Eccitabilità e osservabilità dei modi

Riassunto

La soluzione esplicita di un sistema lineare continuo separa l'evoluzione libera da quella forzata. Un modo compare nella risposta ingresso-uscita solo se è sia eccitabile dall'ingresso sia osservabile in uscita. Un esempio numerico mostra che la risposta ingresso-uscita può non rivelare alcuni modi presenti nel sistema, compreso un modo divergente. La risposta osservata potrebbe apparire convergente mentre il sistema contiene modi instabili. Infine, si introduce lo studio dei sistemi a tempo discreto: la soluzione ricorsiva ha una forma analoga al caso continuo, e il comportamento dei modi dipende dal modulo degli autovalori. Autovalori reali negativi producono modi alternanti, coppie complesse coniugate generano oscillazioni pseudoperiodiche, e modi con modulo unitario rimangono limitati.

Concetti chiave

• Evoluzione libera — risposta del sistema dovuta allo stato iniziale in assenza di ingresso.
• Evoluzione forzata — risposta del sistema dovuta all'ingresso applicato.
• Modo eccitabile — modo che compare nella risposta forzata dello stato quando la proiezione dell'ingresso sulle direzioni sinistre associate al modo è diversa da zero.
• Modo osservabile in uscita — modo che compare nell'evoluzione libera dell'uscita quando la trasformazione di uscita non annulla le direzioni destre associate al modo.
• Modo pseudoperiodico — modo associato a una coppia di autovalori complessi coniugati; combina un inviluppo esponenziale con segnali sinusoidali.
• Modo alternante — modo discreto associato a un autovalore reale negativo, il cui segno cambia a ogni passo.
• Matrice delle risposte impulsive nello stato — matrice che descrive la risposta dello stato a un impulso applicato a ciascun ingresso.
• Risposta impulsiva in uscita — risposta ingresso-uscita che contiene il legame diretto e i contributi modali forzati.
• Modo incontrollabile — modo che l'ingresso considerato non riesce ad attivare, perché la sua proiezione su $B$ è nulla.

Sviluppo

Evoluzione libera e decomposizione modale

La matrice esponenziale $e^{At}$ si esprime usando una base di autovettori. I modi reali hanno evoluzione esponenziale; una coppia di autovalori complessi coniugati produce termini sinusoidali modulati da un inviluppo esponenziale.

Per un autovalore reale, il contributo evolve lungo l'autovettore associato. Per una coppia complessa coniugata, la traiettoria si svolge nel piano individuato dai vettori reali associati alle parti reale e immaginaria degli autovettori corrispondenti. Se la parte reale degli autovalori è negativa, la spirale converge; se è positiva, diverge; se è nulla, la traiettoria è chiusa.

Una condizione iniziale generica attiva più modi. Scegliendo il vettore iniziale lungo un autovettore reale, si isola il modo corrispondente. Per una coppia complessa, una componente iniziale non nulla nel piano associato attiva il modo pseudoperiodico: i due autovalori complessi coniugati formano un unico modo che evolve su un piano bidimensionale.

Autovettori complessi coniugati nel piano reale

Gli autovettori associati a una coppia coniugata sono complessi. Le loro parti reale e immaginaria formano vettori reali che individuano il piano del modo. Si ottengono tramite un cambio di base dagli autovettori complessi; nel piano reale descrivono le direzioni della traiettoria modale.

Eccitabilità dell'evoluzione forzata

L'evoluzione forzata dello stato è una convoluzione dell'ingresso con la matrice $H(t)=e^{At}B$, chiamata matrice delle risposte impulsive. Se si applica un impulso a un ingresso, la risposta dello stato corrisponde alla colonna corrispondente di $H$.

Il ruolo di $B$ è analogo a quello di una condizione iniziale nella decomposizione modale: se il prodotto tra un autovettore sinistro e $B$ è nullo, il modo non compare nella risposta forzata dello stato, indipendentemente dal segnale applicato. Per una coppia complessa coniugata, il modo scompare solo se entrambi i prodotti associati alle direzioni reali del piano sono nulli.

Un modo assente in questa situazione è non eccitabile con l'ingresso considerato: appartiene alla dinamica del sistema, ma l'ingresso non riesce ad attivarlo, e per questo si parla anche di modo incontrollabile.

Osservabilità in uscita

L'evoluzione libera dell'uscita è descritta dalla matrice $\Psi(t)=Ce^{At}$. Un modo reale non compare nell'uscita per nessuna scelta della condizione iniziale se $CU_i=0$. Un modo pseudoperiodico non compare se sono nulli sia $CU_{jA}$ sia $CU_{jB}$.

Questi modi non sono osservabili in uscita. L'uscita rappresenta ciò che si misura; se un modo non è osservabile, le misure non lo rivelano. Questo crea il rischio di identificare un sistema senza accorgersi di un modo divergente: la risposta osservata potrebbe mostrare solo altri modi, generando un'impressione fuorviante del comportamento complessivo.

Modi nella risposta forzata ingresso-uscita

La risposta impulsiva in uscita è descritta da $W(t)=Ce^{At}B+D\delta(t)$. Il termine diretto $D\delta(t)$ non dipende dai modi; la parte $Ce^{At}B$ contiene i contributi modali.

Perché un modo compaia nella risposta ingresso-uscita deve essere contemporaneamente eccitabile e osservabile. Per un autovalore reale, le condizioni sono $V_i^TB\ne 0$ e $CU_i\ne 0$. Per una coppia complessa, ciascuna proprietà richiede che non siano entrambi nulli i prodotti associati alle due direzioni reali. La risposta ingresso-uscita contiene tutti e soli i modi che soddisfano entrambe le proprietà.

Esempio con tre modi

Si consideri un sistema con tre modi: uno divergente ($\lambda=2$), uno convergente ($\lambda=-1$) e uno limitato ($\lambda=0$). I dati sono: $A=\begin{bmatrix}0&-1&1\\0&-1&3\\0&0&2\end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \quad C=\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}, \quad D=0$

Gli autovettori destri sono $u_1=(1,0,0)^T$, $u_2=(1,1,0)^T$ e $u_3=(0,1,1)^T$, quelli sinistri $v_1^T=(1,-1,1)$, $v_2^T=(0,1,-1)$ e $v_3^T=(0,0,1)$. Si ha $v_1^TB=-1$, $v_2^TB=1$, $v_3^TB=0$ e $Cu_1=0$, $Cu_2=Cu_3=1$: queste proiezioni determinano l'eccitabilità e l'osservabilità.

Autovalore	Eccitabile	Osservabile
$\lambda_1=0$	Sì	No
$\lambda_2=-1$	Sì	Sì
$\lambda_3=2$	No	Sì

La matrice delle risposte impulsive nello stato contiene i primi due modi; l'evoluzione libera dell'uscita contiene il secondo e il terzo; la risposta impulsiva ingresso-uscita contiene solo il secondo modo. La risposta osservata è proporzionale a $e^{-t}$, pur essendo presente nel sistema anche il modo divergente $e^{2t}$ e il modo limitato a $\lambda=0$. Una risposta apparentemente convergente non basta a escludere una dinamica interna divergente.

Eccitazione di modi non osservati

Il crollo del ponte di Tacoma (Washington) è un esempio di modi trascurati: nel progetto erano stati trascurati dei modi a frequenze proprio vicine a quelle di un vento non particolarmente forte, che li ha eccitati fino al crollo. Come nell'esempio precedente, se una prova ingresso-uscita non rivela un modo, quel modo può comunque essere presente e causare problemi.

Sistemi a tempo discreto

I sistemi a tempo discreto sono descritti da equazioni di differenza ricorsive con indice temporale intero. Lo schema è analogo al caso continuo, con il ritardo al posto dell'integrazione. Applicando ricorsivamente l'equazione alle differenze si calcolano $x_1$ a partire da $x_0$, poi $x_2$ e $x_3$, sostituendo ogni volta lo stato del passo precedente; da questa espansione si ricava la soluzione esplicita dello stato al passo generico, e sostituendola nell'equazione di uscita si ottiene la soluzione dell'uscita.

Matrice di transizione e risposte impulsive discrete

Nel tempo discreto, la matrice di transizione è $\Phi(L)=A^L$; la matrice delle risposte impulsive nello stato è $H(L)=A^{L-1}B$; la trasformazione dell'uscita è $\Psi(L)=CA^L$. La risposta impulsiva ingresso-uscita vale $D$ all'istante zero e $CA^{L-1}B$ per $L>0$. Come nel continuo, le espressioni distinguono evoluzione libera e forzata; la matrice di transizione è una potenza di $A$ anziché un esponenziale di matrice.

Comportamento dei modi discreti

Nel discreto il comportamento modale dipende dal modulo dell'autovalore. Se $|\lambda|>1$, il modo diverge; se $|\lambda|<1$, converge; se $|\lambda|=1$, rimane limitato. Per esempio, $2^L$ cresce, e anche $(-2)^L$ si allontana dall'origine, ma assumendo valori di segno alterno; con autovalore $-1$ la componente alterna tra valori opposti senza divergere né convergere.

Gli autovalori reali positivi corrispondono a modi aperiodici; quelli reali negativi a modi alternanti, per i quali il segno alterna a ogni passo mentre il modulo controlla la convergenza o divergenza. Le coppie complesse coniugate producono oscillazioni pseudoperiodiche: il modulo controlla l'ampiezza (convergente, limitata o divergente) e l'argomento controlla la frequenza d'oscillazione.

Potenze di matrici con autovalori complessi

Per una coppia di autovalori complessi coniugati, si scrive $\alpha+j\omega$ in coordinate polari come $\sigma e^{j\varphi}$, dove $\sigma$ è il modulo e $\varphi$ l'argomento. Elevando il blocco reale associato alla coppia alla potenza $L$, appaiono termini con $\sigma^L$, $\cos(L\varphi)$ e $\sin(L\varphi)$. La formula si verifica per induzione: il caso base e il passo ricorsivo, basato sulle formule di addizione di seno e coseno, completano la dimostrazione.

Formule e dimostrazioni

Decomposizione modale continua

Per autovalori reali con molteplicità algebrica e geometrica coincidenti e coppie complesse coniugate:

$$\begin{aligned} e^{At}={}&\sum_{i=1}^{\mu}e^{\lambda_i t}U_iV_i^T\\ &+\sum_{j=1}^{\nu}e^{\alpha_jt}\Big[\cos(\omega_jt)\big(U_{jA}V_{jA}^T+U_{jB}V_{jB}^T\big)\\ &\hspace{31mm}+\sin(\omega_jt)\big(U_{jA}V_{jB}^T-U_{jB}V_{jA}^T\big)\Big]. \end{aligned}$$

$\lambda_i$ sono gli autovalori reali; $\alpha_j\pm j\omega_j$ sono le coppie complesse coniugate; $U_i,U_{jA},U_{jB}$ sono le direzioni destre reali e $V_i,V_{jA},V_{jB}$ le direzioni sinistre corrispondenti.

La condizione iniziale nella base reale si scrive come:

$$x(0)=\sum_{i=1}^{\mu}c_iU_i+\sum_{j=1}^{\nu}\big(c_{jA}U_{jA}+c_{jB}U_{jB}\big).$$

Parti reale e immaginaria degli autovettori complessi

$$U_A=\frac{U+\overline{U}}{2}, \quad U_B=\frac{U-\overline{U}}{2j},$$

dove $U$ e $\overline{U}$ sono gli autovettori complessi coniugati associati a $\alpha+j\omega$ e $\alpha-j\omega$.

Eccitabilità e osservabilità nel continuo

Per un modo reale:

$$\text{eccitabile} \iff V_i^TB\ne 0, \quad \text{osservabile} \iff CU_i\ne 0.$$

Per una coppia complessa coniugata:

$$\text{eccitabile} \iff (V_{jA}^TB,\,V_{jB}^TB)\text{ non sono entrambi nulli},$$ $$\text{osservabile} \iff (CU_{jA},\,CU_{jB})\text{ non sono entrambi nulli}.$$

La risposta impulsiva ingresso-uscita contiene un modo solo se esso è sia eccitabile sia osservabile.

Soluzione del sistema discreto

Con indice temporale intero e condizione iniziale al passo zero:

$$x_{L+1}=Ax_L+Bu_L, \quad y_L=Cx_L+Du_L.$$

La soluzione dello stato è:

$$x_L=A^Lx_0+\sum_{\tau=0}^{L-1}A^{L-1-\tau}B\,u_\tau,$$ $$y_L=CA^Lx_0+\sum_{\tau=0}^{L-1}CA^{L-1-\tau}B\,u_\tau+Du_L.$$

Matrici discrete:

$$\Phi(L)=A^L, \quad H(L)=A^{L-1}B, \quad \Psi(L)=CA^L,$$ $$\bar{h}(L)=\begin{cases} D, & L=0,\\ CA^{L-1}B, & L>0. \end{cases}$$

Potenza del blocco associato a una coppia complessa

Ponendo $\alpha=\sigma\cos\varphi$ e $\omega=\sigma\sin\varphi$:

$$\left(\sigma\begin{bmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi\\ -\sin\varphi & \cos\varphi \end{bmatrix}\right)^L =\sigma^L\begin{bmatrix} \cos(L\varphi) & \sin(L\varphi)\\ -\sin(L\varphi) & \cos(L\varphi) \end{bmatrix}.$$

$\sigma$ è il modulo dell'autovalore complesso e $\varphi$ l'argomento; $L$ è un intero non negativo. La dimostrazione per induzione verifica il caso base e dimostra il passo successivo usando le formule di addizione di seno e coseno.