Energia e potenza dei segnali

Perché servono energia e potenza

Una comunicazione riesce se il segnale arriva al ricevitore abbastanza forte rispetto al rumore. Il rapporto segnale-rumore (SNR, signal to noise ratio) misura proprio questo: è il rapporto fra la potenza del segnale utile e quella del rumore, e di solito si dà in decibel.

$$\begin{gathered} \mathrm{SNR}=\frac{P_{\text{segnale}}}{P_{\text{rumore}}}\\[0.6em] \mathrm{SNR}_{\mathrm{dB}}=10\log_{10}\frac{P_{\text{segnale}}}{P_{\text{rumore}}} \end{gathered}$$

La probabilità di errore $P_e$ è la probabilità che il ricevitore legga un messaggio diverso da quello inviato, per esempio $1$ al posto di $0$, a causa del rumore o delle interferenze del canale. Al crescere dell'SNR la probabilità di errore cala, quindi per sbagliare poco serve un SNR alto. L'andamento cambia da sistema a sistema, ma resta decrescente.

Per alzare l'SNR si aumenta la potenza del segnale o si abbassa quella del rumore: cavi schermati, una distanza minore fra sorgente e ricevitore, meno interferenze fra segnali. Si può anche scegliere caso per caso: quando una trasmissione ha la priorità si punta a un SNR più alto. Energia e potenza servono a misurare queste prestazioni.

Richiamo: sequenze e valore medio

A tempo discreto l'impulso $\delta_n$ vale $1$ per $n=0$ e $0$ altrove. Il gradino $u_n$ vale $0$ per $n<0$ e $1$ per $n\ge0$. La sequenza rettangolare, $x_n=1$ per $n=0,1,\dots,N-1$, ha durata $N$. La triangolare, $x_n=N-|n|$ per $-N<n<N$, ha durata $2N-1$. Traslazione e scalatura verticale agiscono come nel caso continuo. La scalatura orizzontale è diversa e si vede più avanti.

Il valore medio aiuta a leggere energia e potenza. Con durata finita e supporto fra $a$ e $b$ si integra il segnale sul supporto e si divide per la durata. Per una sequenza si sommano gli $N$ campioni del supporto, numerati da $0$ a $N-1$, e si divide per $N$:

$$\begin{gathered} \mu_x^I=\frac1{b-a}\int_a^b x(t)\,dt\\[0.6em] \mu_x^I=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}x_n \end{gathered}$$

Con durata infinita si media su una finestra di durata $\Delta t$ centrata nell'origine, che poi si allarga all'infinito. A tempo discreto la finestra va da $-N$ a $N$:

$$\begin{gathered} \mu_x=\lim_{\Delta t\to\infty}\frac1{\Delta t}\int_{-\Delta t/2}^{\Delta t/2}x(t)\,dt\\[0.6em] \mu_x=\lim_{N\to\infty}\frac1{2N}\sum_{n=-N}^{N}x_n \end{gathered}$$

La finestra contiene $2N+1$ campioni, ma dividere per $2N$ o per $2N+1$ dà lo stesso limite.

Energia

L'energia è l'area sotto il quadrato del segnale, non sotto il segnale:

$$\begin{gathered} E_x=\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2\,dt\\[0.6em] E_x=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x_n|^2 \end{gathered}$$

Il modulo serve se il segnale è complesso, perché dà un numero reale. Per un segnale reale si toglie, perché il quadrato è già non negativo. L'energia non è mai negativa e può essere infinita. Un segnale è di energia se $0<E_x<+\infty$.

L'impulso discreto ha un solo campione non nullo, che vale $1$, quindi $E_x=1$. Nella rect il quadrato vale ancora $1$ sul supporto, quindi l'energia è l'area del rettangolo, cioè $1$. Nella tri «base per altezza diviso due» è l'area sotto la tri, non l'energia: serve l'area sotto il suo quadrato, che non è più un triangolo. Il quadrato è simmetrico, quindi si integra una metà e si raddoppia, con $\operatorname{tri}(t)=1-t$ per $0\le t\le1$:

$$\begin{aligned} E_x&=2\int_0^1(1-t)^2\,dt\\ &=2\Bigl[t-t^2+\frac{t^3}{3}\Bigr]_0^1=\frac23 \end{aligned}$$

Il segnale e il suo quadrato

Segnale

recttri

$t$

• $x(t)$
• $|x(t){|}^2$

Un segnale costante $x(t)=c\ne0$ su tutto l'asse non è di energia: somma contributi $|c|^2$ su un intervallo illimitato, e l'integrale diverge. Un segnale non nullo, limitato e di durata strettamente finita è sempre di energia. Con durata infinita dipende da quanto in fretta il segnale tende a zero.

Durata infinita ed energia finita

Sia $x(t)=Ae^{-\alpha t}u_{-1}(t)$, con $A$ reale non nullo e $\alpha>0$. Il gradino lo annulla per $t<0$, quindi l'integrale parte da $0$. Il modulo si toglie, perché il segnale è reale:

$$\begin{aligned} E_x&=\int_0^{+\infty}A^2e^{-2\alpha t}\,dt\\ &=\Bigl[-\frac{A^2}{2\alpha}\,e^{-2\alpha t}\Bigr]_0^{+\infty}=\frac{A^2}{2\alpha} \end{aligned}$$

Il segnale è di energia anche se in senso stretto ha durata infinita. Il supporto in senso stretto è l'insieme dei $t$ in cui $x(t)\ne0$, e la durata è la sua misura: qui è infinita. Per un segnale che tende a zero si dà una definizione più larga: il supporto è l'insieme dei $t$ in cui $|x(t)|$ non è trascurabile, dopo aver fissato quando lo è, per esempio per $|x(t)|<10^{-5}$. La durata dipende allora dalla soglia. Quindi i segnali limitati di durata finita, e quelli che tendono a zero abbastanza in fretta, sono di energia.

Segnali impulsivi

Un segnale è impulsivo se l'integrale del suo modulo è finito:

$$\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|\,dt<+\infty$$

Le classi dei segnali di energia e dei segnali impulsivi si sovrappongono largamente, ma non coincidono. Ogni segnale non nullo, limitato e di durata strettamente finita, come la rect e la tri, appartiene a entrambe. Esistono però segnali impulsivi che non sono di energia: per classificare un segnale si calcolano entrambi gli integrali, del modulo e del modulo quadro.

Potenza

La potenza è l'energia calcolata su un intervallo di durata $\Delta t$ centrato nell'origine, divisa per $\Delta t$, al tendere di $\Delta t$ all'infinito: un'energia media per unità di tempo. Ha la forma del valore medio di un segnale di durata infinita, con $|x|^2$ al posto di $x$.

$$\begin{gathered} P_x=\lim_{\Delta t\to\infty}\frac1{\Delta t}\int_{-\Delta t/2}^{\Delta t/2}|x(t)|^2\,dt\\[0.6em] P_x=\lim_{N\to\infty}\frac1{2N}\sum_{n=-N}^{N}|x_n|^2 \end{gathered}$$

Un segnale è di potenza se $0<P_x<+\infty$. La costante $x(t)=c$ non è di energia, ma ha potenza finita:

$$\begin{aligned} P_x&=\lim_{\Delta t\to\infty}\frac1{\Delta t}\int_{-\Delta t/2}^{\Delta t/2}|c|^2\,dt\\ &=|c|^2\lim_{\Delta t\to\infty}\frac{\Delta t}{\Delta t}=|c|^2 \end{aligned}$$

La durata infinita da sola non decide la classe: l'esponenziale causale ha durata infinita ed è di energia, la costante è di potenza.

Energia e potenza in una finestra che si allarga

$x(t)=e^{-\alpha t}{u}_{-1}(t)$

$\Delta t$

• energia nella finestra
• $E_x$
• divisa per $\Delta t$

$x(t)=c$

$\Delta t$

• energia nella finestra
• divisa per $\Delta t$: $P_x$

$\alpha$

1

$c$

1

Segnali periodici

Un segnale periodico di periodo $T$ ripete uguale il suo periodo principale $g(t)$. La replica $g(t-nT)$ è $g$ traslato di $nT$, a destra se $n>0$ e a sinistra se $n<0$. Il segnale è la somma di tutte le repliche:

$$\begin{gathered} x(t)=x(t+nT),\quad n=0,\pm1,\pm2,\dots\\[0.6em] x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}g(t-nT) \end{gathered}$$

Un segnale periodico come somma di repliche

$T$$t$

• $x(t)$
• $g(t)$

Repliche per lato

0

Un segnale periodico non nullo, con $g$ di energia finita, ha durata infinita ed è di potenza. Poiché si ripete uguale, la media si fa su un solo periodo e il limite sparisce:

$$P_x=\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}|x(t)|^2\,dt$$

Va bene un periodo qualunque, il più comodo per il calcolo.

Potenza di un coseno

Sia $x(t)=A\cos(2\pi f_0t+\varphi)$, con $T=1/f_0$. È periodico e reale, quindi basta un periodo e il modulo si toglie. Per linearizzare il quadrato si usa l'identità del coseno, con $\theta$ un angolo qualunque:

$$\cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2}$$

Il termine a frequenza doppia ha area nulla su un periodo:

$$\begin{aligned} P_x&=\frac{A^2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\cos^2(2\pi f_0t+\varphi)\,dt\\ &=\frac{A^2}{2T}\int_{-T/2}^{T/2}\bigl[1+\cos(4\pi f_0t+2\varphi)\bigr]dt\\ &=\frac{A^2}{2T}\,(T+0)=\frac{A^2}{2} \end{aligned}$$

Energia di una somma di rettangoli

Si vuole l'energia di

$$z(t)=\operatorname{rect}(t-3)+2\operatorname{rect}\Bigl(\frac t2-1\Bigr)$$

Il primo addendo ha altezza $1$, centro $3$ e larghezza $1$, quindi supporto $[5/2,\,7/2]$. Nel secondo si raccoglie il coefficiente di $t$, per separare traslazione e scalatura:

$$2\operatorname{rect}\Bigl(\frac t2-1\Bigr)=2\operatorname{rect}\Bigl(\frac12\,(t-2)\Bigr)$$

Ha centro $2$, larghezza $2$ e altezza $2$, quindi supporto $[1,\,3]$. Dove i supporti si sovrappongono i valori si sommano, quindi conviene disegnare la somma punto per punto: vale $2$ fra $1$ e $5/2$, $3$ fra $5/2$ e $3$, $1$ fra $3$ e $7/2$. Nei punti di salto il valore assegnato non cambia l'energia, perché un punto isolato non ha area.

Si eleva al quadrato ogni tratto e si somma, per ciascuno, altezza al quadrato per larghezza:

$$E_z=\frac32\cdot2^2+\frac12\cdot3^2+\frac12\cdot1^2=11$$