# Capitolo 9: Funzioni differenziabili Appunti di lezione di Tommaso C. per BIAR (Ingegneria Informatica e Automatica, Sapienza). Progetto indipendente, non ufficiale Sapienza. - Materia: Programmazione Matematica - Documento: C2 - Pagine: 18 - Aggiornato il: 2026-10-16 - Argomenti: Differenziabilità in Rn, Iperpiano tangente, Regole di differenziazione, Differenziale totale, Gradiente della norma, Vettori di funzioni differenziabili, Regola della catena - Lettore: /programmazione-matematica-c2/9 - PDF: /notes/programmazione-matematica-c2/9.pdf?v=f1ad5cbb92 > Testo estratto dal PDF compilato: le formule perdono l'impaginazione (apici, pedici, frazioni, matrici) e le figure mancano. Per una formula esatta, apri la pagina nel lettore. Un link come /programmazione-matematica-c2/9?page=N apre la pagina N. ## Indice - Differenziabilità in Rn (pagina 1) - Conseguenze della differenziabilità (pagina 1) - Iperpiano tangente (pagina 2) - Regole di differenziazione (pagina 2) - Il teorema del differenziale totale (pagina 4) - Gradiente della norma (pagina 5) - Vettori di funzioni differenziabili (pagina 6) - Regole per vettori di funzioni (pagina 8) - Esercizi (pagina 10) - Soluzioni (pagina 13) ## Pagina 1 [Apri nel lettore](/programmazione-matematica-c2/9?page=3) 1 Differenziabilità in Rn Definizione – Funzione differenziabile f : Rn → R è differenziabile in x0 ∈ Rn se esiste un vettore a ∈ Rn tale che, per x → x0, f (x) = f (x0) + aT(x − x0) + o∥x − x0∥. È la definizione del Capitolo 8 per R, con due cambi: la costante diventa un vettore a, che dipende da x0, e il prodotto a(x − x0) diventa il prodotto scalare aT(x − x0). L’errore o(∥x − x0∥) tende a 0 più rapidamente della distanza da x0: lim x→x0 f (x) − f (x0) − aT(x − x0) ∥x − x0∥ = 0. Vicino a x0, quindi, f si approssima con la funzione affine f (x0) + aT(x − x0): f è linearizzabile in x0. Con x = x0 + d la definizione dice la stessa cosa in funzione dello spostamento d: f (x0 + d) = f (x0) + aTd + o(∥d∥) per ∥d∥ → 0. Differenziabile e derivabile sono due proprietà diverse: derivabile vuol dire che esistono le derivate parziali (Capitolo 8). Il legame è nella prossima sezione. 2 Conseguenze della differenziabilità Proposizione – Proprietà di una funzione differenziabile Se f : Rn → R è differenziabile in x0, con vettore a, allora: 1. f è continua in x0; 2. f è derivabile in x0 e ∇f (x0) = a; 3. f ammette in x0 la derivata direzionale lungo ogni direzione d̸ = 0, e Df (x0, d) = ∇f (x0)Td. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 1 ## Pagina 2 [Apri nel lettore](/programmazione-matematica-c2/9?page=4) Dimostrazione Dalla definizione, nella forma con x e in quella con d: 1. per x → x0 sia aT(x − x0) sia o(∥x − x0∥) tendono a 0, quindi f (x) → f (x0); 2. con lo spostamento td, t > 0: f (x0 + td) − f (x0) = t aTd + o(t∥d∥); si divide per t e, per t → 0+, il rapporto incrementale tende a aTd, quindi Df (x0, d) = aTd; 3. con d = ei e d = −ei si ha Df (x0, ei) = ai e Df (x0, −ei) = −ai; per la proposizione del Capitolo 8 su parziali e direzionali esiste ∂f (x0)/∂xi = ai, per ogni i: ∇f (x0) = a, e il passo 2 dà il punto 3. □ Il vettore della definizione è dunque il gradiente, e da qui si scrive ∇f (x0) al posto di a. Il punto 3 è la regola per le derivate direzionali: un numero, il prodotto scalare fra il gradiente e la direzione. L’ipotesi di differenziabilità non si può togliere: la Sezione 5 mostra che cosa succede senza. In una variabile derivabile e differenziabile coincidono (Capitolo 8). In Rn, con n ≥ 2, no: f differenziabile in x0 =⇒ f derivabile in x0, ma non vale il viceversa. Le due funzioni del Capitolo 8, Sezione 7, sono derivabili nell’origine ma non continue; per il punto 1 della proposizione non sono differenziabili. 3 Iperpiano tangente Definizione – Iperpiano tangente e vettore normale Se f : Rn → R è differenziabile in x0, l’iperpiano tangente al grafico di f nel punto (x0, f (x0)) è H = (x, y) ∈ Rn+1 : y = f (x0) + ∇f (x0)T(x − x0) , Il vettore normale all’iperpiano, e al grafico di f in quel punto, è −∇f (x0) 1 ! ∈ Rn+1. • L’iperpiano è il grafico della funzione affine che approssima f vicino a x0. • Sta in Rn+1, come il grafico di f : n coordinate per x e una per y. Per n = 2 è un piano di R3 (Figura 1); per n = 1 è la retta tangente del Capitolo 8, con normale (−f ′(x0), 1). • Il vettore normale ha n + 1 componenti: le prime n sono quelle di −∇f (x0), l’ultima è 1. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 2 ## Pagina 3 [Apri nel lettore](/programmazione-matematica-c2/9?page=5) x1 x2 y Figura 1: Il grafico di f (x1, x2) = 4 − x2 1 − x2 2 (in azzurro) e, nel punto (x0, f (x0)) con x0 = (1, 1 2 )T, un tratto del piano tangente (in arancione) e, in rosso, la direzione del vettore normale (−∇f (x0), 1) = (2, 1, 1). 4 Regole di differenziazione Verificare la differenziabilità con la definizione richiede un limite in n variabili. Due strumenti lo evitano: le regole di questa sezione, che costruiscono funzioni differenziabili da altre che lo sono, e il teorema del differenziale totale (Sezione 5). Proposizione – Regole di differenziazione Siano f, g : Rn → R differenziabili in x0, λ ∈ R e ψ : R → R derivabile in g(x0). Sono differenziabili in x0, con gradiente: 1. somma e multiplo: ∇(f + g)(x0) = ∇f (x0) + ∇g(x0), ∇(λf )(x0) = λ∇f (x0); 2. prodotto: ∇(f g)(x0) = g(x0)∇f (x0) + f (x0)∇g(x0); 3. composta: ∇(ψ ◦ g)(x0) = ψ′g(x0) ∇g(x0); 4. reciproco, se g(x0)̸ = 0: ∇  1 g  (x0) = − 1 g(x0)2 ∇g(x0); 5. rapporto, se g(x0)̸ = 0: ∇ f g  (x0) = g(x0)∇f (x0) − f (x0)∇g(x0) g(x0)2 . Sono le regole di derivazione di una variabile, con il gradiente al posto della derivata. Nella composta ψ è una funzione di una variabile: in R derivabile e differenziabile coincidono. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 3 ## Pagina 4 [Apri nel lettore](/programmazione-matematica-c2/9?page=6) Dimostrazione I punti 4 e 5 seguono dalle regole 2 e 3: 1. 1/g = ψ ◦ g con ψ(t) = 1/t, derivabile in t = g(x0)̸ = 0 con ψ′(t) = −1/t2; la regola 3 dà il punto 4; 2. f /g = f · l con l = 1/g; per la regola 2 e il punto 4, ∇ f g  (x0) = 1 g(x0)∇f (x0) − f (x0) g(x0)2 ∇g(x0) = g(x0)∇f (x0) − f (x0)∇g(x0) g(x0)2 . □ Le regole bastano già per molte funzioni: • una funzione lineare cTx (Capitolo 7) è differenziabile in ogni punto, con gradiente c: coincide con la propria approssimazione affine, con errore nullo; • somme e prodotti di funzioni lineari danno le funzioni quadratiche e, più in generale, i polinomi, differenziabili su tutto Rn. 5 Il teorema del differenziale totale Teorema – Del differenziale totale Siano f : Rn → R e x0 ∈ Rn. Se 1. f è derivabile in ogni punto di un intorno di x0, e 2. le derivate parziali, cioè le componenti di ∇f , sono continue in x0, allora f è differenziabile in x0. L’esistenza delle derivate parziali non basta; serve anche che siano continue. Il viceversa, «differenziabile ⇒ continua e derivabile», è la proposizione della Sezione 2. In pratica: si calcola ∇f nel punto generico, si guarda dove le sue componenti sono continue, e lì si usa Df (x0, d) = ∇f (x0)Td. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 4 ## Pagina 5 [Apri nel lettore](/programmazione-matematica-c2/9?page=7) Esempio – Derivate direzionali di ex2+y2 e di sin(x2 + y2) Nel Capitolo 8 si sono calcolati i gradienti ∇ex2+y2 = 2ex2+y2 x y ! , ∇ sin(x2 + y2) = 2 cos(x2 + y2) x y ! . Le componenti sono continue su tutto R2, quindi per il teorema le due funzioni sono differenziabili in ogni punto, e le derivate direzionali lungo d = (1, 1)T sono la somma delle componenti del gradiente: 1. per f (x, y) = ex2+y2 in (−2, 1): Df (−2, 1), d = −4e5 + 2e5 = −2e5; 2. per f (x, y) = sin(x2 + y2) in (1, −1): Df (1, −1), d = 2 cos 2 − 2 cos 2 = 0. Senza differenziabilità la formula può sbagliare. La funzione del Capitolo 8 che vale 0 sugli assi e 1 fuori ha ∇f (0, 0) = 0, quindi ∇f (0, 0)Td = 0 per ogni d; ma lungo d = (1, 1)T la derivata direzionale non esiste, perché il rapporto incrementale tende a +∞. 6 Gradiente della norma Proposizione – Gradiente della norma euclidea 1. g(x) = ∥x∥2 2 è differenziabile su tutto Rn e ∇g(x) = 2x. 2. f (x) = ∥x∥2 è differenziabile in ogni x̸ = 0 e ∇f (x) = x ∥x∥2 ; nell’origine non è differenziabile. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 5 ## Pagina 6 [Apri nel lettore](/programmazione-matematica-c2/9?page=8) Dimostrazione Si scrivono le funzioni con le componenti. 1. g(x) = x2 1 + · · · + x2 n è un polinomio, differenziabile ovunque. La variabile xi compare solo in x2 i , quindi ∂g(x)/∂xi = 2xi, e il vettore delle derivate è 2x. 2. f = ψ ◦ g con ψ(t) = √t, derivabile per t > 0 con ψ′(t) = 1 2√t . Per x̸ = 0 si ha g(x) > 0 e la regola della composta dà ∇f (x) = 1 2p∥x∥2 2 2x = x ∥x∥2 . 3. Nell’origine f (he1) = |h|, e il rapporto incrementale |h|/h vale 1 per h > 0 e −1 per h < 0: la derivata parziale rispetto a x1 non esiste, f non è derivabile in 0 e quindi, per la Sezione 2, non è differenziabile. □ Le derivate parziali si possono anche fare direttamente: rispetto a x1, la derivata della radice per quella dell’argomento dà ∂f (x) ∂x1 = 2x1 2px2 1 + · · · + x2 n = x1 ∥x∥2 , e lo stesso per le altre variabili. Le componenti xi/∥x∥2 sono continue fuori dall’origine, e il teorema del differenziale totale conferma la differenziabilità su Rn \ {0}. Gli Esercizi 2 e 3 usano i due gradienti per scrivere l’iperpiano tangente al grafico di 1 + ∥x∥2 2 e di 1 + ∥x∥2. 7 Vettori di funzioni differenziabili Definizione – Vettore di funzioni differenziabile g : Rn → Rm è differenziabile in x0 ∈ Rn se esiste una matrice A, m × n, tale che lim ∥d∥→0 ∥g(x0 + d) − g(x0) − Ad∥ ∥d∥ = 0. La matrice A si chiama derivata prima di g in x0. È la definizione della Sezione 1 con un vettore al posto di un numero: g(x0 + d) − g(x0) sta in Rm, la direzione d in Rn, quindi al posto del vettore a serve una matrice m × n, che dipende da x0. Al numeratore c’è una norma perché la differenza è un vettore. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 6 ## Pagina 7 [Apri nel lettore](/programmazione-matematica-c2/9?page=9) Proposizione – Differenziabilità e Jacobiana Siano g : Rn → Rm e x0 ∈ Rn. 1. Se g è differenziabile in x0, allora g è continua in x0, esiste la Jacobiana Jg(x0) e la derivata prima è Jg(x0). 2. Se Jg esiste in ogni punto di un intorno di x0 ed è continua in x0, allora g è differenziabile in x0. Dimostrazione Per un vettore v ∈ Rm vale |vi| ≤ ∥v∥ ≤ |v1| + · · · + |vm|: v tende a 0 se e solo se ogni componente tende a 0. 1. Quindi g è differenziabile in x0, con matrice A, se e solo se ogni componente gi lo è, con vettore la riga i di A trasposta. 2. Punto 1: per la Sezione 2 ogni gi è continua e la riga i di A è ∇gi(x0)T, cioè la riga i di Jg(x0). 3. Punto 2: le righe di Jg sono i gradienti delle gi; per il teorema del differenziale totale ogni gi è differenziabile in x0, e il passo 1 conclude. □ Come per m = 1, l’esistenza della Jacobiana non basta: serve la differenziabilità, oppure la Jacobiana continua del punto 2, che si usa come criterio. Per m = 1 il punto 2 è il teorema del differenziale totale. Da qui la derivata prima si scrive Jg(x0), e vicino a x0 il vettore di funzioni affini L(x) = g(x0) + Jg(x0)(x − x0) approssima g con errore o(∥x − x0∥). Nel punto vale L(x0) = g(x0). Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 7 ## Pagina 8 [Apri nel lettore](/programmazione-matematica-c2/9?page=10) Esempio – Jacobiana e approssimazione affine Sia g : R3 → R3, g(x) =    4x3 1x3 + x2x3 x1x3 − 12x2 2 x4 1 + x1x2    . Le derivate parziali della componente i formano la riga i; nella terza componente x3 non compare, quindi l’ultimo elemento è 0: Jg(x) =    12x2 1x3 x3 4x3 1 + x2 x3 −24x2 x1 4x3 1 + x2 x1 0    . Gli elementi sono polinomi, continui su R3: g è differenziabile ovunque. In x0 = (1, 0, 1)T: g(x0) =    4 1 1    , Jg(x0) =    12 1 4 1 0 1 4 1 0    , e il vettore di funzioni affini che approssima g vicino a x0 è L(x) = g(x0) + Jg(x0)    x1 − 1 x2 x3 − 1    =    12x1 + x2 + 4x3 − 12 x1 + x3 − 1 4x1 + x2 − 3    . Qui la Jacobiana è simmetrica, ma non è la regola: in generale non è nemmeno quadrata. Questa g è il gradiente di una funzione di tre variabili (Esercizio 1), e allora Jg raccoglie derivate seconde. 8 Regole per vettori di funzioni Proposizione – Mappe lineari e affini Siano A una matrice m × n e b ∈ Rm. Le funzioni h(x) = Ax e g(x) = Ax + b sono differenziabili su tutto Rn e Jh(x) = Jg(x) = A. Dimostrazione La componente i di Ax è ai1x1 + · · · + ainxn, con derivata parziale aij rispetto a xj : la Jacobiana ha elemento aij in riga i e colonna j, cioè è A, costante e quindi continua. Il vettore costante b ha derivate nulle. □ Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 8 ## Pagina 9 [Apri nel lettore](/programmazione-matematica-c2/9?page=11) Per m = 1, con A = cT, è il gradiente c della funzione lineare cTx (Sezione 4). In gradienti: ∇(Ax) = AT. Proposizione – Gradiente del prodotto scalare Siano g, h : Rn → Rm differenziabili in x e f (x) = g(x)Th(x) = Pm i=1 gi(x)hi(x). Allora f è differenziabile in x e ∇f (x) = Jg(x)Th(x) + Jh(x)Tg(x) = ∇g(x) h(x) + ∇h(x) g(x). Dimostrazione f è una somma di prodotti di funzioni differenziabili, quindi è differenziabile (Sezione 4). 1. Per la regola del prodotto, ∇f (x) = Pm i=1 hi(x)∇gi(x) + Pm i=1 gi(x)∇hi(x). 2. La prima somma combina le colonne ∇g1(x), . . . , ∇gm(x) con coefficienti h1(x), . . . , hm(x): è il prodotto della matrice ∇g(x), che ha quelle colonne, per il vettore h(x). 3. Allo stesso modo la seconda è ∇h(x) g(x), e ∇g = JT g , ∇h = JT h (Capitolo 8). □ Proposizione – Gradiente della forma quadratica Sia Q una matrice n × n, non necessariamente simmetrica. Allora ∇xTQx = (Q + QT) x. Se Q è simmetrica, ∇(xTQx) = 2Qx e ∇1 2 xTQx = Qx. Dimostrazione xTQx è il prodotto scalare di g(x) = x e h(x) = Qx, con Jg = I e Jh = Q: ∇xTQx = IT Qx + QTx = (Q + QT) x. Con Q = QT si ha Q + QT = 2Q. □ Si ritrova la matrice simmetrica del Capitolo 7: xTQx = xTSx con S = 1 2 (Q + QT), e 2Sx = (Q + QT)x. Per questo il fattore 1 2 si mette spesso davanti alle forme quadratiche: il gradiente diventa Qx. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 9 ## Pagina 10 [Apri nel lettore](/programmazione-matematica-c2/9?page=12) Teorema – Regola della catena Siano g : Rn → Rm differenziabile in x e h : Rm → Rp differenziabile in g(x). Allora f = h ◦ g : Rn → Rp è differenziabile in x e Jf (x) = Jh g(x) Jg(x), ∇f (x) = ∇g(x) ∇hg(x). La forma con le Jacobiane segue l’ordine della composizione, prima h e poi g; quella con i gradienti si ottiene trasponendo, perché il trasposto di un prodotto scambia l’ordine: ∇f (x) =  Jh g(x) Jg(x) T = Jg(x)TJh g(x)T. Le dimensioni tornano, ed è il primo controllo da fare: Funzione Jacobiana Gradiente g : Rn → Rm Jg(x), m × n ∇g(x), n × m h : Rm → Rp Jh(g(x)), p × m ∇h(g(x)), m × p f = h ◦ g : Rn → Rp Jf (x), p × n ∇f (x), n × p Per m = p = 1, con h = ψ funzione di una variabile, Jψ = ψ′ e la regola dà ∇(ψ ◦ g)(x) = ∇g(x) ψ′g(x): è la regola 3 della Sezione 4. Gli Esercizi 4 e 5 la usano con p = 1. Riepilogo • Differenziabile: f (x) = f (x0) + ∇f (x0)T(x − x0) + o(∥x − x0∥), cioè linearizzabile in x0. • Conseguenze: differenziabile ⇒ continua, derivabile e Df (x0, d) = ∇f (x0)Td; in Rn non vale il viceversa. • Iperpiano tangente: y = f (x0) + ∇f (x0)T(x − x0) in Rn+1, normale (−∇f (x0), 1). • Regole: ∇(f g) = g∇f + f ∇g, ∇(ψ ◦ g) = ψ′(g) ∇g, ∇(f /g) = (g∇f − f ∇g)/g2. • Differenziale totale: derivate parziali (o Jg) in un intorno, continue in x0 ⇒ differenziabile in x0. • Norma: ∇∥x∥2 2 = 2x; ∇∥x∥2 = x/∥x∥2 per x̸ = 0, non differenziabile in 0. • Vettore di funzioni: g(x) = g(x0) + Jg(x0)(x − x0) + o(∥x − x0∥); JAx+b = A. • Regole vettoriali: Jh◦g(x) = Jh(g(x)) Jg(x); ∇(gTh) = JT g h + JT h g; ∇(xTQx) = (Q + QT)x. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 10 ## Pagina 11 [Apri nel lettore](/programmazione-matematica-c2/9?page=13) 9 Esercizi Esercizio 1 – Una funzione di tre variabili Data la funzione f (x1, x2, x3) = x4 1x3 + x1x2x3 − 4x3 2 e il punto x0 = (1, 1, 2)T: 1. calcolare il gradiente ∇f (x); 2. determinare la funzione affine che meglio approssima f vicino a x0; 3. scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (x0, f (x0)); 4. dire se il piano tangente sta in R2 oppure in R3; 5. calcolare la derivata direzionale di f in x0 lungo d = (−1, 1, 0)T. Soluzione a pagina 13 → Esercizio 2 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti B e M, esercizio 2 Sono assegnate le funzioni g : R3 → R2 e f : R2 → R così definite: g(x1, x2, x3) = 1 ∥x∥2 2 ! , f (y1, y2) = y1 + y2, x0 =    1 1 2    , e la funzione h : R3 → R composizione di f e g, cioè h(x) = f (g(x)). 1. Calcolare la Jacobiana Jg(x) e il vettore ∇h(x). 2. Scrivere l’equazione che definisce il piano tangente al grafico di h nel punto x0, determinandone anche il vettore normale. Soluzione a pagina 13 → Esercizio 3 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti C e N, esercizio 2 Sono assegnate le funzioni g : R3 → R2 e f : R2 → R così definite: g(x1, x2, x3) = 1 ∥x∥2 ! , f (y1, y2) = y1 + y2, x0 =    1 2 1    , e la funzione h : R3 → R composizione di f e g, cioè h(x) = f (g(x)). 1. Calcolare la Jacobiana Jg(x) e il vettore ∇h(x). Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 11 ## Pagina 12 [Apri nel lettore](/programmazione-matematica-c2/9?page=14) 2. Scrivere l’equazione che definisce il piano tangente al grafico di h nel punto x0, determinandone anche il vettore normale. Soluzione a pagina 14 → Esercizio 4 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti J e U, esercizio 2 Sono assegnate le funzioni g : R3 → R2 e f : R2 → R così definite: g(x1, x2, x3) = x1 + ∥x∥2 x2 + x3 ! , f (y1, y2) = y1y2, x0 =    1 1 1    , e la funzione h : R3 → R composizione di f e g, cioè h(x) = f (g(x)). 1. Calcolare la Jacobiana Jg(x) e il vettore ∇h(x). 2. Scrivere l’equazione che definisce il piano tangente al grafico di h nel punto x0, determinandone anche il vettore normale. Soluzione a pagina 14 → Esercizio 5 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti D e O, esercizio 2 Sono assegnate le funzioni g : R3 → R2 e f : R2 → R così definite: g(x1, x2, x3) = x1x2 x2x3 ! , f (y1, y2) = ∥(y1, y2)∥3 2, x0 =    2 1 1    , e la funzione h : R3 → R composizione di f e g, cioè h(x) = f (g(x)). 1. Calcolare la Jacobiana Jg(x) e il vettore ∇h(x). 2. Scrivere l’equazione che definisce il piano tangente al grafico di h nel punto x0, determinandone anche il vettore normale. Soluzione a pagina 15 → Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 12 ## Pagina 13 [Apri nel lettore](/programmazione-matematica-c2/9?page=15) 10 Soluzioni Soluzione dell’Esercizio 1 – Una funzione di tre variabili 1. Derivando rispetto a ciascuna variabile: ∇f (x) =    4x3 1x3 + x2x3 x1x3 − 12x2 2 x4 1 + x1x2    . È il vettore g dell’esempio della Sezione 7. Le componenti sono polinomi, continue su R3: per il teorema del differenziale totale f è differenziabile ovunque. 2. f (x0) = 2 + 2 − 4 = 0 e ∇f (x0) = (10, −10, 2)T, quindi L(x) = f (x0) + ∇f (x0)T(x − x0) = 10(x1 − 1) − 10(x2 − 1) + 2(x3 − 2) = 10x1 − 10x2 + 2x3 − 4. 3. Il piano tangente è il grafico di L: y = 10x1 − 10x2 + 2x3 − 4, con normale (−10, 10, −2, 1)T. 4. In nessuno dei due: le variabili sono x1, x2, x3, y, quindi è un iperpiano di R4. 5. f è differenziabile, quindi Df (x0, d) = ∇f (x0)Td = −10 − 10 + 0 = −20. ← Torna all’Esercizio 1, pagina 11 Soluzione dell’Esercizio 2 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti B e M, esercizio 2 1. La prima componente di g è costante, con gradiente nullo; la seconda è ∥x∥2 2, con gradiente 2x. Le righe della Jacobiana sono i gradienti trasposti: Jg(x) = 0 0 0 2x1 2x2 2x3 ! . Poi h(x) = 1 + ∥x∥2 2, somma di una costante e di una funzione differenziabile su R3, quindi differenziabile ovunque, con ∇h(x) = 2x =    2x1 2x2 2x3    . 2. In x0: h(x0) = 1 + 1 + 1 + 4 = 7 e ∇h(x0) = (2, 2, 4)T. Il piano tangente al grafico, un iperpiano di R4 con coordinate (x1, x2, x3, y), è y = 7 + 2(x1 − 1) + 2(x2 − 1) + 4(x3 − 2) = 2x1 + 2x2 + 4x3 − 5, Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 13 ## Pagina 14 [Apri nel lettore](/programmazione-matematica-c2/9?page=16) con vettore normale −∇h(x0) 1 ! =      −2 −2 −4 1      . ← Torna all’Esercizio 2, pagina 11 Soluzione dell’Esercizio 3 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti C e N, esercizio 2 1. La prima componente di g è costante; la seconda è la norma, con gradiente x/∥x∥2 per x̸ = 0, mentre nell’origine non è derivabile. Per x̸ = 0: Jg(x) =   0 0 0 x1 ∥x∥2 x2 ∥x∥2 x3 ∥x∥2   . Poi h(x) = 1 + ∥x∥2, differenziabile in ogni x̸ = 0, con ∇h(x) = x ∥x∥2 . 2. In x0: ∥x0∥2 = √1 + 4 + 1 = √6, quindi h(x0) = 1 + √6 e ∇h(x0) = 1√6 (1, 2, 1)T. Il piano tangente al grafico, un iperpiano di R4, è y = 1 + √6 + (x1 − 1) + 2(x2 − 2) + (x3 − 1) √6 = 1 + x1 + 2x2 + x3 √6 , perché √6 − 6/√6 = 0. Il vettore normale è −∇h(x0) 1 ! =      −1/√6 −2/√6 −1/√6 1      . ← Torna all’Esercizio 3, pagina 11 Soluzione dell’Esercizio 4 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti J e U, esercizio 2 1. La norma è differenziabile per x̸ = 0, con gradiente x/∥x∥2; la seconda componente è lineare. Per x̸ = 0: Jg(x) =  1 + x1 ∥x∥2 x2 ∥x∥2 x3 ∥x∥2 0 1 1   . Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 14 ## Pagina 15 [Apri nel lettore](/programmazione-matematica-c2/9?page=17) f è un polinomio, con ∇f (y) = (y2, y1)T. Per la regola della catena h è differenziabile in ogni x̸ = 0 e ∇h(x) = Jg(x)T∇f (g(x)), con ∇f (g(x)) = (x2 + x3, x1 + ∥x∥2)T: ∇h(x) =         x2 + x3 + x1(x2 + x3) ∥x∥2 x2(x2 + x3) ∥x∥2 + x1 + ∥x∥2 x3(x2 + x3) ∥x∥2 + x1 + ∥x∥2         . 2. In x0: ∥x0∥2 = √3, g(x0) = (1 + √3, 2)T, h(x0) = 2 + 2√3 e ∇h(x0) =    2 + 2/√3 1 + √3 + 2/√3 1 + √3 + 2/√3    =    2 + 2√3/3 1 + 5√3/3 1 + 5√3/3    . Il piano tangente, un iperpiano di R4, è y = 2 + 2√3 +  2 + 2√3 3  (x1 − 1) +  1 + 5√3 3  (x2 + x3 − 2), con vettore normale −∇h(x0), 1. ← Torna all’Esercizio 4, pagina 12 Soluzione dell’Esercizio 5 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti D e O, esercizio 2 1. Le componenti di g sono polinomi: Jg(x) = x2 x1 0 0 x3 x2 ! . f (y) = (y2 1 + y2 2 )3/2 ha derivata parziale 3 2 (y2 1 + y2 2 )1/2 · 2y1 = 3∥y∥2 y1 rispetto a y1, e lo stesso per y2; in y = 0 il rapporto incrementale |t|3/t tende a 0, come la formula. Quindi ∇f (y) = 3∥y∥2 y, continuo su R2: f è differenziabile ovunque. Per la regola della catena: ∇h(x) = Jg(x)T∇f (g(x)) = 3∥g(x)∥2 Jg(x)Tg(x) = 3∥g(x)∥2    x1x2 2 x2 1x2 + x2x2 3 x2 2x3    , con ∥g(x)∥2 = px2 1x2 2 + x2 2x2 3. 2. In x0: g(x0) = (2, 1)T, ∥g(x0)∥2 = √5, h(x0) = 5√5 e ∇h(x0) = 3√5 (2, 5, 1)T. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 15 ## Pagina 16 [Apri nel lettore](/programmazione-matematica-c2/9?page=18) Il piano tangente, un iperpiano di R4, è y = 5√5 + 3√52(x1 − 2) + 5(x2 − 1) + (x3 − 1) = 3√5 (2x1 + 5x2 + x3) − 25√5, con vettore normale (−6√5, −15√5, −3√5, 1)T. ← Torna all’Esercizio 5, pagina 12 Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 16