Sistemi lineari stazionari a tempo continuo

La forma esplicita

Un sistema lineare stazionario a tempo continuo ha ingresso $u\in\mathbb R^p$, stato $x\in\mathbb R^n$ e uscita $y\in\mathbb R^q$. La forma esplicita (FE) dà stato e uscita al tempo $t$ in funzione dello stato iniziale e dell'ingresso applicato fra $t_0$ e $t$:

$$\begin{aligned} x(t)&=\Phi(t-t_0)\,x(t_0)+\int_{t_0}^{t}H(t-\tau)\,u(\tau)\,d\tau\\ y(t)&=\Psi(t-t_0)\,x(t_0)+\int_{t_0}^{t}W(t-\tau)\,u(\tau)\,d\tau \end{aligned}$$

$\Phi$ e $\Psi$ sono le matrici di transizione dello stato e dell'uscita; $H$ e $W$ le risposte impulsive dello stato e dell'uscita. Le dimensioni sono $\Phi\in\mathbb R^{n\times n}$, $H\in\mathbb R^{n\times p}$, $\Psi\in\mathbb R^{q\times n}$, $W\in\mathbb R^{q\times p}$.

Le funzioni compaiono solo come differenze, $t-t_0$ e $t-\tau$: è la stazionarietà. Conta il tempo trascorso, non l'istante assoluto, quindi si può fissare $t_0=0$ e abbreviare $x_0=x(t_0)$.

La risposta impulsiva

Con un ingresso e un'uscita si applica $u(\tau)=\delta(\tau)$. L'integrale pesca il valore del nucleo nel punto dell'impulso:

$$\int_{t_0}^{t}W(t-\tau)\,\delta(\tau)\,d\tau=W(t)$$

L'uscita all'impulso è $W$: la risposta impulsiva. Con $q$ uscite è un vettore di $q$ componenti, e il significato non cambia.

Con $p$ ingressi un vettore di impulsi $(\delta,\dots,\delta)^\top$ restituisce la somma delle colonne di $W$, senza distinguerle. Si dà quindi l'impulso a un ingresso per volta e si lasciano nulli gli altri: la prova $j$ restituisce la colonna $W_j(t)$. Dopo $p$ prove si ha l'intera $W\in\mathbb R^{q\times p}$. Lo stesso vale per $H$.

Due condizioni di coerenza

Stato iniziale. In $t=t_0$ la formula deve restituire $x(t_0)$, cioè $x(t_0)=\Phi(0)\,x(t_0)$. Quindi $\Phi(0)=I$.

Separazione. Lo stato in $t$ si può ottenere in due modi: direttamente da $t_0$, oppure arrivando a $t_1$ e ripartendo da $x(t_1)$ come stato iniziale. I due risultati devono coincidere per ogni $x(t_0)$ e ogni ingresso. Sostituendo $x(t_1)$ nel secondo modo:

$$\begin{aligned} x(t)&=\Phi(t-t_1)\Phi(t_1-t_0)\,x(t_0)\\ &\quad+\int_{t_0}^{t_1}\Phi(t-t_1)H(t_1-\tau)\,u(\tau)\,d\tau\\ &\quad+\int_{t_1}^{t}H(t-\tau)\,u(\tau)\,d\tau \end{aligned}$$

Il confronto con la forma diretta, a parità di integrando e di estremi, dà

$$\begin{gathered} \Phi(t-t_0)=\Phi(t-t_1)\,\Phi(t_1-t_0)\\ H(t-\tau)=\Phi(t-t_1)\,H(t_1-\tau) \end{gathered}$$

per $t_0\le\tau\le t_1\le t$. La prima è la proprietà di semigruppo: la transizione complessiva è il prodotto delle transizioni dei due tratti, in ordine temporale. Non è una somma: con $t=t_1=t_0$ una somma darebbe $I=2I$.

Causalità e memoria

Il risultato non può dipendere dal futuro. Se si porta l'estremo superiore dell'integrale a $t+T$, il risultato non deve cambiare. Succede solo se $W(t-\tau)=0$ per $\tau>t$, cioè

$$H(s)=0,\quad W(s)=0\qquad\text{per }s<0$$

Il nucleo $W(t-\tau)$ è $W$ riflessa rispetto a $\tau$ e traslata in $t$: a destra di $t$ vale zero, quindi l'ingresso futuro viene moltiplicato per zero.

Il nucleo pesa anche il passato. Dove $W(t-\tau)$ è piccolo, l'ingresso di quegli istanti conta poco nell'uscita. Più lunga è la coda di $W$, più a lungo il sistema ricorda gli ingressi passati: $W$ misura la memoria del sistema.

Il nucleo pesa l'ingresso

$\tau$

• ingresso $u(\tau )$
• nucleo $W(t-\tau )$
• prodotto $W(t-\tau )u(\tau )$

$t$

5

$RC$

1

Dalla forma esplicita alla forma implicita

I modelli fisici contengono derivate. Nel circuito RC un generatore $u$ è in serie con un resistore $R$ e un condensatore $C$, con uscita la tensione $v_C$. La maglia dà $u-Ri-v_C=0$ e il condensatore $i=C\dot v_C$, quindi

$$RC\,\dot v_C=u-v_C$$

Anche $v_C(t)$ dipende dal valore iniziale e dall'ingresso fra $t_0$ e $t$, come nella forma esplicita. Si cerca allora come riscrivere la forma esplicita con le derivate: si deriva $x(t)$.

L'estremo superiore dipende da $t$ e l'integrando anche, quindi serve la regola di Leibniz. L'estremo inferiore è costante e non contribuisce:

$$\begin{aligned} &\frac{d}{dt}\int_{t_0}^{t}H(t-\tau)u(\tau)\,d\tau\\ &\quad=H(0)\,u(t)+\int_{t_0}^{t}\frac{\partial H(t-\tau)}{\partial t}\,u(\tau)\,d\tau \end{aligned}$$

Quindi

$$\begin{aligned} \dot x(t)={}&\frac{d}{dt}\Phi(t-t_0)\,x(t_0)+H(0)\,u(t)\\ &+\int_{t_0}^{t}\frac{\partial H(t-\tau)}{\partial t}\,u(\tau)\,d\tau \end{aligned}$$

Si usa la separazione, $\Phi(t-t_0)=\Phi(t-t_1)\Phi(t_1-t_0)$ e $H(t-\tau)=\Phi(t-t_1)H(t_1-\tau)$. Di $t$ resta funzione solo il fattore $\Phi(t-t_1)$, che esce dalle parentesi:

$$\begin{aligned} \dot x(t)={}&\frac{d}{dt}\Phi(t-t_1)\Bigl[\Phi(t_1-t_0)x(t_0)\\ &\quad+\int_{t_0}^{t}H(t_1-\tau)u(\tau)\,d\tau\Bigr]+H(0)\,u(t) \end{aligned}$$

Per $t_1\to t$ la parentesi tende a $x(t)$:

$$\dot x(t)=\lim_{t_1\to t}\frac{d}{dt}\Phi(t-t_1)\;x(t)+H(0)\,u(t)$$

Il limite è una matrice $n\times n$ che non dipende da $t$: $\lim_{s\to0}\dot\Phi(s)=\dot\Phi(0)$, se $\dot\Phi$ è continua in $0$. Si pongono $A=\dot\Phi(0)$ e $B=H(0)\in\mathbb R^{n\times p}$, e resta

$$\dot x(t)=A\,x(t)+B\,u(t)$$

L'uscita non contiene derivate: $y(t)=Cx(t)+Du(t)$, con $\Psi(t)=C\,\Phi(t)$ e $W(t)=C\,H(t)+D\,\delta(t)$. Si ottiene la forma implicita (FI):

$$\begin{cases}\dot x(t)=A\,x(t)+B\,u(t)\\ y(t)=C\,x(t)+D\,u(t)\end{cases} \qquad (t_0,\,x(t_0))$$

con $A\in\mathbb R^{n\times n}$, $B\in\mathbb R^{n\times p}$, $C\in\mathbb R^{q\times n}$, $D\in\mathbb R^{q\times p}$. Le equazioni da sole non scelgono una traiettoria: serve la condizione iniziale $(t_0,x(t_0))$. Un modello con derivata seconda, come $M\ddot p=F-k\dot p$, non è ancora in questa forma e va riscritto come sistema del primo ordine.

Risolvere la forma implicita

Nel caso scalare, $\dot x=ax+bu$ con $a,b\in\mathbb R$. L'equazione omogenea $\dot x=ax$ ha soluzione $x(t)=e^{at}K$, e da $x(t_0)$ segue $K=e^{-at_0}x(t_0)$. Il contributo dell'ingresso si trova con la variazione dei parametri:

$$x(t)=e^{a(t-t_0)}x(t_0)+\int_{t_0}^{t}e^{a(t-\tau)}\,b\,u(\tau)\,d\tau$$

Nel circuito RC, con $a=-1/RC$ e $b=1/RC$, un ingresso costante $u$ da $t_0=0$ dà $v_C(t)=v_C(0)\,e^{-t/RC}+u\,(1-e^{-t/RC})$.

Circuito RC: evoluzione libera e forzata

$t$

• evoluzione libera
• risposta forzata
• $v_C(t)$

$RC$

1

$v_C(0)$

2

$u$

1

Nel caso matriciale la soluzione ha la stessa forma, con $e^{At}$ al posto di $e^{at}$. L'esponenziale di matrice si definisce con la serie

$$e^{At}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^k t^k}{k!}$$

Le potenze sono potenze di matrice: $e^{At}$ non è la matrice degli $e^{a_{ij}t}$. Solo se $A$ è diagonale la serie agisce sulla diagonale, e $e^{At}=\mathrm{diag}\bigl(e^{a_{11}t},\dots,e^{a_{nn}t}\bigr)$.

Derivando la serie termine a termine e raccogliendo $A$, a sinistra o a destra:

$$\frac{d}{dt}e^{At}=A\,e^{At}=e^{At}A$$

Quindi $e^{A(t-t_0)}x(t_0)+\int_{t_0}^{t}e^{A(t-\tau)}B\,u(\tau)\,d\tau$ risolve la FI. Confrontata con la forma esplicita, dà $\Phi(t)=e^{At}$ e $H(t)=e^{At}B$. FE e FI sono equivalenti.

Autovalori e modi

Per calcolare $e^{At}$ si diagonalizza $A$. Un autovalore $\lambda$ e un suo autovettore $u\neq0$ soddisfano $Au=\lambda u$, cioè $(A-\lambda I)u=0$. Una soluzione non nulla esiste solo se $A-\lambda I$ è singolare:

$$\det(A-\lambda I)=0$$

È un'equazione di grado $n$. Nel caso più semplice ha $n$ radici reali distinte $\lambda_1,\dots,\lambda_n$, con autovettori $u_i$ indipendenti, che non vanno confusi con l'ingresso $u(t)$. Con autovalori ripetuti non è garantito trovare $n$ autovettori indipendenti, e senza di essi non si diagonalizza.

Si mettono gli autovettori nelle colonne di $U$ e gli autovalori sulla diagonale di $\Lambda$. Le righe di $U^{-1}$ sono $v_1,\dots,v_n$:

$$A=U\Lambda U^{-1}=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\,u_i v_i \qquad v_i u_j=\begin{cases}1&i=j\\0&i\ne j\end{cases}$$

Le potenze si semplificano perché $U^{-1}U=I$ fra i fattori: $A^k=U\Lambda^kU^{-1}$. Sostituendo nella serie:

$$e^{At}=U\,e^{\Lambda t}\,U^{-1}=\sum_{i=1}^{n}e^{\lambda_i t}\,u_i v_i$$

Con ingresso nullo e $c_i=v_i x_0$, l'evoluzione libera è una somma di esponenziali:

$$x(t)=e^{At}x_0=\sum_{i=1}^{n}c_i\,e^{\lambda_i t}\,u_i$$

Ogni $e^{\lambda_i t}u_i$ è un modo naturale: lo stato si muove lungo $u_i$, con ampiezza che varia come $e^{\lambda_i t}$. I numeri $c_i$ sono le componenti dello stato iniziale lungo gli autovettori.

Esempio in $\mathbb R^2$. Con $\lambda_1=1$ e $\lambda_2=-1$ l'evoluzione libera è

$$x(t)=\begin{pmatrix}e^{t}+e^{-t}\\4e^{t}+2e^{-t}\end{pmatrix}=e^{t}\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}+e^{-t}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$$

I vettori che moltiplicano gli esponenziali sono i modi: $u_1=(1,4)^\top$ con $c_1=1$ e $u_2=(1,2)^\top$ con $c_2=1$. Lungo $u_1$ l'ampiezza cresce, lungo $u_2$ si accorcia. Lo stato è la somma vettoriale dei due moti. A $t=0$ è $x_0=(2,6)^\top$, e $c_1$, $c_2$ sono le componenti di $x_0$ lungo $u_1$ e $u_2$: si leggono tracciando da $x_0$ le parallele ai due autovettori.