Lezione 5 · Canale 1 · mercoledì 21 ottobre 2026

Convoluzione, filtri e trasformata di Fourier

FCI · Segnali

L'idea

La convoluzione è l'integrale di un prodotto fra due segnali, uno dei quali è ribaltato e traslato. Se uno dei due è un impulso matematico, il risultato è l'altro segnale, eventualmente traslato. Se è un treno di impulsi, il risultato è una successione di copie. Con la convoluzione si calcola l'uscita di un filtro, che è caratterizzato da un solo segnale, la risposta impulsiva. La trasformata di Fourier cambia punto di vista: scrive un segnale come somma di componenti armoniche.

Proprietà della convoluzione

Nell'integrale di convoluzione si possono scambiare i ruoli dei due segnali:

\begin{aligned} x(t)*y(t)&=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\,y(t-\tau)\,d\tau\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}y(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau=y(t)*x(t) \end{aligned}

La convoluzione è quindi commutativa. È anche associativa e distributiva rispetto alla somma:

\begin{gathered} x*y=y*x\\ (x*y)*z=x*(y*z)\\ (x+z)*y=x*y+z*y \end{gathered}

Per la commutatività si sceglie quale dei due segnali ribaltare e traslare. Conviene scegliere il più semplice, perché è quello che si segue in tutto il calcolo.

L'impulso come elemento neutro

Nell'integrale $\delta(t-\tau)$ , come funzione di $\tau$ , è un impulso centrato in $\tau=t$ . Per la proprietà di campionamento sopravvive solo il valore di $x$ in quel punto:

\begin{aligned} x(t)*\delta(t)&=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\,\delta(t-\tau)\,d\tau\\ &=x(t) \end{aligned}

L'impulso è quindi l'elemento neutro della convoluzione, come $1$ lo è del prodotto. Con $\delta(t-t_0)$ l'impulso nell'integrale è centrato in $\tau=t-t_0$ :

\begin{aligned} x(t)*\delta(t-t_0)&=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\,\delta(t-t_0-\tau)\,d\tau\\ &=x(t-t_0) \end{aligned}

La convoluzione con $\delta(t-t_0)$ trasla l'intero segnale di $t_0$ , a destra se $t_0>0$ .

Convoluzione con un impulso traslato

Segnale e impulso

δ (t - t_{0})

t

$x (t)$

Il risultato

t

$x (t - t_{0})$

t_{0}

1,5

La convoluzione con

δ (t - t_{0})

sposta il segnale di

t_{0}

senza deformarlo. Con

t_{0} = 0

il segnale resta com'è.

Durata della convoluzione

Se $x$ e $y$ hanno durata $\Delta_x$ e $\Delta_y$ , la convoluzione ha durata $\Delta_x+\Delta_y$ . Per esempio una rect su $[-4,\,4]$ ha durata 8 e una su $[0,\,3]$ ha durata 3: la loro convoluzione è nulla fuori da $[-4,\,7]$ , quindi dura $8+3=11$ . Due rect di larghezza 1 danno una tri, che dura $1+1=2$ .

La proprietà serve da controllo: una convoluzione calcolata a mano che non ha questa durata è sbagliata.

Durata della convoluzione

I due segnali

Δ_{x}

Δ_{y}

t

$x (t)$
$y (t)$

La convoluzione

Δ_{x} + Δ_{y}

t

$x (t) * y (t)$

Δ_{x}

Δ_{y}

La convoluzione di due rect dura quanto la somma delle loro durate. Con durate uguali è un triangolo.

Treno di impulsi matematici

Il treno di impulsi matematici di periodo $T$ è la somma di infiniti impulsi, uno in ogni multiplo di $T$ . È un segnale periodico a tempo continuo:

\Gamma_T(t)=\sum_{k\in\mathbb Z}\delta(t-kT)

Per convolvere un segnale $x$ con il treno si porta la somma fuori dalla convoluzione e si applica la regola dell'impulso traslato a ogni termine:

\begin{aligned} x(t)*\Gamma_T(t)&=\sum_{k}x(t)*\delta(t-kT)\\ &=\sum_{k}x(t-kT) \end{aligned}

Il risultato è formato da infinite copie di $x$ , ciascuna traslata di un multiplo di $T$ . Le copie restano separate solo se $T$ è abbastanza grande rispetto alla durata di $x$ . Altrimenti si sovrappongono e i loro valori si sommano punto per punto.

Convoluzione con un treno di impulsi

Segnale e treno di impulsi

Γ_{T} (t)

T

t

$x (t)$

La convoluzione

t

$x (t) * Γ_{T} (t)$

T

2,4

Le repliche di

x

restano separate se

T

è abbastanza grande. Accorciando

T

si sovrappongono e i valori si sommano.

A tempo discreto il calcolo è lo stesso, con una somma al posto dell'integrale: si moltiplicano i campioni e si sommano i prodotti.

\varphi_n=\sum_{k}x_k\,y_{n-k}

Sistemi e filtri

Un sistema è un blocco che riceve un segnale in ingresso e ne restituisce uno in uscita. È lineare se vale la sovrapposizione degli effetti: se $x_1\to y_1$ e $x_2\to y_2$ , allora

a\,x_1(t)+b\,x_2(t)\ \to\ a\,y_1(t)+b\,y_2(t)

È invariante nel tempo se ritardare o anticipare l'ingresso ritarda o anticipa l'uscita della stessa quantità: se $x(t)\to y(t)$ , allora

x(t-\tau)\ \to\ y(t-\tau)

Un sistema lineare e invariante nel tempo, detto anche lineare e permanente (LP), si chiama filtro.

Risposta impulsiva e uscita del filtro

La risposta impulsiva $h(t)$ è l'uscita del filtro quando l'ingresso è l'impulso $\delta(t)$ . È un segnale che caratterizza il filtro. A tempo discreto è $h_n$ , l'uscita con ingresso $\delta_n$ .

Una volta nota $h(t)$ , l'uscita del filtro per un ingresso qualunque $x(t)$ è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva:

\begin{aligned} y(t)&=x(t)*h(t)\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau \end{aligned}

Con $x(t)=\delta(t)$ si ritrova $h(t)$ , perché l'impulso è l'elemento neutro.

L'uscita generica e la risposta impulsiva sono segnali diversi. La seconda è l'uscita per un ingresso particolare, fissato una volta per tutte, e contiene l'effetto del filtro su qualunque ingresso.

Trasformata di Fourier a tempo continuo

La trasformata a tempo continuo (CTFT) si definisce per i segnali impulsivi, cioè con integrale del modulo finito:

\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|\,dt<\infty

Per i segnali a tempo discreto la trasformata si definisce a parte. La formula di analisi associa a $x(t)$ il segnale in frequenza $X(f)$ , con $f$ la frequenza. Quella di sintesi, l'antitrasformata, ricostruisce $x(t)$ :

\begin{gathered} X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\,e^{-\mathrm j2\pi ft}\,dt\\[0.6em] x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\,e^{\mathrm j2\pi ft}\,df \end{gathered}

Si scrive $X(f)=\mathrm{FT}\{x(t)\}$ e $x(t)=\mathrm{FT}^{-1}\{X(f)\}$ . La lettera minuscola indica il segnale nel tempo, la maiuscola quello in frequenza. La frequenza $f$ compare nell'esponenziale complesso, che è formato da un coseno e un seno che oscillano alla frequenza $f$ :

e^{-\mathrm j2\pi ft}=\cos(2\pi ft)-\mathrm j\sin(2\pi ft)

Quindi $x(t)$ si scompone in infinite componenti armoniche, pesate da $X(f)$ .

Trasformata di una rect

La $\operatorname{rect}_T(t)=\operatorname{rect}(t/T)$ ha durata $T$ e vale 1 fra $-T/2$ e $T/2$ , quindi nell'integrale si sostituisce con 1 e si restringono gli estremi. Per scrivere il risultato con un seno si usa la formula di Eulero:

\sin z=\frac{e^{\mathrm jz}-e^{-\mathrm jz}}{2\mathrm j}

Con $z=\pi fT$ il calcolo dà un seno cardinale, con $\operatorname{sinc}(u)=\sin(\pi u)/(\pi u)$ . Per far comparire la sinc si moltiplica e si divide per $T$ :

\begin{aligned} X(f)&=\int_{-T/2}^{T/2}e^{-\mathrm j2\pi ft}\,dt\\ &=\frac{e^{-\mathrm j\pi fT}-e^{\mathrm j\pi fT}}{-\mathrm j2\pi f}\\ &=\frac{e^{\mathrm j\pi fT}-e^{-\mathrm j\pi fT}}{\mathrm j2\pi f}\\ &=\frac{\sin(\pi fT)}{\pi f}\\ &=T\,\frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT}=T\operatorname{sinc}(fT) \end{aligned}

Qui $T$ è un numero, che scala l'asse della sinc. Per $T=1$ si ha la coppia $\operatorname{rect}(t)\longleftrightarrow\operatorname{sinc}(f)$ . Una rect di durata finita ha dunque una trasformata che si estende su tutte le frequenze.

Linearità e dualità

La trasformata è lineare: la trasformata di una somma pesata è la somma pesata delle trasformate.

\mathrm{FT}\{a\,x(t)+b\,y(t)\}=a\,X(f)+b\,Y(f)

La dualità ricava da una coppia un'altra coppia, con i ruoli di trasformata e antitrasformata scambiati:

x(t)\longleftrightarrow X(f)\ \Rightarrow\ X(t)\longleftrightarrow x(-f)

Se $x$ è reale e pari, $x(-f)=x(f)$ e la riflessione sparisce. Da $\operatorname{rect}(t)\longleftrightarrow\operatorname{sinc}(f)$ segue così $\operatorname{sinc}(t)\longleftrightarrow\operatorname{rect}(f)$ . Ogni trasformata calcolata ne dà una seconda.

Una coppia e la sua duale

Segnale nel tempo

Nel tempo

t

$x (t)$

In frequenza

f

$X (f)$

Se la rect nel tempo ha per trasformata la sinc, la sinc nel tempo ha per trasformata la rect. Il selettore sceglie la coppia.

Impulso e costante

La trasformata dell'impulso si calcola con la proprietà di campionamento: l'esponenziale si valuta in $t=0$ , dove vale 1. Con un impulso di area $C$ il fattore $C$ esce dall'integrale:

\begin{aligned} \mathrm{FT}\{C\,\delta(t)\}&=C\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\,e^{-\mathrm j2\pi ft}\,dt\\ &=C \end{aligned}

Per dualità e linearità la trasformata di una costante $C$ è un impulso in frequenza, di area $C$ :

\begin{gathered} \delta(t)\longleftrightarrow1\\ C\longleftrightarrow C\,\delta(f) \end{gathered}

Tempo e frequenza

Un impulso è infinitamente stretto nel tempo e la sua trasformata è costante, quindi occupa tutte le frequenze. Una costante dura per sempre e la sua trasformata è un solo impulso, in $f=0$ . In generale un segnale breve nel tempo ha una trasformata larga in frequenza, e un segnale lungo ne ha una stretta.

Un segnale registrato per un tempo molto breve ha quindi uno spettro molto largo, e nelle applicazioni va tenuto in conto. Lo mostra la rect: $\operatorname{sinc}(fT)$ ha il primo zero in $f=\pm1/T$ , quindi più $T$ è piccolo, più la sinc è larga.

Durata e larghezza in frequenza

Nel tempo

t

$rect_{T} (t)$

In frequenza

f

$T sinc (f T)$

T

Più la rect è breve nel tempo, più la sua sinc è larga in frequenza, e viceversa:

T

scala l'asse delle frequenze.

Formulario

Proprietà della convoluzione

\begin{gathered} x*y=y*x\\ (x*y)*z=x*(y*z)\\ (x+z)*y=x*y+z*y \end{gathered}

Impulso

\begin{aligned} x(t)*\delta(t)&=x(t)\\ x(t)*\delta(t-t_0)&=x(t-t_0) \end{aligned}

Durata di $x*y$

\Delta_x+\Delta_y

Treno di impulsi

\Gamma_T(t)=\sum_k\delta(t-kT)

\begin{aligned} x(t)*\Gamma_T(t)&=\\ &\sum_kx(t-kT) \end{aligned}

Convoluzione discreta

\varphi_n=\sum_kx_k\,y_{n-k}

Filtro

\begin{gathered} \delta(t)\to h(t)\\ y(t)=x(t)*h(t) \end{gathered}

Trasformata

\begin{aligned} X(f)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\\ &\quad x(t)\,e^{-\mathrm j2\pi ft}dt \end{aligned}

Antitrasformata

\begin{aligned} x(t)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\\ &\quad X(f)\,e^{\mathrm j2\pi ft}df \end{aligned}

Seno cardinale

\operatorname{sinc}(u)=\frac{\sin(\pi u)}{\pi u}

Rect larga $T$

\begin{gathered} \operatorname{rect}_T(t)\longleftrightarrow\\ T\operatorname{sinc}(fT) \end{gathered}

Linearità

\begin{gathered} \mathrm{FT}\{a\,x(t)+b\,y(t)\}\\ =a\,X(f)+b\,Y(f) \end{gathered}

Dualità

\begin{gathered} x(t)\longleftrightarrow X(f)\\ \Rightarrow X(t)\longleftrightarrow x(-f) \end{gathered}

Reale e pari: $X(t)\longleftrightarrow x(f)$

Impulso e costante

\begin{gathered} \delta(t)\longleftrightarrow1\\ C\longleftrightarrow C\,\delta(f) \end{gathered}