Sistemi dinamici: modelli e analisi

Riassunto

La rappresentazione nello spazio di stato descrive i sistemi dinamici a tempo continuo e discreto mediante equazioni differenziali e alle differenze con matrici a coefficienti costanti. L'esempio massa-molla-smorzatore illustra come convertire un'equazione differenziale di secondo ordine in un sistema del primo ordine e come autovalori e autovettori descrivano il comportamento del modello. Una rete elettrica e il sistema meccanico mostrano che rappresentazioni diverse possono descrivere comportamenti analoghi; la diagonalizzazione consente di portare il sistema a coordinate modali dove l'evoluzione risulta disaccoppiata. Il modello di un corso di laurea illustra la modellazione discreta, sottolineando che il modello dipende dalle ipotesi adottate. Si introduce la linearizzazione locale dei sistemi non lineari intorno ai loro equilibri, usando il pendolo per distinguere un equilibrio stabile da uno instabile.

Concetti chiave

• Sistema a tempo continuo — sistema descritto usando una variabile temporale continua, con il tempo appartenente a $\mathbb{R}$.
• Sistema a tempo discreto — sistema descritto mediante istanti di campionamento o passi temporali cadenzati, indicati con $k$.
• Elemento con memoria — elemento, come il condensatore o l'induttanza, il cui comportamento dipende dalla storia del sistema e dalle condizioni iniziali.
• Variabile di stato — variabile, o insieme di variabili, che descrive lo stato del sistema e consente di rappresentarne la dinamica con equazioni differenziali del primo ordine.
• Ingresso — grandezza applicata al sistema che ne influenza il comportamento e sulla quale si può intervenire.
• Uscita — grandezza del sistema che si intende misurare, osservare o monitorare.
• Sistema lineare stazionario a dimensione finita — modello lineare con matrici a coefficienti costanti e vettore di stato di dimensione finita.
• Stazionarietà — proprietà per cui il comportamento dipende dal tempo trascorso dall'inizializzazione e non dall'istante assoluto in cui si osserva il sistema; nel modello presentato corrisponde a matrici $A,B,C,D$ costanti.
• Matrici simili — matrici $A$ e $\widetilde A$ per cui esiste una matrice invertibile $T$ tale che $\widetilde A=TAT^{-1}$; hanno gli stessi autovalori.
• Equilibrio — condizione in cui la velocità di variazione dello stato è nulla e, in assenza di sollecitazioni, il sistema resta in quella condizione.
• Equilibrio stabile — equilibrio per cui piccole perturbazioni producono traiettorie che ritornano verso la condizione di equilibrio, come il pendolo nella posizione verticale verso il basso.
• Equilibrio instabile — equilibrio per cui una piccola perturbazione allontana il sistema dalla condizione di equilibrio, come il pendolo capovolto.
• Linearizzazione — approssimazione di un sistema non lineare con un modello lineare valido nell'intorno di un punto di equilibrio, ottenuta sviluppando le funzioni al primo ordine.

Sviluppo

Leggi costitutive e memoria

La legge di Ohm per una resistenza esprime una relazione istantanea: la tensione ai suoi capi è il prodotto della resistenza per la corrente, entrambi valutati nello stesso istante.

Il condensatore si comporta diversamente: la relazione tra corrente e tensione è differenziale. Per conoscere la tensione in un istante occorre tenere conto di ciò che è avvenuto dall'istante iniziale e della condizione iniziale. Per questo condensatori e induttanze sono presentati come elementi con memoria.

Tempo continuo e tempo discreto

Nel sistema continuo il tempo varia con continuità. Un esempio di modello discreto è l'evoluzione demografica osservata tramite censimenti: si misura la popolazione a intervalli cadenzati e si calcola quella al passo successivo tenendo conto di nascite e decessi. Un modello più dettagliato suddivide la popolazione in fasce d'età, con coefficienti di natalità e mortalità specifici.

Rappresentazione nello spazio di stato

Per i sistemi continui si introduce la forma $\dot{x}=Ax+Bu, \qquad y=Cx+Du.$

Il vettore $x$ raccoglie le variabili di stato; $u$ è l'ingresso e $y$ l'uscita. Le dimensioni sono $x\in\mathbb{R}^n$, $u\in\mathbb{R}^m$ e $y\in\mathbb{R}^p$. Dato un processo, il primo passaggio di modellazione consiste nell'individuare ingresso e uscita, identificare lo stato e ricavare le equazioni che li collegano.

Sistemi lineari, stazionari e a dimensione finita

Il modello in forma di stato è un sistema di equazioni differenziali lineari, stazionarie e a dimensione finita. È lineare perché le equazioni sono lineari nelle variabili considerate; è stazionario perché le matrici $A,B,C,D$ non dipendono dal tempo. Si distingue così la dipendenza dall'istante assoluto dalla dipendenza dal tempo trascorso dall'inizializzazione.

Massa, molla e smorzatore

Il primo esempio meccanico è un carrellino di massa $M$ vincolato a muoversi lungo una guida e collegato a una molla e a uno smorzatore. La forza applicata è l'ingresso e lo spostamento del carrellino è l'uscita. L'equazione è del secondo ordine: la massa lega la forza all'accelerazione, la molla introduce una forza proporzionale allo spostamento e lo smorzatore una forza proporzionale alla velocità.

Senza attrito, il carrellino spostato e poi lasciato oscilla indefinitamente. Con smorzamento piccolo oscilla per un po' e poi si ferma; in un mezzo molto denso può invece tornare verso la posizione di equilibrio senza oscillazioni evidenti.

Dall'equazione del secondo ordine alle variabili di stato

Per costruire una rappresentazione del primo ordine si sceglie la posizione come prima variabile di stato e la velocità come seconda: $x_1=y$ e $x_2=\dot y$. La prima equazione diventa $\dot x_1=x_2$; la seconda si ottiene isolando l'accelerazione nell'equazione meccanica. Il procedimento si generalizza: un'equazione differenziale di ordine $n$ porta a uno stato con $n$ componenti.

Determinazione di $A$, $B$, $C$ e $D$

Le dimensioni dipendono dal numero di stati, ingressi e uscite: $A$ è $n\times n$, $B$ è $n\times m$, $C$ è $p\times n$ e $D$ è $p\times m$. I coefficienti delle variabili di stato nelle equazioni vanno nelle righe di $A$; quelli degli ingressi formano $B$. Dalla relazione di uscita si ricavano $C$ e $D$.

Per il carrellino, l'uscita è la posizione, quindi $y=x_1$; la matrice $C$ seleziona la prima componente dello stato e non c'è un collegamento diretto ingresso-uscita, quindi $D=0$.

Il modello come scatola nera e simulazione

Il modello può essere visto come una scatola: si applica una forza e si osserva la posizione, anche senza conoscere direttamente tutto ciò che accade al suo interno. Gli esperimenti sull'ingresso e sull'uscita possono aiutare a identificare il modello.

Nelle simulazioni, il comportamento massa-molla-smorzatore varia secondo i parametri. A smorzamento nullo la massa oscilla senza fermarsi; con massa $1$, costante elastica $4$ e smorzamento $5$ torna all'equilibrio senza oscillazioni; con massa $1$, costante elastica $10$ e smorzamento $2$ oscilla, ma le oscillazioni si attenuano.

Autovalori e comportamento del sistema meccanico

Le differenze osservate nel comportamento sono collegate agli autovalori della matrice $A$. Nei casi considerati essi possono essere reali distinti (come nel secondo esempio, con autovalori $-4$ e $-1$), complessi coniugati (come nel terzo, con autovalori $-1\pm 3i$) o coincidenti. Gli strumenti di algebra lineare già acquisiti servono quindi a interpretare il comportamento dinamico del modello.

Modellazione di una rete elettrica

Per il circuito con resistenze, condensatore e induttanza si scelgono come ingresso la tensione applicata e come uscita la corrente nell'induttanza. Si richiamano la legge delle maglie e quella dei nodi, insieme alle relazioni costitutive del condensatore e dell'induttanza. Una scelta possibile per lo stato è $x_1=V_C$ e $x_2=I_L$.

La matrice dinamica è $A=\begin{bmatrix}-\dfrac{1}{R_1C} & -\dfrac{1}{C} \\\dfrac{1}{L} & -\dfrac{R_2}{L}\end{bmatrix},$ coerente con le equazioni $u=v_{R_1}+v_C$, $v_C=v_L+v_{R_2}$ e $i_{R_1}=i_C+i_L$.

Rappresentazioni equivalenti e matrici simili

Il sistema elettrico e il sistema massa-molla-smorzatore possono avere un comportamento analogo per opportuni valori dei parametri. Due matrici simili hanno gli stessi autovalori. Una stessa dinamica può essere rappresentata in modi diversi scegliendo variabili di stato differenti; viceversa, processi fisici diversi possono essere descritti dalla stessa equazione differenziale. Il comportamento non dipende quindi dalla particolare rappresentazione scelta.

Diagonalizzazione e cambio di coordinate

Se la matrice è diagonalizzabile, un cambio di coordinate può portarla a una forma diagonale. In coordinate diagonali le componenti dello stato evolvono indipendentemente: ciascuna segue un'equazione scalare determinata dal proprio autovalore. La diagonalizzazione non è sempre possibile; il caso critico è quando la molteplicità geometrica di un autovalore non è sufficiente rispetto alla sua molteplicità algebrica.

Esempio di diagonalizzazione del sistema meccanico

Per $M=1$, $k=4$ e $b=5$, la matrice del sistema è $A=\begin{bmatrix}0&1\\-4&-5\end{bmatrix}.$

Il polinomio caratteristico è $\lambda^2+5\lambda+4$, con autovalori $-4$ e $-1$. Gli autovettori destri sono $(1,-4)^T$ e $(1,-1)^T$. Usando questi vettori come colonne di una matrice $V$, le coordinate modali sono $z=V^{-1}x$ e la matrice dinamica diventa diagonale con autovalori sulla diagonale.

L'uscita posizione è $y=z_1+z_2$. In assenza di forzamento, ciascuna componente modale evolve secondo il proprio autovalore: entrambe tendono a zero perché gli autovalori sono negativi. La soluzione scalare esponenziale permette di leggere direttamente la decrescita delle due componenti.

Revisione di algebra lineare e analisi

Gli strumenti di algebra lineare necessari sono rango e nucleo, determinanti e inverse, autovalori e autovettori, coordinate polari dei numeri complessi, cambio di base e dimensioni nei prodotti tra matrici. Per calcolare gli autovettori occorre che la matrice $A-\lambda I$ abbia una caduta di rango; per diagonalizzare servono abbastanza autovettori indipendenti. Si richiama inoltre che gli autovalori di una matrice diagonale sono gli elementi diagonali e che, per una matrice triangolare a blocchi, si possono ricavare dagli autovalori dei blocchi diagonali.

Un esempio è il blocco $\begin{bmatrix}2&2\\-2&2\end{bmatrix}$, i cui autovalori sono $2\pm 2i$. Si ripassa anche modulo e fase di un numero complesso e la condizione di compatibilità delle dimensioni nei prodotti tra matrici.

Radici dei polinomi e criterio di Routh

Poiché gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico, è importante capire il segno delle parti reali senza calcolare tutte le radici, soprattutto per sistemi di dimensione elevata. Il criterio di Routh è un metodo che generalizza la regola di Cartesio per determinare il segno delle radici.

Metodo delle tangenti per la radice quadrata

Un modello iterativo per calcolare la radice quadrata di un numero $A$ si ottiene riconducendo il problema alla soluzione di $x^2-A=0$ e applicando il metodo delle tangenti: si parte da un valore iniziale e si itera per approssimazioni successive. Si ottiene $x_{k+1}=x_k-\frac{x_k^2-A}{2x_k}=\frac12\left(x_k+\frac{A}{x_k}\right)$.

Modello discreto di un corso di laurea

Il corso viene modellato come sistema a tempo discreto con tre fasce: studenti del primo, secondo e terzo anno. Si assume che al primo anno entrino i nuovi immatricolati e i ripetenti; al secondo e terzo anno arrivino gli studenti promossi e restino quelli che ripetono. Dal terzo anno una parte si laurea e la parte restante ripete.

Le ipotesi escludono abbandoni e trasferimenti da o verso altri corsi di laurea o atenei. Le percentuali di ripetenza $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ sono comprese tra zero e uno. Il modello mostra che la qualità della descrizione dipende dalle ipotesi che si fanno sul processo.

Sistema idraulico non lineare

Si considera un serbatoio con ingresso regolato da una valvola e uscita caratterizzata da una portata. La variazione del volume è legata alla differenza tra portata entrante e uscente. La relazione di efflusso introduce una radice quadrata dell'altezza, perciò il modello contiene una funzione non lineare.

Pendolo e stabilità degli equilibri

Il pendolo è un esempio di sistema non lineare, perché nell'equazione compare $\sin\theta$. Si distinguono la posizione verticale verso il basso e quella capovolta: una piccola perturbazione nella prima tende a essere riassorbita, mentre nella seconda porta il pendolo ad allontanarsi dall'equilibrio.

Equilibri del pendolo

Per trovare gli equilibri si pone nulla la derivata dello stato e si considera il sistema senza ingresso. Ne segue che la velocità angolare è zero e che $\sin\theta=0$, quindi gli angoli di equilibrio sono i multipli di $\pi$. Le due classi rilevanti sono la posizione verso il basso e quella capovolta.

Linearizzazione con lo sviluppo di Taylor

Per studiare il comportamento vicino a un equilibrio si approssima il sistema non lineare con lo sviluppo di Taylor al primo ordine. Il termine costante si annulla nel punto di equilibrio; le derivate rispetto allo stato e all'ingresso definiscono le matrici locali $A$ e $B$. Ponendo $z=x-x_e$, dove $x_e$ è lo stato di equilibrio, si ottiene un modello lineare locale.

Modello linearizzato del pendolo

Nel punto verso il basso, gli autovalori del modello linearizzato hanno parte reale negativa: le traiettorie vicine convergono verso l'equilibrio, quindi esso è stabile. Nel punto capovolto, il polinomio caratteristico ha una radice con parte reale positiva e una con parte reale negativa; la traiettoria si allontana lungo la direzione instabile. L'analisi si svolge localmente: descrive il comportamento per perturbazioni piccole intorno all'equilibrio.

Forma canonica e polinomio caratteristico

Si richiama la matrice con una diagonale di uno sopra la diagonale principale, zeri altrove e coefficienti nell'ultima riga cambiati di segno. Il polinomio caratteristico associato è monico e i suoi coefficienti si leggono, con la convenzione indicata, dall'ultima riga. Questa struttura permette di collegare direttamente la matrice al polinomio.

Formule e dimostrazioni

Legge di Ohm

$V(t)=R I(t)$

$V(t)$ è la tensione ai capi della resistenza, $I(t)$ la corrente e $R$ la resistenza, assunta costante. La relazione è istantanea.

Condensatore

$i_C(t)=C\frac{d v_C(t)}{dt}$

$i_C$ è la corrente, $v_C$ la tensione e $C$ la capacità. La legge differenziale implica che la tensione dipende dall'evoluzione precedente e dalla condizione iniziale.

Induttanza

$v_L(t)=L\frac{d i_L(t)}{dt}$

$v_L$ è la tensione, $i_L$ la corrente e $L$ l'induttanza.

Equazioni di stato e di uscita

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t), \qquad y(t)=Cx(t)+Du(t)$

$x\in\mathbb{R}^n$ è lo stato, $u\in\mathbb{R}^m$ l'ingresso e $y\in\mathbb{R}^p$ l'uscita. Le matrici hanno dimensioni $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$, $B\in\mathbb{R}^{n\times m}$, $C\in\mathbb{R}^{p\times n}$ e $D\in\mathbb{R}^{p\times m}$.

Equazione meccanica: massa-molla-smorzatore

$M\ddot{y}(t)+b\dot{y}(t)+ky(t)=u(t)$

$M$ è la massa, $b$ il coefficiente di smorzamento, $k$ la costante elastica, $y$ lo spostamento e $u$ la forza applicata.

Variabili di stato e modello equivalente

$x_1=y,\qquad x_2=\dot{y}$

$$\dot{x}_1=x_2,\qquad \dot{x}_2=-\frac{k}{M}x_1-\frac{b}{M}x_2+\frac{1}{M}u$$

Quindi

$$A=\begin{bmatrix}0&1\\-\dfrac{k}{M}&-\dfrac{b}{M}\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0\\\dfrac{1}{M}\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix},\quad D=0.$$

Autovalori nell'esempio con $M=1$, $k=4$, $b=5$

$\det(\lambda I-A)=\lambda^2+5\lambda+4=(\lambda+4)(\lambda+1)$

Gli autovalori sono $-4$ e $-1$. I corrispondenti autovettori destri sono $(1,-4)^T$ e $(1,-1)^T$.

Relazioni costitutive e stato scelto per il circuito

$i_C=C\dot{v}_C,\qquad v_L=L\dot{i}_L,\qquad x_1=v_C,\quad x_2=i_L$

La matrice dinamica è

$$A=\begin{bmatrix} -\dfrac{1}{R_1C} & -\dfrac{1}{C} \\ \dfrac{1}{L} & -\dfrac{R_2}{L} \end{bmatrix}.$$

Le equazioni portano a $B=(1/(R_1C),0)^T$, $C=(0,1)$ e $D=0$. Nel confronto con il sistema meccanico si ha $M=R_1LC$, $b=R_1R_2C+L$ e $k=R_1+R_2$, dalla quale si ottiene l'equazione equivalente $R_1LC\,\ddot i_L+(R_1R_2C+L)\dot i_L+(R_1+R_2)i_L=u.$

Trasformazione di similarità

$\widetilde{A}=TAT^{-1}$

$T$ è invertibile. Matrici simili hanno gli stessi autovalori. Se le colonne di $V$ sono autovettori indipendenti, la scelta $z=V^{-1}x$ porta la matrice di stato alla forma diagonale $V^{-1}AV$.

Per l'esempio meccanico con autovalori $-4$ e $-1$:

$$V=\begin{bmatrix}1&1\\-4&-1\end{bmatrix},\qquad V^{-1}AV=\begin{bmatrix}-4&0\\0&-1\end{bmatrix}.$$

Dato che $y=x_1$, nelle coordinate modali $y=z_1+z_2$. In assenza di ingresso, le equazioni scalari sono $\dot z_1=-4z_1$ e $\dot z_2=-z_2$, con soluzioni esponenziali determinate dai rispettivi valori iniziali.

Equazioni di aggiornamento per il modello degli iscritti

$$\begin{aligned} x_1(k+1)&=\alpha_1x_1(k)+u(k),\\ x_2(k+1)&=(1-\alpha_1)x_1(k)+\alpha_2x_2(k),\\ x_3(k+1)&=(1-\alpha_2)x_2(k)+\alpha_3x_3(k),\\ y(k)&=(1-\alpha_3)x_3(k). \end{aligned}$$

$x_1,x_2,x_3$ sono gli iscritti rispettivamente al primo, secondo e terzo anno; $u$ sono i nuovi immatricolati; $y$ sono i laureati. $\alpha_i$ indica la quota che ripete l'anno corrispondente.

Forma matriciale del modello degli iscritti

$$A=\begin{bmatrix} \alpha_1&0&0\\ 1-\alpha_1&\alpha_2&0\\ 0&1-\alpha_2&\alpha_3 \end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}0&0&1-\alpha_3\end{bmatrix},\quad D=0.$$

La matrice $A$ è triangolare e i suoi autovalori sono $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$. Se ciascuno è strettamente minore di uno in modulo, i modi associati si attenuano come $\lambda^k$: in assenza di nuovi immatricolati la popolazione modellata tende a esaurirsi.

Equazione non lineare del pendolo

$ml\ddot{\theta}+mg\sin\theta+kl\dot{\theta}=u$

$m$ è la massa, $l$ la lunghezza, $g$ l'accelerazione di gravità, $k$ il coefficiente di attrito, $\theta$ l'angolo e $u$ l'ingresso.

Ponendo $x_1=\theta$ e $x_2=\dot\theta$:

$$\dot{x}_1=x_2,\qquad \dot{x}_2=-\frac{g}{l}\sin x_1-\frac{k}{m}x_2+\frac{1}{ml}u,\qquad y=x_1.$$

Punti di equilibrio del pendolo senza ingresso

$x_2=0,\qquad \sin x_1=0,\qquad x_1=q\pi,\quad q\in\mathbb{Z}.$

Le due classi rappresentano le posizioni verso il basso ($x_1=0$ modulo $2\pi$) e capovolta ($x_1=\pi$ modulo $2\pi$).

Linearizzazione al primo ordine

Per $\dot{x}=f(x,u)$, intorno a un equilibrio $(x_e,u_e)$ si definiscono

$$A=\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_e,u_e)},\qquad B=\left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{(x_e,u_e)}.$$

Con $z=x-x_e$ e trascurando i termini di ordine superiore:

$\dot{z}\approx Az+B(u-u_e).$

Nel punto verso il basso, con $u_e=0$:

$$A_0=\begin{bmatrix}0&1\\-\dfrac{g}{l}&-\dfrac{k}{m}\end{bmatrix},\qquad B_0=\begin{bmatrix}0\\\dfrac{1}{ml}\end{bmatrix},\qquad \det(\lambda I-A_0)=\lambda^2+\frac{k}{m}\lambda+\frac{g}{l}.$$

I parametri positivi danno autovalori con parte reale negativa nel caso discusso, associati a traiettorie che tornano verso l'equilibrio.

Nel punto capovolto:

$$A_{\pi}=\begin{bmatrix}0&1\\\dfrac{g}{l}&-\dfrac{k}{m}\end{bmatrix},\qquad \det(\lambda I-A_{\pi})=\lambda^2+\frac{k}{m}\lambda-\frac{g}{l}.$$

Il termine costante negativo comporta una radice con parte reale positiva e una con parte reale negativa: il punto di equilibrio è instabile.

Forma canonica e polinomio caratteristico

Per la matrice con uno sulla sovradiagonale e ultima riga $(-a_0,-a_1,\ldots,-a_{n-1})$, il polinomio caratteristico è

$p(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0.$

La struttura della matrice consente di leggere i coefficienti del polinomio dall'ultima riga, con segno cambiato.