Formule essenziali · C2

Formulario

3 pagine. Aggiornato il 10 ottobre 2026.

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Modelli di programmazione lineare Funzione lineare c1x1 + · · · + cnxn: obiettivo e primo membro dei vincoli (≤, =, ≥) Semipiano a1x + a2y ≤ β (o ≥ β) (0, 0) sta in ≤ β se β > 0, in ≥ β se β < 0 Retta di livello c1x + c2y = k al variare di k parallele max: k cresce finché la retta tocca la regione Norme e intorni in Rn Prodotto scalare ⟨x, y⟩ = xTy = nX i=1 xiyi xTx ≥ 0, xTx = 0 ⇐⇒ x = 0 Norme ∥x∥2 = px2 1 + · · · + x2 n = √xTx ∥x∥1 = nX i=1 |xi| ∥x∥∞ = max{|x1|, . . . , |xn|} ∥x∥p = nX i=1 |xi|p1/p , p ≥ 1 intero Proprietà della norma (i) ∥x∥ ≥ 0 (ii) ∥x∥ = 0 ⇐⇒ x = 0 (iii) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ (iv) ∥αx∥ = |α| ∥x∥ Insieme ∥x∥ ≤ 1 in R2: ∥x∥1 ≤ 1 rombo ∥x∥2 ≤ 1 cerchio ∥x∥∞ ≤ 1 quadrato Intorno sferico B(x, ε) = {y ∈ Rn : ∥y − x∥ < ε}, ε > 0 Intorno di ∞ Rn ∗ = Rn ∪ {∞} B(∞, ε) = {y ∈ Rn : ∥y∥ > ε} ∪ {∞} Cauchy–Schwarz |xTy| ≤ ∥x∥2 ∥y∥2 |xTy| = ∥x∥2 ∥y∥2 ⇐⇒ y = αx oppure x = αy, α ∈ R Angolo e ortogonalità cos θ = xTy ∥x∥2 ∥y∥2 , θ ∈ [0, π], x, y̸ = 0 ortogonali: xTy = 0 Punti di un insieme E ⊆ Rn Punto interno ∃ ε > 0 : B(x, ε) ⊆ E; interno ̊E = int(E) Punto esterno ∃ ε > 0 : B(x, ε) ⊆ co(E) Punto di frontiera ∀ε > 0 : B(x, ε) ∩ E̸ = ∅ e B(x, ε) ∩ co(E)̸ = ∅; frontiera ∂E Partizione di Rn Rn = ̊E ∪ int co(E) ∪ ∂E, a due a due disgiunti ∂E = ∂ co(E) Accumulazione ∀ε > 0 : B(x, ε) \ {x} ∩ E̸ = ∅; derivato D(E) Punto isolato x ∈ E \ D(E), cioè ∃ ε > 0 : B(x, ε) \ {x} ∩ E = ∅ Isolati e derivato isolati ⊆ ∂E ∩ E D(E) = ̊E ∪ ∂E \ {isolati}

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Chiusura E = E ∪ ∂E = ̊E ∪ ∂E ̊E ⊆ E ⊆ E ∂E = E \ ̊E Aperti, chiusi e compatti Aperto e chiuso E aperto ⇐⇒ E = ̊E E chiuso ⇐⇒ co(E) aperto ∅ e Rn: aperti e chiusi Criteri con ∂E E aperto ⇐⇒ E ∩ ∂E = ∅ E chiuso ⇐⇒ ∂E ⊆ E ⇐⇒ D(E) ⊆ E ⇐⇒ E = E Unioni, intersezioni Ai aperti: S i∈I Ai e Tk i=1 Ai aperti Ci chiusi: T i∈I Ci e Sk i=1 Ci chiusi Limitato, compatto E limitato: ∃ ε > 0 : E ⊆ B(0, ε), cioè ∥x∥ < ε ∀x ∈ E E compatto ⇐⇒ chiuso e limitato Funzioni di n variabili Immagine e grafico f : D ⊆ Rn → R f (D) = {f (x) : x ∈ D} Gf = {(x, f (x)) : x ∈ D} ⊆ Rn+1 Contorno di livello Cα = {x ∈ D : f (x) = α} ⊆ Rn Dominio naturale √g: g ≥ 0 1/g: g̸ = 0 log g: g > 0 arccos g: −1 ≤ g ≤ 1 Successioni in Rn Successione limitata ∥xk∥ ≤ M ∀k, M > 0 ⇐⇒ ogni componente {(xk)i} limitata Sottosuccessione yk = xik , i1 < i2 < i3 < · · · {xk}K , K = {i1, i2, . . . } infinito Ricorsiva, legge f xk =    ak k < m f k, xk−1, . . . , xk−m k ≥ m a0, . . . , am−1 ∈ Rn assegnati Newton, zero di f xk = xk−1 − f (xk−1) f ′(xk−1) con f ′(xk−1)̸ = 0 f : R → R, cerca x con f (x) = 0 Limiti: definizione unificata Reali estesi R∗ = R ∪ {−∞, +∞} B(+∞, M ) = {x ∈ R∗ : x > M } B(−∞, M ) = {x ∈ R∗ : x < −M } Intorno U(x0) aperto con B(x0, ε) ⊆ U(x0) per un ε > 0 Limite lim x→x0 f (x) = l ⇐⇒ ∀ U(l) ∃ N (x0) : x ∈ N (x0) ∩ D \ {x0} ⇒ f (x) ∈ U(l) f : D ⊆ Rn → R, x0 ∈ Rn ∗ di accumulazione per D, l ∈ R∗ Limite in Rn ∥x − x0∥ al posto di |x − x0| x0 = ∞: ∥x∥ > M al posto di x > M Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 2

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Limite: i casi in R l ∈ R l = ±∞ x0 ∈ R ∀ε > 0 ∃δ > 0: x ∈ D, 0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − l| < ε ∀N > 0 ∃δN > 0: x ∈ D, 0 < |x − x0| < δN ⇒ f (x) > N (−∞: f (x) < −N ) x0 = +∞ ∀ε > 0 ∃M > 0: x ∈ D, x > M ⇒ |f (x) − l| < ε ∀N > 0 ∃MN > 0: x ∈ D, x > MN ⇒ f (x) > N (−∞: f (x) < −N ) x0 = −∞ ∀ε > 0 ∃M > 0: x ∈ D, x < −M ⇒ |f (x) − l| < ε ∀N > 0 ∃MN > 0: x ∈ D, x < −MN ⇒ f (x) > N (−∞: f (x) < −N ) Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 3

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