Teorema del campionamento e conversione analogico-digitale

Dal segnale continuo ai bit

Un elaboratore numerico lavora su sequenze di valori discreti, quindi un segnale analogico, continuo nel tempo e nelle ampiezze, si discretizza su entrambi gli assi. Il campionamento discretizza il tempo. La quantizzazione e la codifica discretizzano le ampiezze e producono i bit. Il teorema del campionamento dice quando il segnale si ricostruisce dai suoi campioni senza perdere informazione.

Campionare

Il campionatore è un sistema misto: riceve un segnale continuo $x(t)$ ed emette la sequenza dei campioni, che si scrive $x_n$ o $x[n]$:

$$x_n=x(nT_s)$$

$T_s$ è il passo di campionamento, il tempo fra due campioni. La frequenza di campionamento è $F_s=1/T_s$, il numero di campioni al secondo.

Il teorema vale per i segnali a banda limitata: la trasformata $X(f)$ è nulla oltre una frequenza massima finita $f_m$. Per trovarla si calcola la trasformata. Una sinc ha come trasformata una rect fra $-1/2$ e $1/2$, quindi $f_m=1/2$. L'impulso matematico ha trasformata costante, diversa da zero a ogni frequenza: $f_m$ è infinita e il teorema non vale.

Teorema del campionamento. Se $x(t)$ è a banda limitata con frequenza massima $f_m$ e $F_s\ge2f_m$, allora $x(t)$ si ricostruisce dai campioni senza errore. Basta far passare i campioni in un formatore di impulsi e poi in un filtro passa basso: l'uscita è $y(t)=x(t)$.

Per la sinc serve quindi $F_s\ge1$ Hz.

$x(t)$$T_s$campionatore$x_n$Formatore di impulsi$\tilde{x}(t)$Passa basso$y(t)$

Il formatore di impulsi

Il formatore mette in ogni $nT_s$ un impulso matematico, la cui area è il campione:

$$\tilde x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_n\,\delta(t-nT_s)$$

Non è un segnale a tempo discreto: è continuo nella variabile $t$. Il formatore è quindi un sistema misto, da una sequenza a un segnale continuo.

L'impulso campiona il segnale dove si trova, quindi $x(nT_s)\,\delta(t-nT_s)=x(t)\,\delta(t-nT_s)$. Così $x(t)$ esce dalla somma:

$$\begin{aligned} \tilde x(t)&=x(t)\sum_n\delta(t-nT_s)\\ &=x(t)\,\Gamma_{T_s}(t) \end{aligned}$$

dove $\Gamma_{T_s}(t)$ è il treno di impulsi di passo $T_s$.

Le repliche dello spettro

Il prodotto nel tempo è una convoluzione in frequenza. Il treno di impulsi si trasforma in un treno, $F_s\,\Gamma_{F_s}(f)$, e convolvere con un impulso trasla:

$$\begin{aligned} \tilde X(f)&=X(f)*F_s\,\Gamma_{F_s}(f)\\ &=F_s\sum_nX(f-nF_s) \end{aligned}$$

Lo spettro del segnale dopo il formatore è una replica di $X(f)$ in ogni multiplo di $F_s$, scalata di $F_s$.

Condizione sulla frequenza e aliasing

Il filtro passa basso ha risposta in frequenza una rect larga $F_s$ e alta $1/F_s$. Seleziona la replica centrale e toglie il fattore $F_s$:

$$\begin{gathered} H(f)=\frac1{F_s}\operatorname{rect}\!\left(\frac f{F_s}\right)\\ Y(f)=\tilde X(f)\,H(f)=X(f) \end{gathered}$$

Perché la replica centrale resti intera, le altre non devono toccarla. La centrale occupa $[-f_m,f_m]$ e la prima a destra comincia in $F_s-f_m$, quindi serve $F_s-f_m\ge f_m$, cioè $F_s\ge2f_m$. Se $F_s<2f_m$ le repliche si sovrappongono: il filtro lascia uno spettro alterato e il segnale ricostruito è distorto. Questo effetto è l'aliasing.

Repliche, filtro e uscita, con $X(f)=\mathrm{rect}(f)$

Dopo il formatore

$f$

• $\tilde{X}(f)/F_s$
• filtro passa basso

Uscita del filtro

$f$

• $X(f)$
• $Y(f)$

$F_s$

1,6

Ricostruire nel tempo

Da $H(f)=T_s\operatorname{rect}(T_sf)$ si ricava la risposta impulsiva $h(t)=\operatorname{sinc}(t/T_s)$. L'uscita è la convoluzione di $\tilde x(t)$ con $h(t)$: ogni impulso trasla una sinc nel proprio campione e la pesa con $x_n$.

$$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_n\operatorname{sinc}\!\left(\frac{t-nT_s}{T_s}\right)$$

È il secondo enunciato del teorema: dà $x(t)$ dai soli campioni e dal passo. Ogni sinc vale 1 nel proprio campione e si annulla negli altri multipli di $T_s$. Nei punti di campionamento la somma restituisce quindi i campioni, e fra un campione e l'altro interpola.

Somma di sinc, con $x(t)=\mathrm{sinc}(t)$

$t$

• $x(t)$
• campioni $x_n$
• somma delle sinc

$T_s$

0,8

Il segnale analogico diventa digitale

La conversione analogico-digitale ha tre operazioni, nell'ordine: campionamento, quantizzazione, codifica. Il campionamento rende discreto il tempo, ma le ampiezze dei campioni restano continue: le discretizzano la quantizzazione, che le approssima con un numero finito di valori, e la codifica, che li traduce in bit.

Quantizzazione

La dinamica è l'intervallo $[-D,D]$ delle ampiezze ammesse, e si suppone $|x_n|<D$. Si divide in $M$ intervalli, ciascuno di larghezza

$$\Delta=\frac{2D}{M}$$

A ogni intervallo si associa un livello di restituzione $\hat x_i$, con $i=0,\dots,M-1$, di solito il suo punto medio. Ogni campione prende il livello dell'intervallo in cui cade, quindi $x_q[n]\in\{\hat x_0,\dots,\hat x_{M-1}\}$, e si commette l'errore di quantizzazione

$$e_q[n]=x_n-x_q[n]$$

• Dentro la dinamica, con i livelli al centro, $|e_q[n]|\le\Delta/2=D/M$. Aumentando $M$ l'errore cala, ma non si annulla.
• Fuori dalla dinamica il campione prende il livello dell'ultimo intervallo: è la saturazione. L'errore non ha limite, perché dipende da quanto il campione supera $D$.

La quantizzazione non è invertibile: campioni diversi nello stesso intervallo danno lo stesso livello.

Codifica

Il codificatore associa a ogni livello una sequenza di $K$ bit. Con $K$ bit le sequenze sono $2^K$ e ne servono almeno $M$:

$$M\le2^K\quad\Longleftrightarrow\quad K\ge\log_2M$$

Conviene $M=2^K$: altrimenti alcune sequenze non corrispondono a nessun livello. Con $M=8$ e $K=3$ la tabella associa $\hat x_0\to000$, $\hat x_1\to001$, fino a $\hat x_7\to111$. La codifica è invertibile: basta la tabella.

Quantizzatore con $M=8$ livelli

$-D$$D$$x_n$$x_q[n]$

• senza quantizzare
• $x_q[n]$

Dai bit al segnale

Per la conversione digitale-analogica si legge la tabella al contrario. La sequenza di bit si divide in blocchi di $K$ bit e ogni blocco dà il suo livello: con la tabella precedente $010\,111\,011\,110$ dà $\hat x_2$, $\hat x_7$, $\hat x_3$, $\hat x_6$. Si ottiene $x_q[n]$, non $x_n$: l'approssimazione della quantizzazione non si recupera.

Formatore di impulsi e passa basso riportano poi la sequenza a un segnale continuo $\hat x(t)$. Questo è in generale diverso da $x(t)$ per l'errore di quantizzazione, anche se $F_s\ge2f_m$. Aumentando $M$, $\hat x(t)$ si avvicina a $x(t)$ senza mai coincidere.

$x(t)$$T_s$campionatore$x_n$Quantizzatore$x_q[n]$CodificatorebitDecodificatore$x_q[n]$Formatore di impulsi${\hat{x}}_q(t)$Passa basso$\hat{x}(t)$

Frequenza di bit

Ogni campione dà $K$ bit e i campioni sono $F_s$ al secondo, quindi i bit al secondo sono

$$F_b=KF_s$$

Ridurre l'errore chiede $M$ più grande, quindi $K\ge\log_2M$ più grande, e la frequenza di bit sale. Fra errore di quantizzazione e frequenza di bit c'è un compromesso.

Esercizi

Dimensione. Un segnale audio di 3 minuti è campionato a $44{,}1$ kHz e quantizzato con 512 intervalli. Da $M=2^K$ si ha $K=\log_2512=9$ bit per campione. La durata è 180 s e i bit al secondo sono $F_sK$, quindi la dimensione in bit è

$$\begin{aligned} \text{dimensione}&=\text{durata}\cdot F_sK\\ &=180\cdot44{,}1\cdot10^3\cdot9\\ &\approx71{,}4\ \text{Mbit} \end{aligned}$$

cioè circa $8{,}9$ MB, con 1 byte uguale a 8 bit.

Durata. Un segnale audio campionato a 50 kHz e quantizzato con 1024 intervalli deve stare su 500 MB. Qui $K=\log_2 1024=10$ bit per campione, e 500 MB sono $4\cdot10^9$ bit. Si inverte la formula della dimensione:

$$\text{durata}=\frac{\text{dimensione}}{F_sK}=\frac{4\cdot10^9}{5\cdot10^4\cdot10}=8000\ \text{s}$$