Proprietà della trasformata di Fourier e segnali periodici

L'idea

Scalare un segnale, traslarlo o moltiplicarlo per un esponenziale complesso ha un effetto preciso sulla sua trasformata. Con queste proprietà si ricavano le trasformate dell'impulso traslato, dell'esponenziale complesso, del coseno e del seno. La convoluzione nel tempo diventa un prodotto in frequenza. Un segnale periodico ha per trasformata una somma di impulsi, e il treno di impulsi ha per trasformata un altro treno di impulsi: è il risultato che serve per dimostrare il teorema del campionamento.

Segnali reali e simmetrie

Se $x(t)$ è reale, separando l'esponenziale in coseno e seno si ha

$$\begin{aligned} X(f)&=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cos(2\pi ft)\,dt\\ &\quad-\mathrm j\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\sin(2\pi ft)\,dt \end{aligned}$$

La trasformata ha quindi simmetria hermitiana: la parte reale $R(f)$ è pari e la parte immaginaria $I(f)$ è dispari.

$$\begin{gathered} X(f)=X^*(-f)\\ R(f)=R(-f),\quad I(f)=-I(-f) \end{gathered}$$

Se $x(t)$ è anche pari, l'integrale con il seno è nullo, perché il suo integrando è dispari: $X(f)$ è reale e pari. Se $x(t)$ è solo reale, $X(f)$ è in generale complessa.

Scalatura

Si scala il tempo di un segnale $x(t)$ di cui è nota la trasformata $X(f)$. Per $\alpha>0$ si pone $t'=\alpha t$, quindi $t=t'/\alpha$ e $dt=dt'/\alpha$:

$$\begin{aligned} \mathrm{FT}\{x(\alpha t)\}&=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\alpha t)\,e^{-\mathrm j2\pi ft}\,dt\\ &=\frac1\alpha\int_{-\infty}^{+\infty}x(t')\,e^{-\mathrm j2\pi\frac f\alpha t'}\,dt' \end{aligned}$$

L'ultimo integrale è $X$ calcolata in $f/\alpha$: con $\alpha>1$ il tempo si comprime e la frequenza si dilata della stessa quantità. Per $\alpha<0$ gli estremi dell'integrale si scambiano e il fattore diventa $1/|\alpha|$:

$$\mathrm{FT}\{x(\alpha t)\}=\frac1{|\alpha|}\,X\!\left(\frac f\alpha\right)$$

La $\operatorname{rect}_T(t)=\operatorname{rect}(t/T)$ è $\operatorname{rect}(t)$ scalata con $\alpha=1/T$. Per questo la sua trasformata è $T\operatorname{sinc}(fT)$, senza rifare l'integrale.

Traslazione nel tempo e in frequenza

Per $x(t-t_0)$ si pone $t'=t-t_0$: l'esponenziale diventa $e^{-\mathrm j2\pi ft'}\,e^{-\mathrm j2\pi ft_0}$ e il secondo fattore, costante, esce dall'integrale. Per $x(t)\,e^{\mathrm j2\pi f_0t}$ i due esponenziali si fondono in $e^{-\mathrm j2\pi(f-f_0)t}$, che è quello della trasformata calcolata in $f-f_0$.

$$\begin{gathered} x(t-t_0)\longleftrightarrow X(f)\,e^{-\mathrm j2\pi ft_0}\\ x(t)\,e^{\mathrm j2\pi f_0t}\longleftrightarrow X(f-f_0) \end{gathered}$$

Una traslazione nel tempo moltiplica la trasformata per un esponenziale. Un esponenziale nel tempo trasla la trasformata di $f_0$, a destra se $f_0>0$. Nella figura $x(t)=\operatorname{sinc}(t)$, quindi $X(f)=\operatorname{rect}(f)$.

Trasformata traslata

$f$

• $X(f)$
• $X(f-f_0)$

$f_0$

1,5

Il segno di $t_0$ va tenuto. In $\operatorname{sinc}(t+5)$ è $t_0=-5$, quindi da $\operatorname{sinc}(t)\longleftrightarrow\operatorname{rect}(f)$ segue

$$\operatorname{sinc}(t+5)\longleftrightarrow\operatorname{rect}(f)\,e^{\mathrm j2\pi5f}$$

Se non si ricorda la formula, si rifà il cambio di variabile: il segno viene da solo.

Impulso traslato ed esponenziale complesso

Da $\delta(t)\longleftrightarrow1$ la traslazione dà la trasformata dell'impulso in $t_0$:

$$\delta(t-t_0)\longleftrightarrow e^{-\mathrm j2\pi ft_0}$$

Un esponenziale complesso è il segnale costante $1$ moltiplicato per $e^{\mathrm j2\pi f_0t}$. Poiché $1\longleftrightarrow\delta(f)$, la traslazione in frequenza sposta l'impulso in $f_0$:

$$e^{\mathrm j2\pi f_0t}\longleftrightarrow\delta(f-f_0)$$

Coseno e seno

Le formule di Eulero scrivono coseno e seno come somma di due esponenziali complessi:

$$\begin{gathered} \cos z=\frac{e^{\mathrm jz}+e^{-\mathrm jz}}{2}\\[0.6em] \sin z=\frac{e^{\mathrm jz}-e^{-\mathrm jz}}{2\mathrm j} \end{gathered}$$

Con $z=2\pi f_0t$ ogni esponenziale si trasforma in un impulso. Per il coseno di ampiezza $A$:

$$\begin{aligned} \mathrm{FT}\{A\cos(2\pi f_0t)\}&=\frac A2\,\delta(f-f_0)\\ &\quad+\frac A2\,\delta(f+f_0) \end{aligned}$$

Per il seno compare $1/(2\mathrm j)$. Siccome $\mathrm j\cdot\mathrm j=-1$, vale $1/\mathrm j=-\mathrm j$ e i coefficienti diventano immaginari:

$$\begin{aligned} \mathrm{FT}\{A\sin(2\pi f_0t)\}&=\frac{A}{2\mathrm j}\,\delta(f-f_0)\\ &\quad-\frac{A}{2\mathrm j}\,\delta(f+f_0)\\ &=-\mathrm j\frac A2\,\delta(f-f_0)\\ &\quad+\mathrm j\frac A2\,\delta(f+f_0) \end{aligned}$$

Il coseno oscilla a una sola frequenza, ma la sua trasformata ha due impulsi, in $f_0$ e in $-f_0$, perché contiene due esponenziali complessi a frequenze opposte. Il coseno è reale e pari e ha una trasformata reale e pari. Il seno è reale ma non pari, e ha una trasformata con parte immaginaria dispari.

Coseno e seno in frequenza

Segnale

CosenoSeno

Nel tempo

$t$

• $x(t)$

In frequenza

$\frac{A}{2}$$\frac{A}{2}$$f$

$A$

1

$f_0$

1

Convoluzione e prodotto

La trasformata di una convoluzione è il prodotto delle trasformate, e la trasformata di un prodotto è la convoluzione delle trasformate. Le due proprietà si usano senza dimostrazione.

$$\begin{gathered} x(t)*y(t)\longleftrightarrow X(f)\,Y(f)\\ x(t)\,y(t)\longleftrightarrow X(f)*Y(f) \end{gathered}$$

La prima evita di calcolare la convoluzione nel tempo, che anche per due segnali semplici come le rect è lunga: si trasformano i due segnali, si moltiplicano le trasformate e si antitrasforma. Poiché $\operatorname{rect}(t)*\operatorname{rect}(t)=\operatorname{tri}(t)$:

$$\begin{aligned} \mathrm{FT}\{\operatorname{tri}(t)\}&=\mathrm{FT}\{\operatorname{rect}(t)*\operatorname{rect}(t)\}\\ &=\operatorname{sinc}(f)\operatorname{sinc}(f)=\operatorname{sinc}^2(f) \end{aligned}$$

Il segnale $\operatorname{tri}(t)$ è reale e pari, quindi per dualità si ottiene anche la coppia opposta:

$$\begin{gathered} \operatorname{tri}(t)\longleftrightarrow\operatorname{sinc}^2(f)\\ \operatorname{sinc}^2(t)\longleftrightarrow\operatorname{tri}(f) \end{gathered}$$

Rect e tri

Nel tempo

$t$

• $\mathrm{rect}(t)$
• $\mathrm{tri}(t)$

In frequenza

$f$

• $\mathrm{sinc}(f)$
• ${\mathrm{sinc}}^2(f)$

Serie di Fourier

Un segnale periodico $x(t)$ di periodo $T$ ha frequenza fondamentale $F=1/T$. Le frequenze $f_n=nF$ sono le armoniche. Il segnale è una somma pesata di esponenziali complessi alle armoniche, con pesi $X_n$ detti coefficienti della serie di Fourier, che si calcolano sul periodo principale:

$$\begin{gathered} x(t)=\sum_{n\in\mathbb Z}X_n\,e^{\mathrm j2\pi f_nt}\\ X_n=\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\,e^{-\mathrm j2\pi f_nt}\,dt \end{gathered}$$

Trasformata di un segnale periodico

La trasformata è lineare e $e^{\mathrm j2\pi f_nt}\longleftrightarrow\delta(f-f_n)$, quindi la serie si trasforma termine a termine:

$$X(f)=\sum_{n\in\mathbb Z}X_n\,\delta(f-nF)$$

La trasformata è nulla fuori dalle armoniche. Gli impulsi stanno ai multipli di $F$ per qualunque segnale periodico di periodo $T$. Solo i pesi $X_n$ dipendono dalla forma del segnale. Per trasformare un segnale periodico concreto basta quindi calcolare i suoi $X_n$ e inserirli in questa formula.

Treno di impulsi

Il treno di impulsi $\Gamma_T(t)=\sum_k\delta(t-kT)$ è periodico di periodo $T$. Nel periodo principale, da $-T/2$ a $T/2$, resta il solo impulso in $t=0$. Per la proprietà di campionamento l'integrale vale $1$:

$$\begin{aligned} X_n&=\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}\delta(t)\,e^{-\mathrm j2\pi f_nt}\,dt\\ &=\frac1T=F \end{aligned}$$

Ogni coefficiente vale $F$, quindi, con $\Gamma_F(f)$ il treno di impulsi nella variabile $f$ e di periodo $F$:

$$\begin{aligned} \mathrm{FT}\{\Gamma_T(t)\}&=F\sum_{n\in\mathbb Z}\delta(f-nF)\\ &=F\,\Gamma_F(f) \end{aligned}$$

Il treno di impulsi nel tempo ha per trasformata un treno di impulsi in frequenza, distanti $F=1/T$ e di area $F$.

Il treno di impulsi e la sua trasformata

Nel tempo

${\Gamma }_T(t)$$T$$t$

In frequenza

$F{\Gamma }_F(f)$$F$$f$

$T$

1,6