per ogni $k$; è illimitata se ha una sottosuccessione divergente, e non è la stessa cosa che essere divergente.

• Se $\{x_k\}$ converge, è limitata.
• $\{x_k\}$ converge se e solo se ogni sottosuccessione converge, e allora allo stesso limite. La freccia verso sinistra serve per negare la convergenza: due sottosuccessioni con limiti diversi bastano.
• Se è limitata, ha almeno un punto limite, ma non è detto che converga.
• Se tutti i termini stanno in un insieme compatto, una sottosuccessione converge a un punto dell'insieme, perché è chiuso.

Il teorema ponte

Collega i limiti di funzione a quelli di successione. Siano $f:X\subseteq\mathbb R^n\to\mathbb R$ e $x_0$ di accumulazione per $X$:

$$\begin{aligned} &\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell\iff\\ &\lim_{k\to\infty}f(x_k)=\ell \end{aligned}$$

per ogni successione $\{x_k\}\subseteq X\setminus\{x_0\}$ con $x_k\to x_0$. Serve soprattutto per mostrare che un limite non esiste: bastano due successioni verso $x_0$ lungo le quali $f(x_k)$ ha limiti diversi.

Sia $f(x,y)=\dfrac{x+y}{x-y}$, con dominio $x\neq y$, e si studi il limite per $(x,y)\to(0,0)$. I punti $p_k=(1/k,0)$ e $q_k=(0,1/k)$ appartengono al dominio e tendono entrambi all'origine, ma

$$f(p_k)=\frac{1/k}{1/k}=1,\qquad f(q_k)=\frac{1/k}{-1/k}=-1$$

Il limite non esiste. Si scrive $(x,y)\to(0,0)$, perché il punto del piano tende a un punto del piano; scrivere separatamente $x\to0$ e $y\to0$ non ha senso.

Due successioni verso l'origine

$(0,0)$$p_k$$q_k$$x$$y$

• retta $x=y$, fuori dal dominio

$k$

1

Restrizioni

Siano $f:X\subseteq\mathbb R^n\to\mathbb R$ e $A\subseteq X$. La restrizione di $f$ ad $A$ è $f|_A:A\to\mathbb R$, con $f|_A(x)=f(x)$ per ogni $x\in A$. Se $A$ è una retta o una curva, $f|_A$ è una funzione di una variabile.

Se $x_0$ è di accumulazione per $X$, con $\ell$ reale o infinito:

$$\begin{aligned} &\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell\iff\\ &\lim_{x\to x_0}f|_A(x)=\ell \end{aligned}$$

per ogni $A\subseteq X$ di cui $x_0$ è punto di accumulazione. Per mostrare che un limite esiste non è pratico: le restrizioni da controllare sono infinite. Per mostrare che non esiste bastano due restrizioni con limiti diversi. Si provano prima le più semplici, gli assi coordinati.

Primo esempio. Per $f(x,y)=\dfrac{x^2y^2}{x^6+y^3}$ nell'origine si prendono, senza l'origine, $A=\{y=0\}$, $B=\{x=0\}$ e $C=\{y=x^2\}$:

$$\begin{aligned} f|_A&=0,\qquad f|_B=0\\ f|_C(t,t^2)&=\frac{t^2\,t^4}{t^6+t^6}=\frac12 \end{aligned}$$

Sulla retta $y=2x$, senza l'origine,

$$f(x,2x)=\frac{4x^4}{x^6+8x^3}=\frac{4x}{x^3+8}\to0$$

Il limite lungo $A$ è $0$, quello lungo $C$ è $\tfrac12$: il limite di $f$ non esiste.

Le restrizioni nell'origine

$(0,0)$$x$$y$

• $A$, $B$: gli assi, $f=0$
• retta $y=2x$, $f\to 0$
• $C$: $y=x^2$, $f=\frac{1}{2}$
• $y=-x^2$, fuori dal dominio

Secondo esempio. Per $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ la restrizione a ciascun asse vale $0$, quella alla retta $y=x$ vale

$$\frac{x^2}{x^2+x^2}=\frac12$$

e il limite nell'origine non esiste.

Terzo esempio. Per $f(x,y)=\dfrac{3x+5y}{x^2+y^2}$ la restrizione all'asse $x$ è $3/x$. Sul semiasse $x>0$ tende a $+\infty$, su quello $x<0$ a $-\infty$: due restrizioni con limiti diversi, quindi il limite nell'origine non esiste.

Continuità

Sia $f:X\to\mathbb R$, $X\subseteq\mathbb R^n$. È continua in $x_0\in X$ quando $x_0$ è un punto isolato di $X$, per definizione, oppure è di accumulazione per $X$ e

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$

cioè il limite esiste e vale $f(x_0)$; per questo $x_0$ deve appartenere a $X$. Se è continua in ogni punto di $X$ si dice continua su $X$, o di classe zero.

Preservano la continuità in $x_0$ somme e differenze, prodotti per uno scalare, prodotti, il valore assoluto e il massimo fra $0$ e $f$, e il rapporto $f/g$ se $g(x_0)\neq0$. Se $f$ è continua in $x_0$ e $g$ in $f(x_0)$, anche $g(f(x))$ è continua in $x_0$.

La funzione $\varphi_i(x)=x_i$, che dà la componente $i$, è continua su $\mathbb R^n$, come $x\mapsto x$ su $\mathbb R$. Quindi sono continue su $\mathbb R^n$ le funzioni lineari $c^\top x=c_1x_1+\dots+c_nx_n$, somme di costanti per variabili, e quelle affini $c^\top x+d$.

Una forma quadratica di una variabile è $ax^2$; di due variabili è un polinomio omogeneo di secondo grado, che si scrive con una matrice: il coefficiente del termine misto tutto fuori diagonale, oppure diviso a metà.

$$\begin{aligned} ax^2+bxy+cy^2&= \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \end{aligned}$$

Una funzione quadratica è una forma quadratica $x^\top Qx$, con $Q$ non nulla, più una funzione affine:

$$f(x)=x^\top Qx+c^\top x+d$$

È continua su tutto $\mathbb R^n$: si costruisce con somme e prodotti di funzioni continue.

Formulare un problema di ottimizzazione

Ogni variabile ha un significato preciso e un'unità di misura, ed è non negativa se è una quantità. Vincoli e obiettivo usano unità coerenti.

Miscela per mangimi

Un'industria acquista cinque ingredienti A, B, C, D, E e li mescola per ottenere 920 kg di cibo per animali. Il prodotto contiene al più il 25% di grassi, almeno il 20% di carboidrati e dal 9% al 15% di proteine, e si vuole il costo minimo.

Ingrediente	Grassi	Proteine	Carboidrati	Costo (euro/kg)
A	28%	10%	35%	9
B	21%	13%	40%	7,5
C	19%	16%	41%	10
D	26%	11%	38%	12
E	24%	8%	28%	9,5

Sia $x_i$, con $i\in\{A,\dots,E\}$, la quantità in chilogrammi acquistata dell'ingrediente $i$:

$$\begin{aligned} \min\ &9x_A+7{,}5x_B+10x_C+12x_D+9{,}5x_E\\ &x_A+x_B+x_C+x_D+x_E=920\\ &x_i\ge0\\ &28x_A+21x_B+19x_C+26x_D+24x_E\le25\cdot920\\ &35x_A+40x_B+41x_C+38x_D+28x_E\ge20\cdot920\\ &10x_A+13x_B+16x_C+11x_D+8x_E\ge9\cdot920\\ &10x_A+13x_B+16x_C+11x_D+8x_E\le15\cdot920 \end{aligned}$$

La massa è un'uguaglianza perché nella miscela non si perde nulla. A sinistra dei grassi ci sono chilogrammi: a destra non può stare $0{,}25$, un numero puro, ma la parte di 920 kg, $0{,}25\cdot920$. I vincoli nutrizionali sono poi moltiplicati per $100$, così i coefficienti sono le percentuali della tabella.

Produzione su macchine

Quattro macchine $M_1,\dots,M_4$ producono ciascuna pezzi di tipo $P_1$ e $P_2$. Un pezzo costa lo stesso su una macchina qualunque sia il tipo.

	$M_1$	$M_2$	$M_3$	$M_4$
Capacità (pezzi)	3500	6000	5000	4000
Costo (euro/pezzo)	30	40	35	32

Un $P_1$ si vende a $80$ euro, un $P_2$ a $70$, e tutto si vende. Il totale $y_1$ di pezzi $P_1$ e il totale $y_2$ di $P_2$ bastano per il ricavo, ma non per i costi, che dipendono dalla macchina. Servono $x_i$ pezzi $P_1$ e $z_i$ pezzi $P_2$ prodotti su $M_i$: chi produce cosa.

$$\begin{aligned} \max\ &80y_1+70y_2-30(x_1+z_1)-40(x_2+z_2)\\ &\qquad-35(x_3+z_3)-32(x_4+z_4)\\ &y_1=\sum_i x_i,\qquad y_2=\sum_i z_i\\ &x_1+z_1\le3500,\quad x_2+z_2\le6000\\ &x_3+z_3\le5000,\quad x_4+z_4\le4000\\ &x_i\ge0,\quad z_i\ge0 \end{aligned}$$

Le $y$ non hanno bisogno del vincolo di segno: sono somme di quantità non negative.

Produzione di cavi

Si producono cavi da 10, 30 e 50 ampere. Siano $x_1,x_2,x_3$ i chilometri prodotti dei tre tipi. Per ogni chilometro servono le quantità in tabella; il cavo da 50 ampere non supera il 30% del totale.

Cavo	Isolante (kg)	Cond. A (kg)	Cond. B (kg)	Assemblaggio (ore)	Prezzo (euro)
10 A	100	200	0	6	95
30 A	150	0	350	7	155
50 A	160	150	150	8	200
Disponibile	1000	2000	1500	60

$$\begin{aligned} \max\ &95x_1+155x_2+200x_3\\ &100x_1+150x_2+160x_3\le1000\\ &200x_1+150x_3\le2000\\ &350x_2+150x_3\le1500\\ &6x_1+7x_2+8x_3\le60\\ &x_3\le0{,}3\,(x_1+x_2+x_3)\\ &x_1,x_2,x_3\ge0 \end{aligned}$$

Le prime quattro righe sono, nell'ordine, isolante, conduttore A, conduttore B, assemblaggio. Anche l'ultimo vincolo è lineare: a sinistra diventa $-0{,}3x_1-0{,}3x_2+0{,}7x_3\le0$.