Sistemi dinamici: stato e modelli lineari

Dall'ingresso all'uscita, con lo stato

Un sistema è definito dalle relazioni fra i suoi oggetti: persone, denaro, un circuito. Per descriverlo dall'esterno si sceglie un orientamento: le grandezze che lo influenzano sono gli ingressi $u$, quelle che interessano sono le uscite $y$.

In generale l'uscita dipende da tutto ciò che l'ingresso ha fatto fino a quel momento:

$$y(t)=F\bigl(t,\,u|_{(-\infty,t)}\bigr)$$

Conservare tutta la storia è scomodo. Si fissa un istante iniziale $t_0$ e si riassume ciò che è successo prima in una sola grandezza, lo stato $x(t_0)$. Da lì in poi bastano lo stato e gli ingressi successivi:

$$\begin{cases} x(t)=\varphi\bigl(t,t_0,x(t_0),u|_{[t_0,t)}\bigr)\\ y(t)=\eta\bigl(t,x(t),u(t)\bigr) \end{cases}$$

L'ingresso in $t$ non entra nella dinamica dello stato in $t$, ma può influenzare subito l'uscita.

Lo stato contiene ciò che serve per il futuro, non ogni dettaglio del passato. Nei serbatoi, l'acqua in uscita dipende dalla pioggia di ora e da quella accumulata prima: lo stato riassume l'accumulato.

Proprietà di separazione

La rappresentazione con lo stato è valida solo se i due modi di calcolare l'evoluzione coincidono: andare da $t_0$ a $t$ in un passo, oppure fermarsi in un istante intermedio $t_1$ e ripartire dallo stato raggiunto lì con gli ingressi che restano.

$$x(t)=\varphi\bigl(t,t_1,\underbrace{\varphi(t_1,t_0,x(t_0),u|_{[t_0,t_1)})}_{x(t_1)},u|_{[t_1,t)}\bigr)$$

Stazionarietà

Un sistema è stazionario se lo stesso esperimento, fatto in momenti diversi, dà lo stesso risultato. Conta quanto dura l'esperimento, non quando comincia:

$$x(t)=\varphi\bigl(t-t_0,0,x(t_0),u|_{[t_0,t)}\bigr)$$

Il primo argomento di $\eta$ perde ugualmente il tempo assoluto. È una proprietà del sistema fisico: va verificata, e se non vale la semplificazione non si può usare.

Linearità

La linearità vale per tutte le cause insieme: stato iniziale e ingresso. Non basta sovrapporre gli ingressi, perché a parità di ingresso stati iniziali diversi danno effetti diversi. Quindi stato, uscita, ingresso e segmento di ingresso devono stare in spazi lineari, chiusi per somma e prodotto per uno scalare:

$$x(t)\in X\subseteq\mathbb R^n,\quad y(t)\in Y\subseteq\mathbb R^q$$ $$u(t)\in U\subseteq\mathbb R^p,\quad u|_{[t_0,t)}\in\mathcal U$$

Allora l'effetto si scompone:

$$\begin{aligned} x(t)&=\varphi(t,t_0,x(t_0),0)\\&\quad+\varphi(t,t_0,0,u|_{[t_0,t)})\\ y(t)&=\eta(t,x(t),0)+\eta(t,0,u(t)) \end{aligned}$$

Con la stazionarietà il tempo assoluto sparisce e le due parti si chiamano libera e forzata:

$$\begin{aligned} x(t)&=\varphi_L(t-t_0,x(t_0))\\&\quad+\varphi_F(t-t_0,u|_{[t_0,t)})\\ y(t)&=\eta_L(x(t))+\eta_F(u(t)) \end{aligned}$$

La parte libera dipende dallo stato iniziale: un condensatore carico che si scarica da solo. Se lo si carica dall'esterno si aggiunge la parte forzata, e con carica iniziale nulla resta solo quella.

Una funzione lineare da scalare a scalare è una moltiplicazione per una costante; da vettore a vettore è una matrice. Quindi $\eta_L(x)=Cx$ e $\eta_F(u)=Du$:

$$y(t)=Cx(t)+Du(t)$$

vale sia a tempo continuo sia a tempo discreto. Se il sistema è lineare ma non stazionario, $C$ e $D$ dipendono dal tempo: $C(t)$, $D(t)$.

Tempo continuo, discreto, campionato

Con $t\in\mathbb R$ il tempo è continuo. Con $t\in\mathbb Z$ è discreto: il sistema cambia solo in certi istanti e fra uno e l'altro non c'è evoluzione. La media dei voti ne è un esempio: gli ingressi sono i voti, l'uscita è la media, che si aggiorna a ogni esame in $t_1,t_2,\dots$ e resta ferma nel frattempo. Gli istanti possono essere irregolari.

Un sistema campionato è un'altra cosa: il sistema è continuo e lo si osserva solo in certi istanti; fra due osservazioni continua a evolvere.

Il segmento di ingresso cambia con il tempo. A tempo continuo è un segnale sull'intervallo da $t_0$ a $t$; a tempo discreto è l'elenco $u(t_0),u(t_0+1),\dots,u(t-1)$.

Risposta forzata a tempo discreto

Il segmento si ferma a $t-1$: $u(t)$ non entra ancora nello stato in $t$. Per causalità, l'effetto di un ingresso non dipende da quelli che devono ancora arrivare.

Si scrive la sequenza come somma di sequenze con un solo valore non nullo:

$$\begin{aligned} u|_{[t_0,t)}&=(u(t_0),0,\dots,0)\\ &+(0,u(t_0+1),0,\dots,0)\\ &+\dots+(0,\dots,0,u(t-1)) \end{aligned}$$

Una sequenza come somma di valori singoli

Mostra

Sequenza interaSolo il primo valoreSolo il secondoSolo il terzoSolo il quarto

$\tau$

• $u(\tau )$

Per linearità, la risposta alla sequenza intera è la somma delle risposte ai singoli valori. L'effetto sullo stato in $t$ di un valore applicato in $\tau$ dipende solo dal tempo trascorso, $t-\tau$: si scrive $H(t-\tau)u(\tau)$, con $H$ una matrice. La parte libera è $\Phi(t-t_0)x(t_0)$, quindi:

$$x(t)=\Phi(t-t_0)x(t_0)+\sum_{\tau=t_0}^{t-1}H(t-\tau)u(\tau)$$

Risposta forzata a tempo continuo

A tempo continuo i contributi elementari riempiono tutti gli istanti fra $t_0$ e $t$: la somma diventa un integrale, con la stessa matrice $H$ che dipende dal tempo trascorso.

$$x(t)=\Phi(t-t_0)x(t_0)+\int_{t_0}^{t}H(t-\tau)u(\tau)\,d\tau$$

La forma esplicita risponde a domande concrete. Un secchio senza perdite ha $\Phi=1$ e $H=1$. Con 3 litri iniziali e un litro al minuto aggiunto per 5 minuti:

$$x(5)=3+\int_0^5 1\cdot 1\,d\tau=8\ \text{litri}$$

Il secchio: parte libera più parte forzata

minutilitri

• parte libera
• parte forzata
• stato $x(t)$

acqua iniziale (litri)

3

apporto (litri al minuto)

1

durata dell'apporto (minuti)

5

Uscita in forma esplicita e nucleo $W$

Si sostituisce lo stato in $y(t)=Cx(t)+Du(t)$. A tempo discreto:

$$y(t)=C\Phi(t-t_0)x(t_0)+\sum_{\tau=t_0}^{t-1}CH(t-\tau)u(\tau)+Du(t)$$

Si pone $\Psi(t-t_0)=C\Phi(t-t_0)$. L'ultimo termine, $Du(t)$, è l'ingresso dello stesso istante e non passa dallo stato. Si include nella somma con un nucleo $W$ definito per ogni ritardo:

$$W(k)=\begin{cases}CH(k)&k=1,2,\dots,t-t_0\\ D&k=0\end{cases}$$ $$y(t)=\Psi(t-t_0)x(t_0)+\sum_{\tau=t_0}^{t}W(t-\tau)u(\tau)$$

Impulso di Dirac e uscita a tempo continuo

A tempo continuo $Du(t)$ non sta nell'integrale. Per scriverlo come integrale serve l'impulso $\delta(t-\tau)$: vale zero per $\tau\neq t$, in $\tau=t$ vale infinito, e il suo integrale vale 1 se $t$ cade nell'intervallo, 0 altrimenti. Non è una funzione ordinaria. Ne segue

$$f(\tau)\,\delta(t-\tau)=f(t)\,\delta(t-\tau)$$ $$\int_a^b f(\tau)\,\delta(t-\tau)\,d\tau=f(t),\quad a<t<b$$

Applicato a $Du(\tau)$, con l'impulso che cade sull'estremo $t$ e conta per intero:

$$\int_{t_0}^{t}Du(\tau)\,\delta(t-\tau)\,d\tau=Du(t)$$

Il termine diretto entra così nello stesso integrale della parte dinamica, e si raccoglie $u(\tau)$:

$$W(t-\tau)=CH(t-\tau)+D\,\delta(t-\tau)$$ $$y(t)=\Psi(t-t_0)x(t_0)+\int_{t_0}^{t}W(t-\tau)u(\tau)\,d\tau$$

In entrambi i tempi $W$ raccoglie tutti i contributi dell'ingresso all'uscita: una somma nel discreto, un integrale con impulso nel continuo.