Segnali periodici, impulso e convoluzione

L'energia di una somma

L'energia di un segnale è l'integrale del suo quadrato. Per un segnale reale il modulo quadro è un semplice quadrato:

$$E_x=\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2\,dt$$

Il quadrato di una somma contiene anche il doppio prodotto degli addendi, quindi l'energia di una somma non è la somma delle energie. Per $z(t)=x(t)+y(t)$ reali:

$$\begin{aligned} E_z&=\int_{-\infty}^{+\infty}\bigl(x(t)+y(t)\bigr)^2dt\\ &=E_x+E_y+2\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\,y(t)\,dt \end{aligned}$$

Il termine di prodotto conta solo dove $x$ e $y$ sono diversi da zero nello stesso istante, cioè dove i supporti si sovrappongono. Esempio:

$$z(t)=\operatorname{rect}(t-3)+2\operatorname{rect}\Bigl(\frac t2-1\Bigr)$$

Il primo addendo, $x$, ha centro 3 e durata 1, quindi supporto $[5/2,\,7/2]$. Il secondo, $y(t)=2\operatorname{rect}\bigl((t-2)/2\bigr)$, ha centro 2, durata 2 e altezza 2, quindi supporto $[1,\,3]$. Le energie sono $E_x=1$ ed $E_y=2^2\cdot2=8$, e la loro somma, 9, è sbagliata: fra $5/2$ e $3$ i supporti si sovrappongono, il prodotto $x\,y$ vale $1\cdot2$ su una durata $1/2$ e il doppio prodotto vale $2\cdot2\cdot\tfrac12=2$. Quindi $E_z=9+2=11$.

Energia di una somma di rettangoli

I due addendi

$t$

• $x(t)=\mathrm{rect}(t-3)$
• $y(t)=2\mathrm{rect}(t/2-1)$

La somma

$t$

• $z(t)=x(t)+y(t)$

Disegnando $z$ si ottiene lo stesso risultato: vale 2 fra $1$ e $5/2$, 3 fra $5/2$ e $3$, 1 fra $3$ e $7/2$, quindi $E_z=4\cdot(3/2)+9\cdot(1/2)+1\cdot(1/2)=11$. Per non sbagliare conviene disegnare il risultato dell'operazione e calcolarne l'energia, oppure includere il doppio prodotto.

Segnali periodici e potenza

Un segnale periodico di periodo $T$ ripete la stessa forma: $x(t)=x(t+nT)$ con $n=0,\pm1,\pm2,\dots$ Detto $g(t)$ il segnale nel periodo principale, $x$ è la somma delle sue repliche traslate nei multipli di $T$, positivi e negativi:

$$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}g(t-nT)$$

Basta quindi conoscere $T$ e la forma di $g$ per ricostruire $x$.

Un segnale periodico non nullo ha energia infinita: ogni replica aggiunge la stessa energia e le repliche sono infinite. Ha invece potenza finita. La potenza è l'energia su un intervallo divisa per la sua durata, al tendere della durata all'infinito. Per un segnale periodico basta un periodo:

$$P_x=\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}|x(t)|^2\,dt$$

Un segnale periodico è quindi un segnale di potenza. L'intervallo può essere un qualunque periodo, il più comodo per gli integrali.

Treno di impulsi rettangolari

È il segnale periodico in cui $g(t)$ è una rect di larghezza $\tau$ centrata nell'origine, $\operatorname{rect}_\tau(t)=\operatorname{rect}(t/\tau)$, ripetuta in ogni multiplo di $T$:

$$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\operatorname{rect}\Bigl(\frac{t-nT}{\tau}\Bigr)$$

Il rapporto $\tau/T$ è il duty cycle: la frazione di ogni periodo in cui il segnale è alto, cioè vale 1 invece di 0. Vale 0 se $\tau=0$ e 1 se $\tau=T$, quando il segnale è sempre alto. Una scalatura verticale cambia l'altezza degli impulsi ma non il duty cycle, perché $\tau$ e $T$ sono intervalli dell'asse dei tempi.

La potenza si calcola sul periodo principale, da $-T/2$ a $T/2$. Lì il segnale è diverso da zero solo fra $-\tau/2$ e $\tau/2$, dove vale 1 e vale 1 anche il suo quadrato:

$$\begin{aligned} P_x&=\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}\bigl[\operatorname{rect}_\tau(t)\bigr]^2dt\\ &=\frac1T\int_{-\tau/2}^{\tau/2}1\,dt=\frac{\tau}{T} \end{aligned}$$

La potenza del treno rettangolare coincide con il suo duty cycle.

Treno di impulsi rettangolari

$\tau$$T$$t$

• $x(t)$
• potenza $P_x=\tau /T$

$\tau$

1

$T$

3

Energia e potenza dopo un'operazione

Traslazione e scalatura cambiano energia e potenza in modo semplice. Con $a$ costante e $t_0$ una traslazione:

$$\begin{gathered} y(t)=x(t-t_0)\;\Rightarrow\;E_y=E_x,\ P_y=P_x\\ y(t)=a\,x(t)\;\Rightarrow\;E_y=|a|^2E_x,\ P_y=|a|^2P_x\\ y(t)=x(at)\;\Rightarrow\;E_y=\frac{E_x}{|a|},\ P_y=P_x \end{gathered}$$

• Traslazione: sposta il segnale ma non l'area sotto il suo quadrato. Vale anche per una sequenza, $y_n=x_{n-M}$.
• Scalatura verticale: $a$ esce dall'integrale al quadrato, in modulo se è complesso.
• Scalatura orizzontale, con $a$ reale non nullo: se $|a|<1$ il segnale si dilata e l'area sotto il suo quadrato si moltiplica per $1/|a|$.

L'impulso matematico

A tempo discreto l'impulso $\delta_n$ vale 1 per $n=0$ e 0 negli altri campioni. A tempo continuo l'impulso matematico è il limite di un rettangolo di larghezza $\Delta t$ e altezza $1/\Delta t$:

$$\delta(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\operatorname{rect}_{\Delta t}(t)}{\Delta t}$$

L'area del rettangolo vale sempre 1. Per $\Delta t\to0$ il rettangolo si restringe fino a una durata infinitesima e si alza fino a un'altezza infinita. Si disegna come una freccia.

L'impulso come limite di rettangoli

$t$

• ${\mathrm{rect}}_{\Delta t}(t)/\Delta t$

$\Delta t$

2

L'impulso non è un segnale ordinario. È una funzione generalizzata: non se ne calcola il valore in un punto, se ne osserva l'azione su un segnale di test $x(t)$ attraverso un integrale. Per questo $\delta$ compare sempre sotto un integrale.

Il prodotto per $\delta(t)$ si annulla ovunque tranne in $t=0$, dove l'impulso esplode, e l'area sotto il prodotto è il valore del segnale in quel punto:

$$\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\,\delta(t)\,dt=x(0)$$

Con l'impulso centrato in $t_0$ si ha la proprietà di campionamento: l'integrale restituisce il valore del segnale in $t_0$.

$$\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\,\delta(t-t_0)\,dt=x(t_0)$$

Il campionamento dell'impulso

Il segnale e l'impulso

$\delta (t-t_0)$$t$

• $x(t)={\mathrm{tri}}^2(t)$

Il prodotto

$x(t_0)$$t$

• $x(t)$

$t_0$

0,333

Esempi, con integrali su tutto l'asse:

$$\begin{gathered} \int\operatorname{rect}(t)\,\delta(t-1)\,dt=\operatorname{rect}(1)=0\\ \int\operatorname{tri}^2(t)\,\delta\bigl(t-\tfrac13\bigr)dt=\operatorname{tri}^2\bigl(\tfrac13\bigr)=\tfrac49 \end{gathered}$$

La rect è diversa da zero solo per $|t|\le1/2$, quindi in 1 vale 0. Per $0\le t\le1$ la tri vale $1-t$: in $1/3$ vale $2/3$ e il suo quadrato $4/9$.

Convoluzione: definizione

La convoluzione di $x$ e $y$ è ancora un segnale nella variabile $t$, ma si definisce con un integrale in una variabile d'integrazione $\tau$, che qui non è la larghezza di un impulso:

$$\begin{aligned} \varphi_{xy}(t)&=x(t)*y(t)\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\,y(t-\tau)\,d\tau \end{aligned}$$

Dentro l'integrale $x$ diventa $x(\tau)$, mentre $y$ diventa $y(t-\tau)$: ribaltato rispetto all'asse delle ordinate e traslato di $t$. Per l'integrale $t$ è un parametro, un numero che poi varia su tutto l'asse reale. Per calcolarla a mano:

1. Si scrivono i due segnali nella variabile $\tau$.
2. Si ribalta $y(\tau)$ rispetto all'asse delle ordinate, ottenendo $y(-\tau)$.
3. Lo si trasla di $t$, ottenendo $y(t-\tau)$: a destra se $t>0$, a sinistra se $t<0$.
4. Per ogni $t$ si moltiplicano $x(\tau)$ e $y(t-\tau)$.
5. Si integra il prodotto in $\tau$: l'area è il valore di $\varphi_{xy}$ in $t$.

Con un segnale non simmetrico, per esempio un triangolo, il ribaltamento si vede bene:

Ribaltare e traslare

Passo 2: ribaltare

$\tau$

• $y(-\tau )$
• $y(\tau )$

Passo 3: traslare di $t$

$t-3$$t$$t$$\tau$

• $y(t-\tau )$
• $y(-\tau )$

$t$

4

Si fa scorrere $y(t-\tau)$ da sinistra verso destra. A ogni $t$ gli estremi dell'integrale sono quelli della zona in cui i supporti si sovrappongono: fuori da lì il prodotto è zero.

Rettangoli di durata diversa

Il segnale $x$ vale 1 su $[-4,\,4]$ e $y$ vale 1 su $[0,\,3]$. Il segnale $y(t-\tau)$ vale 1 su $[t-3,\,t]$: ha l'estremo destro in $t$ e il sinistro in $t-3$. Scorrendo verso destra si distinguono cinque casi.

• $t<-4$: i supporti sono disgiunti.
• $-4<t<-1$: l'estremo destro è dentro $x$ e il sinistro ancora fuori ($t-3<-4$). La zona comune va da $-4$ a $t$.
• $-1<t<4$: $y(t-\tau)$ è tutto dentro $x$, possibile perché dura 3 e $x$ dura 8. La zona comune va da $t-3$ a $t$.
• $4<t<7$: l'estremo destro è uscito ($t>4$) e il sinistro no ($t-3<4$). La zona comune va da $t-3$ a $4$.
• $t>7$: i supporti sono di nuovo disgiunti.

Sulla zona comune entrambi i segnali valgono 1, quindi l'integrando vale 1. Con un'altezza diversa da 1 ci sarebbe il prodotto delle altezze.

$$\varphi_{xy}(t)=\begin{cases} 0,&t<-4\\ \int_{-4}^{t}1\,d\tau=t+4,&-4\le t<-1\\ \int_{t-3}^{t}1\,d\tau=3,&-1\le t<4\\ \int_{t-3}^{4}1\,d\tau=7-t,&4\le t<7\\ 0,&t\ge7 \end{cases}$$

Il risultato è nullo fuori da $[-4,\,7]$: cresce fino a 3 in $t=-1$, resta costante fino a $t=4$ e poi decresce fino a zero in $t=7$. Non ha la forma dei segnali di partenza e non è detto che sia simmetrico.

Convoluzione di due rettangoli

Nella variabile $\tau$

$t-3$$t$$\tau$

• $x(\tau )$
• $y(t-\tau )$
• prodotto $x(\tau )y(t-\tau )$

Nella variabile $t$

$t$

• ${\phi }_{xy}(t)$

$t$

−6

Quale segnale ribaltare

La convoluzione è commutativa:

$$x(t)*y(t)=y(t)*x(t)$$

Si può quindi ribaltare e traslare il segnale più comodo. Conviene scegliere il più semplice, perché è quello che si porta dietro in tutti i prodotti.

Due rettangoli uguali

Siano $x$ e $y$ due rect di altezza 1 e larghezza 1, centrate in 0. Il segnale $y$ è simmetrico, quindi il ribaltamento lo lascia com'è e $y(t-\tau)$ vale 1 su $[t-1/2,\,t+1/2]$, mentre $x$ vale 1 su $[-1/2,\,1/2]$.

• $t<-1$: i supporti sono disgiunti.
• $-1<t<0$: l'estremo destro $t+1/2$ è dentro $x$ e il sinistro $t-1/2$ è fuori. La zona comune va da $-1/2$ a $t+1/2$.
• $0<t<1$: l'estremo sinistro è dentro $x$ e il destro è fuori. La zona comune va da $t-1/2$ a $1/2$.
• $t>1$: i supporti sono di nuovo disgiunti.

$$\varphi_{xy}(t)=\begin{cases} 0,&t<-1\\ \int_{-1/2}^{t+1/2}1\,d\tau=1+t,&-1\le t<0\\ \int_{t-1/2}^{1/2}1\,d\tau=1-t,&0\le t<1\\ 0,&t\ge1 \end{cases}$$

Il risultato è $\operatorname{tri}(t)$: la convoluzione di due rect uguali è una tri.

Rect convoluta con se stessa

Nella variabile $\tau$

$\tau$

• $x(\tau )$
• $y(t-\tau )$
• prodotto

Nella variabile $t$

$t$

• ${\phi }_{xy}(t)=\mathrm{tri}(t)$

$t$

−1,6