Laboratori · Sistemi Dinamici

Massa, molla e smorzatore

Un carrello di massa M è legato a un blocco fisso da una molla di costante K e da uno smorzatore di coefficiente b: M ÿ + b ẏ + K y = u. Con u = 0 tiri il carrello, lo lasci e guardi l'evoluzione libera dello stato x = (y, ẏ). Cambia M, K e b: autovalori, autovettori, traiettoria e formule si aggiornano insieme.

Banco di provasottosmorzato: oscillazioni smorzate
Trascina il carrello e lascialo

Forma implicita, con x = (y, ẏ)

x˙=A x+B u\dot x = A\,x + B\,u
A=(01−KM−bM)=(01−4,00−0,80)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[2pt] -\frac{K}{M} & -\frac{b}{M} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \htmlClass{lab-n}{-4{,}00} & \htmlClass{lab-n}{-0{,}80} \end{pmatrix}
B=(01M)=(01,00)B = \begin{pmatrix} 0 \\[2pt] \frac{1}{M} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \htmlClass{lab-n}{1{,}00} \end{pmatrix}
y=C x+D uy = C\,x + D\,u
C=(10)C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}
D=0D = 0
Esempi degli appunti

1 Autovalori di A

Autovalori nel piano complesso
Autovalori nel piano complesso-5-4-3-2-1012-2-1012ReIm
In grigio, gli autovalori al variare di b.
Polinomio caratteristico
det⁡(λI−A)=λ2+bMλ+KM=λ2+0,80 λ+4,00\det(\lambda I - A) = \lambda^2 + \tfrac{b}{M}\lambda + \tfrac{K}{M} = \lambda^2 + \htmlClass{lab-n}{0{,}80}\,\lambda + \htmlClass{lab-n}{4{,}00}
Autovalori
λ=−0,40±j 1,96\lambda = \htmlClass{lab-n}{-0{,}40} \pm j\,\htmlClass{lab-n}{1{,}96}
Pulsazione naturale e smorzamento
ωn=2,00,ξ=0,20\omega_n = \htmlClass{lab-n}{2{,}00}, \qquad \xi = \htmlClass{lab-n}{0{,}20}
Stabilità: asintoticamente stabile
max⁡Re⁡λ=−0,40<0\max \operatorname{Re}\lambda = \htmlClass{lab-n}{-0{,}40} < 0

2 Autovettori e stato iniziale

Piano di fase, stato x = (y, ẏ)
Piano di fase, stato x = (y, ẏ)-1,5-1-0,500,511,5-4-2024uauby [m]ẏ [m/s]
Trascina il punto per cambiare x₀.
Autovettori
u=ua+j ub,ua=(1,00−0,40),ub=(0,001,96)u = u_a + j\,u_b, \quad u_a = \begin{pmatrix} \htmlClass{lab-n}{1{,}00} \\ \htmlClass{lab-n}{-0{,}40} \end{pmatrix}, \quad u_b = \begin{pmatrix} \htmlClass{lab-n}{0{,}00} \\ \htmlClass{lab-n}{1{,}96} \end{pmatrix}
Lo stato iniziale lungo gli autovettori
x0=(1,000,00)=1,00 ua+0,20 ubx_0 = \begin{pmatrix} \htmlClass{lab-n}{1{,}00} \\ \htmlClass{lab-n}{0{,}00} \end{pmatrix} = \htmlClass{lab-n}{1{,}00}\,u_a + \htmlClass{lab-n}{0{,}20}\,u_b

3 Forma esplicita

Uscita y(t) = C x(t)
Uscita y(t) = C x(t)0246810121416-1,5-1-0,500,511,5t [s]y [m]
In chiaro, l'inviluppo.
Forma esplicita, con u = 0
x(t)=Φ(t) x0+∫0tH(t−τ) u(τ) dτ=eAtx0x(t) = \Phi(t)\,x_0 + \int_0^t H(t-\tau)\,u(\tau)\,d\tau = e^{At}x_0
Lo stato
x(t)=e−0,40 t[(1,00cos⁡θ+0,20sin⁡θ)(1,00−0,40)+ (0,20cos⁡θ−1,00sin⁡θ)(0,001,96)],θ=ωt=1,96 t\begin{aligned} x(t) = e^{\htmlClass{lab-n}{-0{,}40}\,t}\Big[ &\big(\htmlClass{lab-n}{1{,}00}\cos\theta + \htmlClass{lab-n}{0{,}20}\sin\theta\big)\begin{pmatrix} \htmlClass{lab-n}{1{,}00} \\ \htmlClass{lab-n}{-0{,}40} \end{pmatrix} \\ +\, &\big(\htmlClass{lab-n}{0{,}20}\cos\theta - \htmlClass{lab-n}{1{,}00}\sin\theta\big)\begin{pmatrix} \htmlClass{lab-n}{0{,}00} \\ \htmlClass{lab-n}{1{,}96} \end{pmatrix}\Big], \\ & \theta = \omega t = \htmlClass{lab-n}{1{,}96}\,t \end{aligned}
L'uscita
y(t)=e−0,40 t(1,00cos⁡1,96t+0,20sin⁡1,96t)y(t) = e^{\htmlClass{lab-n}{-0{,}40}\,t}\big(\htmlClass{lab-n}{1{,}00}\cos \htmlClass{lab-n}{1{,}96}t + \htmlClass{lab-n}{0{,}20}\sin \htmlClass{lab-n}{1{,}96}t\big)