Lezione 12 · Canale 2 · mercoledì 21 ottobre 2026

Stabilità dei sistemi a tempo discreto

Sistemi Dinamici

Equilibri e modi

Un sistema a tempo discreto aggiorna lo stato a ogni passo: $x(t+1)=f(x(t),u(t))$ . Un equilibrio è uno stato che il sistema riproduce, con l'ingresso di equilibrio $u_e$ :

x_e=f(x_e,u_e)

Nel sistema lineare omogeneo $x(t+1)=Ax(t)$ la condizione diventa $x_e=Ax_e$ , cioè

(A-I)\,x_e=0

L'origine è sempre un equilibrio. Altri equilibri esistono solo se $1$ è autovalore di $A$ , e sono i punti dell'autospazio relativo.

L'evoluzione libera è governata da $\Phi(t)=A^t$ , quindi i modi sono del tipo $\lambda^t$ . Rispetto al tempo continuo cambia il confronto: decide il modulo di $\lambda$ rispetto a $1$ , non il segno della parte reale.

$|\lambda|<1$ : il modo converge, alternando il segno se $\lambda<0$ .
$|\lambda|>1$ : il modo diverge, e lo stato si allontana dall'origine se la condizione iniziale lo eccita.
$|\lambda|=1$ : l'autovalore sta sulla circonferenza unitaria, che qui fa le veci dell'asse immaginario. Se le molteplicità algebrica e geometrica coincidono, il modo resta limitato. Se la geometrica è minore compaiono termini polinomiali in $t$ , e lo stato diverge quando la condizione iniziale li eccita.

Il termine polinomiale viene dal blocco di Jordan, perché $J=\lambda I+N$ con $N^2=0$ :

\begin{gathered} J=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}\\[0.6em] J^t=\begin{pmatrix}\lambda^t&t\lambda^{t-1}\\0&\lambda^t\end{pmatrix} \end{gathered}

Con $|\lambda|=1$ l'elemento $t\lambda^{t-1}$ ha modulo $t$ e cresce senza limite.

Stabilità e cerchio unitario

A tempo continuo gli autovalori di un sistema asintoticamente stabile stanno nel semipiano sinistro. A tempo discreto stanno all'interno del cerchio unitario.

Stabilità asintotica: $|\lambda_i|<1$ per ogni $i$ . L'interno è aperto, la circonferenza è esclusa.
Stabilità semplice: $|\lambda_i|\le1$ e, per gli autovalori con $|\lambda_i|=1$ , molteplicità algebrica e geometrica uguali.
Instabilità: un autovalore con $|\lambda_i|>1$ , oppure sulla circonferenza con molteplicità geometrica minore dell'algebrica.

Un autovalore fuori dal cerchio corrisponde a uno con parte reale positiva nel continuo.

L'autovalore nel piano e il suo modo

Autovalori $σ e^{\pm j θ}$

λ

ReIm

$∣ λ ∣ < 1$

Il modo nel tempo

t

$σ^{t} cos θ t$
inviluppo $\pm σ^{t}$

σ

0,85

θ / π

0,2

Il modo

σ^{t} cos θ t

converge se

λ

sta dentro il cerchio unitario, resta limitato sulla circonferenza e diverge fuori. Con

θ = π

il segno alterna.

Il criterio di Jury

Serve sapere se le radici del polinomio caratteristico $p(\lambda)$ stanno nel cerchio unitario, senza calcolarle. Il criterio di Jury lo decide dai coefficienti, come Routh. Per $p$ di grado $n$ e coefficiente direttivo $a_n>0$ richiede

p(1)>0,\qquad (-1)^n\,p(-1)>0

(il segno di $p(-1)$ dipende dal grado), più altre condizioni sui coefficienti, che si ottengono costruendo righe successive di grado sempre più basso. Qui non si usa, perché è più comodo ricondursi a Routh.

La trasformazione bilineare

Si sostituisce a $\lambda$ una funzione di una nuova variabile $s$ che manda l'asse immaginario sulla circonferenza unitaria e il semipiano sinistro nell'interno del cerchio:

\lambda=\frac{1+s}{1-s},\qquad s=\frac{\lambda-1}{\lambda+1}

Il motivo sta nei moduli: $|1+s|^2-|1-s|^2=4\operatorname{Re}s$ , quindi $|\lambda|<1$ se e solo se $\operatorname{Re}s<0$ , e $|\lambda|=1$ se e solo se $\operatorname{Re}s=0$ . Anche $\lambda=(s+1)/(s-1)$ ha questa proprietà: cambia solo il segno di $\lambda$ , e qui si usa la prima forma.

Il semipiano sinistro diventa il cerchio unitario

Piano $s$

s

ReIm

$Re s < 0$

Piano $λ$

λ

ReIm

$∣ λ ∣ < 1$

Re s

−1

Im s

La trasformazione bilineare manda il semipiano sinistro nell'interno del cerchio unitario e l'asse immaginario sulla circonferenza. Uscendo dal semipiano,

λ

esce dal cerchio.

Per studiare $p(\lambda)$ si sostituisce $\lambda=(1+s)/(1-s)$ e si elimina il denominatore moltiplicando per $(1-s)^n$ . Si ottiene un polinomio $T(s)$ a cui si applica Routh: le radici di $p$ stanno nel cerchio unitario se e solo se quelle di $T$ hanno parte reale negativa. Moltiplicare per una costante non cambia le radici, quindi si può togliere ogni frazione.

Primo esempio. Per $p(\lambda)=4\lambda^2-1$ le radici sono $\pm\tfrac12$ , dentro il cerchio. Si verifica con la trasformazione:

T(s)=4(1+s)^2-(1-s)^2=3s^2+10s+3

I coefficienti sono positivi e il grado è $2$ , quindi per Routh le radici sono a sinistra dell'asse immaginario. Sono $-\tfrac13$ e $-3$ , che corrispondono a $\lambda=\tfrac12$ e $\lambda=-\tfrac12$ .

Secondo esempio. Sia $p(\lambda)=\lambda^3-\tfrac45\lambda^2-\tfrac14\lambda+\tfrac15$ . Moltiplicando per $20$ si tolgono le frazioni:

\begin{aligned} T(s)&=20(1+s)^3-16(1+s)^2(1-s)\\ &\quad-5(1+s)(1-s)^2+4(1-s)^3 \end{aligned}

Ogni potenza si sviluppa: $(1+s)^3=1+3s+3s^2+s^3$ , $(1+s)^2(1-s)=1+s-s^2-s^3$ , $(1+s)(1-s)^2=1-s-s^2+s^3$ , $(1-s)^3=1-3s+3s^2-s^3$ . Sommando i coefficienti di ogni potenza di $s$ :

T(s)=27s^3+93s^2+37s+3

Nella tabella di Routh la riga 1 vale

\frac{93\cdot37-27\cdot3}{93}=\frac{1120}{31}

\begin{array}{c|cc} 3&27&37\\ 2&93&3\\ 1&\tfrac{1120}{31}&\\ 0&3& \end{array}

La prima colonna è positiva, senza variazioni di segno: le radici di $T$ hanno parte reale negativa, quindi quelle di $p$ stanno nel cerchio unitario. Infatti $p(\lambda)=(\lambda-\tfrac12)(\lambda-\tfrac45)(\lambda+\tfrac12)$ .

Lyapunov a tempo discreto

L'idea è quella del continuo, un'energia che diminuisce, ma al posto della derivata $\dot V$ si guarda la variazione fra due passi:

\Delta V=V(x(t+1))-V(x(t))

Se $V$ è definita positiva, nulla nell'equilibrio, e $\Delta V$ è definita negativa, l'equilibrio è asintoticamente stabile (localmente, per un sistema non lineare). Se $\Delta V\le0$ c'è stabilità semplice.

Per il sistema lineare si sceglie una forma quadratica, con $Q$ definita positiva, e si usa $x(t+1)=Ax(t)$ :

\begin{aligned} V(x)&=\tfrac12\,x^T Qx\\ \Delta V&=\tfrac12\,x(t)^T A^T QA\,x(t)\\ &\quad-\tfrac12\,x(t)^T Qx(t)\\ &=\tfrac12\,x(t)^T(A^T QA-Q)\,x(t) \end{aligned}

Se esistono due matrici definite positive $P$ e $Q$ tali che

A^T QA-Q=-P

allora $\Delta V=-\tfrac12\,x(t)^T Px(t)$ è definita negativa. Per un sistema lineare la condizione è anche necessaria: una soluzione $Q$ definita positiva esiste se e solo se tutti gli autovalori di $A$ stanno nell'interno del cerchio unitario. Si fissa $P$ definita positiva e si cerca $Q$ : se esiste una $Q$ definita positiva c'è stabilità asintotica, altrimenti non c'è.

Stabilità ingresso-uscita

Un ingresso limitato deve dare un'uscita limitata, con stato iniziale nullo. L'uscita forzata dipende da $W(t)=CA^{t-1}B$ , quindi contano solo i modi che compaiono in $W$ , cioè quelli eccitabili e osservabili: devono convergere, e i loro autovalori stanno nell'interno del cerchio unitario. Gli altri modi non contano.

Per la stabilità in ogni stato, cioè con stato iniziale qualunque, devono essere limitati anche i modi osservabili, quelli che compaiono in $\Psi(t)=CA^t$ : $|\lambda|\le1$ , con molteplicità algebrica e geometrica uguali per gli autovalori sulla circonferenza.

Eccitabilità e osservabilità con più ingressi e uscite

Sia $U=(u_1\ \dots\ u_n)$ la matrice degli autovettori destri e siano $v_i^T$ le righe di $U^{-1}$ . Per gli autovalori reali $\lambda_i$ i modi entrano così:

\begin{gathered} H(t)=A^{t-1}B=\sum_i\lambda_i^{t-1}\,u_iv_i^T B\\ \Psi(t)=CA^t=\sum_i\lambda_i^{t}\,Cu_iv_i^T \end{gathered}

Il modo $i$ è eccitabile se $u_iv_i^T B\neq0$ , osservabile se $Cu_iv_i^T\neq0$ . Con più ingressi e più uscite $v_i^T B$ è una riga con tanti elementi quanti gli ingressi e $Cu_i$ una colonna con tanti elementi quante le uscite: non sono più numeri, e il test è che non siano nulle. Il modo è eccitabile se lo eccita almeno un ingresso, osservabile se lo vede almeno un'uscita.

Formulario

Equilibrio

x_e=f(x_e,u_e)

Sistema lineare

(A-I)\,x_e=0

Stabilità asintotica

|\lambda_i|<1\quad\forall\,i

Stabilità semplice

|\lambda_i|\le1

con molteplicità algebrica e geometrica uguali se $|\lambda_i|=1$

Blocco di Jordan

J^t=\begin{pmatrix} \lambda^t&t\lambda^{t-1}\\ 0&\lambda^t \end{pmatrix}

Condizioni di Jury necessarie

\begin{gathered} p(1)>0\\ (-1)^np(-1)>0 \end{gathered}

Trasformazione bilineare

\lambda=\frac{1+s}{1-s}

Le radici di $p$ sono nel cerchio se e solo se quelle di $T(s)$ hanno parte reale negativa

Lyapunov

\Delta V=V(x(t+1))-V(x(t))

V=\tfrac12\,x^T Qx

A^T QA-Q=-P

Eccitabile

u_iv_i^T B\neq0

Osservabile

Cu_iv_i^T\neq0