Differenziabilità e gradiente in più variabili

La differenziabilità

Le derivate parziali e direzionali descrivono come varia $f$ lungo alcune direzioni. La continuità riguarda invece tutti i punti vicini, quindi una funzione può avere tutte queste derivate in un punto senza essere continua. Serve una nozione più forte: approssimare $f$ vicino a $x_0$ con una funzione affine, con un errore trascurabile rispetto alla distanza da $x_0$.

Sia $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ e $x_0\in\mathbb R^n$. $f$ è differenziabile in $x_0$ quando esiste un vettore $a\in\mathbb R^n$ tale che, per $x\to x_0$,

$$f(x)=f(x_0)+a^\top(x-x_0)+o(\|x-x_0\|)$$

Il vettore $a$ dipende da $x_0$. Il termine $o(\|x-x_0\|)$ è l'errore: diviso per $\|x-x_0\|$ tende a $0$. Spostando a sinistra la parte affine e dividendo per la distanza si ottengono due forme equivalenti, la seconda con $x=x_0+d$:

$$\begin{gathered} \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-a^\top(x-x_0)}{\|x-x_0\|}=0\\[0.4em] \lim_{\|d\|\to0}\frac{f(x_0+d)-f(x_0)-a^\top d}{\|d\|}=0 \end{gathered}$$

Una funzione differenziabile in $x_0$ è continua in $x_0$: per $x\to x_0$ la parte affine tende a $f(x_0)$ e l'errore a $0$.

Il gradiente e il piano tangente

Sia $f$ differenziabile in $x_0$. Per $d\neq0$ e $t>0$ la definizione con $x=x_0+td$ dà $f(x_0+td)-f(x_0)=t\,a^\top d+o(t\|d\|)$. Dividendo per $t$ e facendo $t\to0^+$:

$$Df(x_0,d)=a^\top d$$

La derivata direzionale esiste quindi lungo ogni direzione. Con $d=e_i$ e $d=-e_i$:

$$\begin{gathered} Df(x_0,e_i)=a_i\\ Df(x_0,-e_i)=-a_i \end{gathered}$$

I due valori sono opposti: è la condizione per cui esiste la derivata parziale rispetto a $x_i$, e vale $a_i$. Perciò $f$ è derivabile in $x_0$ e $a=\nabla f(x_0)$: il vettore della definizione è il gradiente, e la derivata direzionale è un prodotto scalare:

$$Df(x_0,d)=\nabla f(x_0)^\top d$$

Il grafico di $f$ sta in $\mathbb R^{n+1}$. La parte affine dell'approssimazione ne dà il piano tangente in $(x_0,f(x_0))$, un iperpiano di $\mathbb R^{n+1}$:

$$T(x_0)=\{(x,y):\ y=f(x_0)+\nabla f(x_0)^\top(x-x_0)\}$$

Il vettore $v=(-\nabla f(x_0)^\top,\,1)^\top$, con $n+1$ componenti, è normale al piano tangente e al grafico. Per $n=1$ il piano è la retta tangente e $v=(-f'(x_0),1)$.

Derivabile non basta. Una funzione differenziabile in $x_0$ è continua e derivabile in $x_0$. Per $n=1$ vale anche il viceversa, per $n\ge2$ no. Lo mostrano due funzioni costanti a tratti: valgono $1$ fuori dagli assi la prima, nella regione $x^2<y<2x^2$ la seconda, e $0$ altrove. Nell'origine hanno le derivate parziali ma non sono continue, quindi non sono differenziabili.

Riconoscere le funzioni differenziabili

La definizione richiede un limite in più variabili, di solito difficile da calcolare. Si usano due strumenti: le operazioni che conservano la differenziabilità e il teorema del differenziale totale.

Somma e prodotto. Se $f,g:\mathbb R^n\to\mathbb R$ sono differenziabili in $x_0$, lo sono anche $h(x)=f(x)+g(x)$ e $h(x)=f(x)\,g(x)$, con gradienti

$$\begin{gathered} \nabla h(x_0)=\nabla f(x_0)+\nabla g(x_0)\\[0.4em] \nabla h(x_0)=g(x_0)\nabla f(x_0)+f(x_0)\nabla g(x_0) \end{gathered}$$

Il prodotto per uno scalare $\lambda$ è il caso $g=\lambda$ costante, con gradiente nullo: $\nabla(\lambda f)=\lambda\nabla f$. Una funzione lineare coincide con la sua approssimazione affine, quindi è differenziabile ovunque, e lo è anche una costante. Somme e prodotti di costanti e funzioni lineari sono i polinomi, che quindi sono differenziabili ovunque.

Funzione composta. Se $g:\mathbb R^n\to\mathbb R$ è differenziabile in $x_0$ e $f:\mathbb R\to\mathbb R$ è derivabile in $g(x_0)$, la funzione $h(x)=f(g(x))$ è differenziabile in $x_0$ e

$$\nabla h(x_0)=f'(g(x_0))\,\nabla g(x_0)$$

Reciproco e quoziente. Sia $g(x_0)\neq0$. Il reciproco $h(x)=1/g(x)$ è la composta $f(g(x))$ con $f(t)=1/t$ e $f'(t)=-1/t^2$:

$$\nabla h(x_0)=-\frac{1}{g(x_0)^2}\,\nabla g(x_0)$$

Il quoziente $h(x)=f(x)/g(x)$ è il prodotto di $f$ per $l(x)=1/g(x)$. Dalla regola del prodotto e dal gradiente di $l$, con tutto calcolato in $x_0$:

$$\begin{aligned} \nabla h&=\frac1g\nabla f-\frac f{g^2}\nabla g\\ &=\frac{g\,\nabla f-f\,\nabla g}{g^2} \end{aligned}$$

È la derivata del rapporto di una variabile, con i gradienti al posto delle derivate.

Differenziale totale. Se $f$ è differenziabile in $x$, è continua e derivabile in $x$, e $\nabla f(x)$ coincide con il vettore della definizione. Inoltre, se $f$ è derivabile vicino a $x$ e $\nabla f$ è continuo in $x$, allora $f$ è differenziabile in $x$. Non basta che le derivate parziali esistano: devono essere funzioni continue nel punto. È una condizione sufficiente, e permette di concludere senza calcolare il limite.

Esempi

Seno. Per $f(x,y)=\sin(x^2+y^2)$ si deriva rispetto a una variabile tenendo l'altra costante: derivata del seno per derivata dell'argomento.

$$\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix} 2x\cos(x^2+y^2)\\ 2y\cos(x^2+y^2) \end{pmatrix}$$

Le componenti sono continue in ogni punto, quindi per il teorema del differenziale totale $f$ è differenziabile su $\mathbb R^2$. In $(1,-1)$ l'argomento vale $2$:

$$\nabla f(1,-1)=\begin{pmatrix}2\cos2\\-2\cos2\end{pmatrix}$$

Poiché $f$ è differenziabile, la derivata direzionale lungo $d=(1,1)$ è il prodotto scalare, cioè la somma delle componenti del gradiente:

$$\begin{aligned} Df\bigl((1,-1),(1,1)\bigr)&=\nabla f(1,-1)^\top\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\\ &=2\cos2-2\cos2=0 \end{aligned}$$

La definizione si vede all'opera in $x_0=(1,-1)$. Il quoziente fra l'errore e $\|d\|$ si calcola per $d$ di lunghezza fissata e angolo variabile, una volta con $a=\nabla f(x_0)$ e una volta con $a=\nabla f(x_0)+e_1$, che non è il gradiente.

Quoziente dell'errore per $\sin (x^2+y^2)$ in $(1,-1)$

angolo di $d$

• $a=\nabla f(x_0)$
• $a=\nabla f(x_0)+e_1$

$\Vert d\Vert$

0,1

Esponenziale. Per $f(x,y)=e^{x^2+y^2}$ le componenti del gradiente, $2x\,e^{x^2+y^2}$ e $2y\,e^{x^2+y^2}$, sono continue, quindi $f$ è differenziabile su $\mathbb R^2$. In $(-2,1)$ l'esponente vale $5$, il gradiente è $(-4e^5,\,2e^5)$ e lungo $d=(1,1)$ la derivata direzionale è il prodotto scalare:

$$Df\bigl((-2,1),(1,1)\bigr)=-4e^5+2e^5=-2e^5$$

La formula con il prodotto scalare vale perché $f$ è differenziabile: senza questa ipotesi può non valere.

Norma. Sia $g(x)=\|x\|^2$, la somma dei quadrati delle componenti. La variabile $x_i$ compare solo in $x_i^2$, quindi $\partial g/\partial x_i=2x_i$ e

$$\nabla g(x)=2x$$

La norma euclidea $f(x)=\|x\|=\sqrt{g(x)}$ è la composta di $g$ con la radice $t\mapsto\sqrt t$, derivabile per $t>0$ con derivata $1/(2\sqrt t)$. Per $x\neq0$:

$$\nabla f(x)=\frac1{2\sqrt{g(x)}}\,\nabla g(x)=\frac{x}{\|x\|}$$

Il gradiente è definito ovunque tranne nell'origine. Lì la derivata parziale rispetto a $x_1$ sarebbe

$$\lim_{s\to0}\frac{\|se_1\|}{s}=\lim_{s\to0}\frac{|s|}{s}$$

che non esiste: da destra vale $1$, da sinistra $-1$. Lo stesso vale per ogni $x_i$. Quindi $\|x\|$ è differenziabile in ogni $x\neq0$ e non nell'origine.

Un problema di decisione: il packaging

Un packaging è fatto di tre strati, cartone, schiuma e plastica. Si decide lo spessore di ciascuno, minimizzando il costo, con un limite al peso, una resistenza minima e uno spessore massimo per strato.

	cartone	schiuma	plastica
Costo (dollari/mm)	2	3	4
Resistenza (unità/mm)	1	2	3
Peso (g/mm)	0,5	0,2	0,3
Spessore massimo (mm)	0,1	0,2	0,05

La resistenza totale deve essere almeno $50$ unità e il peso totale al più $20$ g. Le variabili sono gli spessori in millimetri, non negativi: $x_c$ per il cartone, $x_s$ per la schiuma, $x_p$ per la plastica. Costo, peso e resistenza totali sono le somme dei valori per millimetro moltiplicati per gli spessori:

$$\begin{aligned} \min\ &c(x_c,x_s,x_p)=2x_c+3x_s+4x_p\\ &x_c+2x_s+3x_p\ge50\\ &0{,}5x_c+0{,}2x_s+0{,}3x_p\le20\\ &0\le x_c\le0{,}1\\ &0\le x_s\le0{,}2\\ &0\le x_p\le0{,}05 \end{aligned}$$

Con questi spessori massimi la resistenza non supera $1\cdot0{,}1+2\cdot0{,}2+3\cdot0{,}05=0{,}65$, quindi il vincolo di resistenza non si può soddisfare: con questi dati nessuna scelta degli spessori è ammissibile.