Lezione 11 · Canale 2 · martedì 20 ottobre 2026

Stabilità esterna, criterio di Lyapunov e linearizzazione

Sistemi Dinamici

L'idea

Il criterio di Routh decide la stabilità asintotica dal segno delle parti reali degli autovalori. Ha due limiti. Riguarda lo stato, mentre l'uscita può non mostrare tutti i modi. Vale per i sistemi lineari, mentre un sistema non lineare non ha autovalori. Per il primo limite si guardano i modi che compaiono in uscita (stabilità esterna). Per il secondo servono il criterio di Lyapunov e la linearizzazione.

Che cosa dice Routh

Dai coefficienti di $p(\lambda)=\det(A-\lambda I)$ il criterio ricava il segno di $\operatorname{Re}\lambda_i$ . Con la traslazione dell'asse immaginario controlla anche $\operatorname{Re}\lambda_i<-\sigma$ , cioè la velocità di convergenza e le costanti di tempo $\tau=-1/\lambda$ . Con $\operatorname{Re}\lambda_i\le0$ studia la stabilità semplice.

Il polinomio caratteristico dà la molteplicità algebrica degli autovalori, non quella geometrica: per quella serve la matrice $A$ . Perciò per gli autovalori multipli sull'asse immaginario Routh non basta a decidere. Tutte queste conclusioni riguardano lo stato e si chiamano stabilità interna.

Stabilità esterna

L'uscita dipende dallo stato iniziale e dall'ingresso attraverso $\Psi(t)=Ce^{At}$ e $W(t)=Ce^{At}B+D\,\delta(t)$ :

y(t)=\Psi(t-t_0)\,x_0+\int_{t_0}^{t}W(t-\tau)\,u(\tau)\,d\tau

Un modo compare in uscita solo se sta in queste matrici.

Nell'evoluzione libera compaiono i modi in $\Psi$ , i modi osservabili.
Nell'evoluzione forzata compaiono i modi in $W$ , cioè quelli sia eccitabili (presenti in $H(t)=e^{At}B$ ) sia osservabili.

Un modo che non compare né in $\Psi$ né in $W$ non influisce sull'uscita. Nella stabilità esterna l'informazione è quindi più limitata di quella sullo stato.

Il criterio di Lyapunov

L'idea nasce dall'energia. Una roccia su una collina ha due equilibri, in cima e in fondo. Una piccola spinta la allontana dalla cima e la porta verso l'energia minore, cioè il fondo: il fondo è stabile, la cima no.

Al sistema si associa una funzione $V(x)$ , che nasce come energia ma si generalizza e non la rappresenta sempre. Se esiste una $V$ definita positiva, nulla nell'equilibrio e positiva altrove, con derivata $\dot V$ lungo le traiettorie definita negativa, l'equilibrio è asintoticamente stabile. Il motivo: $V$ può solo diminuire e si annulla soltanto nell'equilibrio, quindi lo stato è spinto verso di esso.

Il criterio è solo sufficiente. Se si trova una $V$ adatta il sistema è stabile, se non la si trova non si può concludere che non esista.

Di solito si prendono funzioni quadratiche. Una matrice simmetrica è definita positiva se i determinanti dei suoi minori principali, calcolati sulla diagonale a partire dall'angolo in alto a sinistra, sono tutti positivi.

Il caso lineare

Per $\dot x=Ax$ si cerca

\begin{aligned} V(x)&=\tfrac12\,x^T Q\,x,\qquad Q=Q^T\succ0\\ \dot V(x)&=-\tfrac12\,x^T P\,x,\qquad P=P^T\succ0 \end{aligned}

Dato che $\dot x=Ax$ e $\dot x^T=x^T A^T$ , la derivata è

\begin{aligned} \dot V&=\tfrac12\,\dot x^T Qx+\tfrac12\,x^T Q\dot x\\ &=\tfrac12\,x^T\left(A^T Q+QA\right)x \end{aligned}

Questa vale $-\tfrac12\,x^T Px$ quando

A^T Q+QA=-P

È un'equazione di Sylvester, detta in questa forma equazione di Lyapunov. Per ogni $P$ simmetrica definita positiva esiste una soluzione $Q$ simmetrica definita positiva se e solo se tutti gli autovalori di $A$ hanno parte reale negativa. Nel caso lineare il criterio è quindi anche necessario: se non esiste una $Q$ definita positiva, il sistema non è asintoticamente stabile.

Si procede così: si fissa $P$ nel modo più semplice, per esempio $P=I$ , e si risolve l'equazione rispetto agli elementi di $Q$ , simmetrica. Poi si controlla che $Q$ sia definita positiva.

Un esempio

Sia $p(\lambda)=\lambda^2+6\lambda+5$ , con matrice

\begin{gathered} A=\begin{pmatrix}0&1\\-5&-6\end{pmatrix}\\ Q=\begin{pmatrix}q_{11}&q_{12}\\q_{12}&q_{22}\end{pmatrix} \end{gathered}

I coefficienti sono positivi e il grado è 2, quindi il sistema è asintoticamente stabile. Si verifica con $P=I$ . L'equazione $A^T Q+QA=-I$ dà un'equazione per ogni elemento:

\begin{aligned} -10\,q_{12}&=-1\\ q_{11}-6\,q_{12}-5\,q_{22}&=0\\ 2\,q_{12}-12\,q_{22}&=-1 \end{aligned}

L'equazione dell'elemento $(2,1)$ coincide con quella dell'elemento $(1,2)$ , perché il primo membro è simmetrico. La soluzione è

Q=\frac1{10}\begin{pmatrix}11&1\\1&1\end{pmatrix}

con $q_{11}>0$ e $\det Q=\tfrac1{10}>0$ : $Q$ è definita positiva, in accordo con gli autovalori $-1$ e $-5$ .

La funzione V lungo una traiettoria

Piano di stato

stato

x_{1}

x_{2}

traiettoria
curva di livello di $V$

Valore di V

V

ora

t

V

$V$ lungo la traiettoria

t

Lungo la traiettoria

V

decresce: lo stato attraversa curve di livello sempre più piccole fino all'equilibrio. Il cursore è il tempo.

Linearizzazione

Un sistema non lineare $\dot x=f(x,u)$ ha una coppia di equilibrio $(x_e,u_e)$ quando $f(x_e,u_e)=0$ . Si può considerare $u_e=0$ , cioè nessun forzamento, ma un equilibrio con $u_e=0$ non esiste sempre. Vicino all'equilibrio si sviluppa $f$ al primo ordine, trascurando i termini di ordine superiore:

\begin{aligned} \dot x&=f(x,u)\\ &\approx A\,(x-x_e)+B\,(u-u_e) \end{aligned}

dove $f(x_e,u_e)=0$ fa sparire il termine di ordine zero e

\begin{gathered} A=\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_e,u_e)}\\ B=\left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{(x_e,u_e)} \end{gathered}

$A$ è il Jacobiano rispetto allo stato, di dimensione $n\times n$ . $B$ è la derivata rispetto all'ingresso, di dimensione $n\times m$ con $m$ ingressi. Con il cambio di variabile $z=x-x_e$ e $\bar u=u-u_e$ si ha $\dot z=\dot x$ , perché $\dot x_e=0$ , e quindi

\dot z=Az+B\bar u

Questa è la forma nota: $A$ descrive il comportamento del sistema vicino a $x_e$ .

Stabilità locale

Gli autovalori di $A$ distinguono tre situazioni.

Tutti con $\operatorname{Re}\lambda_i<0$ : il sistema lineare è asintoticamente stabile e il non lineare è asintoticamente stabile localmente, in un intorno dell'equilibrio. La $V$ del sistema lineare, usata sul non lineare, è definita positiva con derivata definita negativa vicino all'equilibrio.
Almeno uno con $\operatorname{Re}\lambda_i>0$ : nel sistema lineare c'è un modo divergente, e il non lineare è localmente instabile.
Tutti con $\operatorname{Re}\lambda_i\le0$ e almeno uno nullo: è il caso critico, la linearizzazione non decide.

Le equazioni $\dot x=x^2$ e $\dot x=-x^3$ hanno la stessa approssimazione lineare $\dot x=0$ , ma la prima è instabile e la seconda asintoticamente stabile. Da $x(0)=\tfrac12$ le soluzioni sono $x(t)=\dfrac{1/2}{1-t/2}$ e $x(t)=\dfrac{1/2}{\sqrt{1+t/2}}$ .

Stessa approssimazione lineare

t

x

approssimazione lineare $x ˙ = 0$
$x ˙ = x^{2}$
$x ˙ = - x^{3}$

Le due equazioni hanno la stessa approssimazione lineare, ma una diverge e l'altra tende a zero: con un autovalore nullo la linearizzazione non decide.

Il pendolo

Con stato $x_1$ , angolo dalla verticale verso il basso, e $x_2$ , velocità angolare, il pendolo di massa $m$ , lunghezza $l$ e coefficiente d'attrito $k$ è

\begin{aligned} \dot x_1&=x_2\\ \dot x_2&=-\frac gl\sin x_1-\frac km\,x_2+\frac1{ml}\,u \end{aligned}

con $g$ accelerazione di gravità. Con $u_e=0$ gli equilibri sono $x_2=0$ e $\sin x_1=0$ , cioè $x_1=0$ (massa in basso) e $x_1=\pi$ (massa in alto), ripetuti ogni $2\pi$ . Il Jacobiano rispetto allo stato non contiene l'ingresso:

A=\begin{pmatrix}0&1\\-\dfrac gl\cos x_1&-\dfrac km\end{pmatrix}

e il polinomio caratteristico è

\det(A-\lambda I)=\lambda^2+\frac km\,\lambda+\frac gl\cos x_1

In basso, $x_1=0$ e $\cos x_1=1$ . Con $k,m,g,l>0$ i coefficienti sono tutti positivi, quindi $\operatorname{Re}\lambda_i<0$ : il pendolo è localmente asintoticamente stabile.

In alto, $x_1=\pi$ e $\cos x_1=-1$ . Il termine noto è $-g/l<0$ , quindi il prodotto delle radici è negativo: una radice è positiva e una negativa, e il pendolo è instabile.

Autovalori del pendolo linearizzato

Posizione

λ_{1}

λ_{2}

ReIm

parte reale negativa

k / m

g / l

In basso gli autovalori stanno a sinistra dell'asse immaginario, in alto uno passa a destra. Il selettore sceglie la posizione, i cursori

k / m

g / l

Formulario

Funzione di Lyapunov quadratica

V=\tfrac12\,x^T Qx

\dot V=-\tfrac12\,x^T Px

Equazione di Sylvester (Lyapunov)

A^T Q+QA=-P

Equilibrio

f(x_e,u_e)=0

Linearizzazione

\begin{gathered} A=\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{e}\\ B=\left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{e} \end{gathered}

z=x-x_e,\ \bar u=u-u_e

\dot z=Az+B\bar u

Stabilità locale: autovalori di $A$

tutti $\operatorname{Re}\lambda_i<0$ : asintotica
uno $\operatorname{Re}\lambda_i>0$ : instabile
tutti $\le0$ , uno nullo: caso critico

Pendolo

A=\begin{pmatrix}0&1\\-\frac gl\cos x_1&-\frac km\end{pmatrix}

\lambda^2+\tfrac km\lambda+\tfrac gl\cos x_1