Banda, filtri e modulazione

Banda e larghezza di banda

Nel tempo un segnale ha un supporto e una durata. In frequenza i corrispondenti sono la banda e la larghezza di banda. La banda di $x(t)$ è l'insieme delle frequenze per cui la trasformata $X(f)$ è diversa da zero; la larghezza di banda $W$ (bandwidth) è la misura di questo insieme.

Per trovarla si calcola la trasformata e si guarda dove non è nulla:

• $\operatorname{sinc}(t)\longleftrightarrow\operatorname{rect}(f)$, diversa da zero fra $-\tfrac12$ e $\tfrac12$: $W=1$;
• $\delta(t)\longleftrightarrow1$, diversa da zero a ogni frequenza: $W=+\infty$.

Così si dice in modo preciso ciò che le trasformate notevoli suggeriscono: un segnale breve nel tempo ha banda larga, uno lungo ha banda stretta. L'impulso, di durata nulla, ha banda infinita; la costante $C$ ha per trasformata un solo impulso, $C\,\delta(f)$; il coseno, che dura per sempre, ha due impulsi di area $\tfrac12$ in $\pm f_0$.

Filtri in frequenza

Un filtro con risposta impulsiva $h(t)$ dà in uscita la convoluzione $y(t)=x(t)*h(t)$. Per il teorema della convoluzione in frequenza diventa un prodotto:

$$Y(f)=H(f)\,X(f)$$

$H(f)=\mathrm{FT}\{h(t)\}$ è la risposta in frequenza del filtro, o funzione di trasferimento. Per avere $y(t)$ si antitrasforma $Y(f)$. La convoluzione è laboriosa anche fra due rect, mentre il prodotto punto per punto è immediato: si trasformano ingresso e filtro, si disegnano, si moltiplicano e si torna nel tempo.

Molti filtri si descrivono proprio con $H(f)$, perché dice che cosa succede a ogni frequenza. Moltiplicare $X(f)$ per una rect alta 1 lascia $X(f)$ dov'è la rect e dà zero fuori.

• Passa basso: lascia le frequenze basse in modulo, $|f|<B/2$.

$$\operatorname{rect}\!\left(\frac fB\right)\longleftrightarrow B\operatorname{sinc}(Bt)$$

• Passa alto: toglie la banda centrale e lascia le frequenze alte in modulo. Serve per esempio su un mezzo con molto rumore alle basse frequenze.

$$\begin{aligned} 1-\operatorname{rect}\!\left(\frac fB\right)&\longleftrightarrow\\ \delta(t)&-B\operatorname{sinc}(Bt) \end{aligned}$$

• Passa banda: lascia solo due bande larghe $B$ attorno a $\pm f_p$.

$$\begin{aligned} H(f)&=\operatorname{rect}\!\left(\frac{f-f_p}{B}\right)\\ &\quad+\operatorname{rect}\!\left(\frac{f+f_p}{B}\right) \end{aligned}$$

La risposta impulsiva del passa banda si ricava con scalatura e modulazione, $h(t)=2B\operatorname{sinc}(Bt)\cos(2\pi f_pt)$, ma questi filtri si usano in frequenza. Il passa basso restringe la banda e quindi allarga il segnale nel tempo: la sua $h(t)$, una sinc, ha durata infinita.

Tre filtri sulla stessa trasformata

Filtro

Passa bassoPassa altoPassa banda

$f$

• $X(f)$
• $H(f)$
• $Y(f)$

$B$

2

$f_p$

1,6

Esempio: l'uscita di un filtro

Ingresso $x(t)=\operatorname{sinc}^2(t)\left[1-e^{\mathrm j2\pi5t}\right]$, filtro $h(t)=2\operatorname{sinc}(3t)$.

Ingresso. Si distribuisce il prodotto, $x(t)=\operatorname{sinc}^2(t)-\operatorname{sinc}^2(t)\,e^{\mathrm j2\pi5t}$. Per linearità, con $\operatorname{sinc}^2(t)\longleftrightarrow\operatorname{tri}(f)$ e la traslazione in frequenza:

$$X(f)=\operatorname{tri}(f)-\operatorname{tri}(f-5)$$

La prima tri va da $-1$ a $1$, la seconda da 4 a 6, rivolta verso il basso.

Filtro. Da $\operatorname{sinc}(t)\longleftrightarrow\operatorname{rect}(f)$ e la scalatura di un fattore 3:

$$H(f)=\frac23\operatorname{rect}\!\left(\frac f3\right)$$

un passa basso alto $\tfrac23$ fra $-\tfrac32$ e $\tfrac32$.

Prodotto. La prima tri sta tutta dentro la rect, la seconda fuori:

$$\begin{gathered} Y(f)=\frac23\operatorname{tri}(f)\\ y(t)=\frac23\operatorname{sinc}^2(t) \end{gathered}$$

Se il prodotto desse qualcosa che non si sa antitrasformare, conviene ricontrollare i conti.

Il filtro toglie la componente in 5

$f$

• $X(f)$
• $H(f)$
• $Y(f)$

Modulatore

Un modulatore moltiplica il segnale per un coseno alla frequenza portante $f_p$. Con la formula di Eulero, $y(t)=\tfrac12x(t)\,e^{\mathrm j2\pi f_pt}+\tfrac12x(t)\,e^{-\mathrm j2\pi f_pt}$: ciascun termine è $x(t)$ moltiplicato per un esponenziale complesso, che trasla $X(f)$ di $\pm f_p$.

$$\begin{gathered} y(t)=x(t)\cos(2\pi f_pt)\\ Y(f)=\frac12X(f-f_p)+\frac12X(f+f_p) \end{gathered}$$

Il contenuto in frequenza di $x$ lascia la sua banda e compare in due repliche alte la metà, centrate in $\pm f_p$: il coseno «porta» il segnale altrove. Serve a trasmettere nella banda assegnata, a evitare bande con interferenza, e a mettere più segnali sullo stesso mezzo con bande che non si sovrappongono, ciascuno con la sua portante.

Demodulatore

Chi riceve vuole di nuovo $x(t)$. Il demodulatore moltiplica per $2\cos(2\pi f_pt)$, con la stessa portante, e poi filtra con un passa basso. Per la formula di duplicazione $2\cos^2\alpha=1+\cos2\alpha$:

$$\begin{gathered} z(t)=2x(t)\cos^2(2\pi f_pt)\\ =x(t)+x(t)\cos(2\pi\,2f_pt) \end{gathered}$$ $$\begin{aligned} Z(f)&=X(f)+\frac12X(f-2f_p)\\ &\quad+\frac12X(f+2f_p) \end{aligned}$$

Il fattore 2 fa ricomparire $X(f)$ alla sua altezza, e le repliche finiscono a $\pm2f_p$, lontane dall'origine se la portante è grande. Un passa basso largo almeno quanto la banda di $X(f)$, e che non arrivi alle repliche, tiene solo $X(f)$. In uscita resta quindi $X(f)$, cioè il segnale di partenza $x(t)$: modulatore e demodulatore insieme non lo alterano, lo spostano soltanto durante la trasmissione.

Modulazione e demodulazione

Punto della catena

Dopo il modulatoreDopo la seconda moltiplicazione

$f$

• trasformata del segnale
• passa basso

$f_p$

2