Il criterio di Routh

Il segno delle radici

Per $\dot x=Ax$ la stabilità asintotica richiede $\operatorname{Re}\lambda_i<0$ per ogni autovalore. La stabilità semplice richiede $\operatorname{Re}\lambda_i\le0$ e, per gli autovalori sull'asse immaginario, molteplicità algebrica e geometrica uguali. Serve quindi il segno delle parti reali delle radici del polinomio caratteristico, non il loro valore:

$$\begin{aligned} p(\lambda)&=\det(A-\lambda I)\\ &=a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\dots+a_1\lambda+a_0 \end{aligned}$$

Il criterio di Routh ricava dai soli coefficienti quante radici hanno parte reale positiva, senza calcolarle. Moltiplicare $p$ per una costante non ne cambia le radici: si può sempre prendere $a_n>0$.

Una condizione necessaria

Con $a_n>0$, se tutte le radici hanno parte reale negativa tutti i coefficienti sono positivi. Una radice reale $-|\lambda_i|$ dà il fattore $\lambda+|\lambda_i|$, una coppia $\alpha\pm\mathrm j\omega$ con $\alpha<0$ dà $(\lambda+|\alpha|)^2+\omega^2$, e un prodotto di fattori a coefficienti positivi ha coefficienti positivi.

Un coefficiente mancante o negativo esclude quindi la stabilità asintotica: in $\lambda^2+1$ le radici sono $\pm\mathrm j$. Un coefficiente negativo indica anche una radice a parte reale positiva: il sistema è instabile. Per $n=2$ la condizione basta, per $n\ge3$ no.

La tabella di Routh

Le righe si numerano da $n$ a $0$. Le prime due contengono i coefficienti alternati, le altre si calcolano dalle due righe sopra:

$$\begin{array}{c|cccc} n&a_n&a_{n-2}&a_{n-4}&\cdots\\ n-1&a_{n-1}&a_{n-3}&a_{n-5}&\cdots\\ n-2&b_{n-2}&b_{n-3}&b_{n-4}&\cdots\\ n-3&c_{n-3}&c_{n-4}&c_{n-5}&\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots& \end{array}$$

Il primo elemento della riga $n-2$ è il determinante delle prime due colonne, diviso per l'opposto del primo elemento della riga $n-1$:

$$\begin{aligned} b_{n-2}&=\frac{\begin{vmatrix}a_n&a_{n-2}\\a_{n-1}&a_{n-3}\end{vmatrix}}{-a_{n-1}}\\ &=\frac{a_{n-1}a_{n-2}-a_na_{n-3}}{a_{n-1}} \end{aligned}$$

Per $b_{n-3}$ si usano la prima e la terza colonna ($a_{n-4}$ e $a_{n-5}$), e così via. La riga $n-3$ si ottiene allo stesso modo dalle righe $n-1$ e $n-2$:

$$c_{n-3}=\frac{\begin{vmatrix}a_{n-1}&a_{n-3}\\b_{n-2}&b_{n-3}\end{vmatrix}}{-b_{n-2}}$$

• Se una riga ha un elemento in meno della precedente, nel calcolo dell'ultimo elemento si suppone uno zero al suo posto.
• Una riga si calcola solo se il primo elemento della riga precedente è diverso da zero.
• Una riga si può moltiplicare per un numero positivo: i segni non cambiano.

Le radici con parte reale positiva sono tante quante le variazioni di segno nella prima colonna, le altre hanno parte reale negativa. Il sistema è asintoticamente stabile se e solo se la tabella si completa e la prima colonna non ha variazioni. Una basta a escluderlo, quindi ci si ferma alla prima. Per $n=2$ la prima colonna è $a_2,a_1,a_0$: il criterio ridà la regola di Cartesio.

Il motivo: la riga $n-2$ nasce da una divisione fra le potenze pari e dispari di $p$, e le righe $n-1$ e $n-2$ descrivono un polinomio di grado $n-1$ con tante radici a destra quante $p$, meno una se $a_n$ e $a_{n-1}$ hanno segno opposto. Ogni riga toglie così una radice e ne legge il segno.

Un esempio di quinto grado

Il polinomio $p(\lambda)=\lambda^5+3\lambda^4+2\lambda^3-2\lambda^2+2\lambda+4$ ha un coefficiente negativo, quindi il sistema è instabile. Per contare le radici a destra si costruisce la tabella:

$$\begin{array}{c|ccc} 5&1&2&2\\ 4&3&-2&4\\ 3&\tfrac83&\tfrac23&\\ 2&-\tfrac{11}4&4&\\ 1&\tfrac{50}{11}&&\\ 0&4&& \end{array}$$

I segni della prima colonna sono $+,+,+,-,+,+$: due variazioni, quindi due radici a parte reale positiva e tre a parte reale negativa.

Le radici di ${\lambda }^5+3{\lambda }^4+2{\lambda }^3-2{\lambda }^2+2\lambda +4$

ReIm

• parte reale positiva

Un polinomio con parametro

Quando il polinomio contiene un parametro, le condizioni sulla prima colonna diventano disuguaglianze. Per $p(\lambda)=\lambda^3+2\lambda^2+\lambda+k$:

$$\begin{array}{c|cc} 3&1&1\\ 2&2&k\\ 1&\tfrac{2-k}2&\\ 0&k& \end{array}$$

La riga 1, moltiplicata per 2, vale $2-k$. Servono $k>0$ (i coefficienti e la riga 0) e $2-k>0$ (la riga 1): le radici hanno tutte parte reale negativa se e solo se $0<k<2$. Gli estremi sono casi critici, trattati sotto.

Le radici di ${\lambda }^3+2{\lambda }^2+\lambda +k$

ReIm

• percorso della coppia

$k$

0,2

Primo elemento nullo

Se il primo elemento di una riga è nullo ma la riga non lo è tutta, la divisione successiva non si può fare, e c'è sempre almeno una radice a parte reale positiva: il sistema è instabile. Per contarle si somma alla riga la stessa riga spostata a sinistra di $j$ posti, quanti sono gli zeri iniziali, completata con zeri e moltiplicata per $(-1)^j$, e si prosegue con la riga così ottenuta, indicata con un apice.

Per $p(\lambda)=\lambda^5+\lambda^4+2\lambda^3+2\lambda^2+2\lambda+1$ la riga 3 è $(0\ \ 1)$, con $j=1$:

$$(0\ \ 1)+(-1)^1(1\ \ 0)=(-1\ \ 1)$$ $$\begin{array}{c|ccc} 5&1&2&2\\ 4&1&2&1\\ 3'&-1&1&\\ 2&3&1&\\ 1&\tfrac43&&\\ 0&1&& \end{array}$$

I segni della prima colonna sono $+,+,-,+,+,+$: due variazioni, quindi due radici a parte reale positiva.

Se invece $a_0=0$, il polinomio è $\lambda\,(a_n\lambda^{n-1}+\dots+a_1)$: si toglie la radice nulla e si studia il resto. Una radice nulla semplice ammette la stabilità semplice; con più radici nulle serve la molteplicità geometrica.

Riga tutta nulla

Una riga si annulla del tutto solo se le due righe sopra sono proporzionali, quindi della stessa lunghezza: la riga nulla ha indice dispari. Allora $p(\lambda)=p_2(\lambda)\,p_1(\lambda)$. Il grado di $p_1$ è l'indice della riga sopra quella nulla, e i suoi coefficienti sono gli elementi di quella riga, per le potenze pari dalla più alta a $\lambda^0$. Nella parte di tabella già costruita le variazioni contano le radici di $p_2$ a parte reale positiva.

Un polinomio con sole potenze pari ha radici a simmetria quadrantale: se $\lambda_0$ è radice lo è $-\lambda_0$ e, con coefficienti reali, anche $\bar\lambda_0$. A ogni radice a sinistra ne corrisponde una a destra, quindi le radici di $p_1$ possono non avere parte reale positiva solo se stanno sull'asse immaginario. La stabilità asintotica è esclusa, al più c'è la stabilità semplice.

Le radici di ${\lambda }^4+\beta {\lambda }^2+1$

ReIm

$\beta$

3

Per proseguire si sostituisce la riga nulla con i coefficienti di $p_1'(\lambda)$ e si completa la tabella. Se non compaiono variazioni, nessuna radice di $p_1$ ha parte reale positiva e, per la simmetria, nessuna ha parte reale negativa: stanno tutte sull'asse immaginario. Se compaiono, il sistema è instabile. Se la tabella si blocca di nuovo, le radici immaginarie sono multiple e si confrontano le molteplicità; altrimenti la stabilità è semplice.

Per $p(\lambda)=\lambda^5+\lambda^4+3\lambda^3+3\lambda^2+\lambda+1$ le righe 5 e 4 sono uguali, e la riga 3 è nulla. La riga 4 dà $p_1(\lambda)=\lambda^4+3\lambda^2+1$, con $p_1'(\lambda)=4\lambda^3+6\lambda$:

$$\begin{array}{c|ccc} 5&1&3&1\\ 4&1&3&1\\ 3'&4&6&\\ 2&3&2&\\ 1&\tfrac{10}3&&\\ 0&2&& \end{array}$$

La riga 2 è stata moltiplicata per 2. Non ci sono variazioni: $p_2(\lambda)=\lambda+1$ ha la radice $-1$. Con $s=\lambda^2$ si ha $s^2+3s+1=0$, quindi

$$s=\frac{-3\pm\sqrt5}{2}$$

Entrambe le soluzioni sono negative: $p_1$ ha le radici $\pm\mathrm j\,0{,}618$ e $\pm\mathrm j\,1{,}618$, distinte. La stabilità è semplice.

Gli estremi del polinomio con parametro danno stabilità semplice: per $k=0$, $p=\lambda(\lambda+1)^2$ ha una radice nulla semplice; per $k=2$ la riga 1 si annulla, la riga 2 dà $p_1(\lambda)=2\lambda^2+2$ e $p=(\lambda+2)(\lambda^2+1)$.

Radici a sinistra di una soglia

Per verificare che $\operatorname{Re}\lambda_i<-\sigma$, con $\sigma>0$, cioè che i modi decadano più in fretta di $e^{-\sigma t}$ (per un autovalore reale, costante di tempo $\tau=-1/\lambda<1/\sigma$), si sposta l'asse immaginario in $-\sigma$: con $\lambda=s-\sigma$ le radici $s_i=\lambda_i+\sigma$ di $p(s-\sigma)$ hanno parte reale negativa se e solo se $\operatorname{Re}\lambda_i<-\sigma$. Il criterio applicato a $p(s-\sigma)$ conta le radici di $p$ con $\operatorname{Re}\lambda>-\sigma$.

Smorzamento minimo

Un modo pseudoperiodico $\lambda=\alpha\pm\mathrm j\omega$ ha pulsazione naturale $\omega_n=\sqrt{\alpha^2+\omega^2}$ e smorzamento $\xi=-\alpha/\omega_n$, il seno dell'angolo fra $\lambda$ e l'asse immaginario. Uno smorzamento maggiore di $\xi_{\min}=\sin\gamma$ chiede quindi un angolo maggiore di $\gamma$: le radici devono stare in un cono con vertice nell'origine, simmetrico rispetto all'asse reale.

Ruotando le radici di $\gamma$, in un verso e nell'altro, il bordo del cono va sull'asse immaginario. Le radici di $p$ stanno nel cono se e solo se tutte le radici di

$$p(\lambda e^{\mathrm j\gamma})\,p(\lambda e^{-\mathrm j\gamma})$$

hanno parte reale negativa. Questo polinomio ha coefficienti reali e grado doppio: 6 per un polinomio di terzo grado. Per imporre insieme soglia e smorzamento si applicano entrambe le trasformazioni, una per condizione.

Dove devono stare le radici

ReIm

• regione ammessa

$\sigma$

1

${\xi }_{\min }$

0,5