Capitolo 2 · C1 · C2

Energia, potenza, impulso e convoluzione

Energia e potenza, Segnali di energia, impulsivi e di potenza, SNR, Energia di rect, tri ed esponenziale, Potenza di costante, coseno e treno di impulsi, Scalature e traslazioni, Impulso matematico, Convoluzione

15 pagine (13 numerate). Aggiornato il 13 ottobre 2026.

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1 Energia e potenza Definizione – Energia L’energia di un segnale è l’integrale del suo modulo quadro su tutto l’asse dei tempi; per una sequenza l’integrale diventa una somma: Ex = Z +∞ −∞ |x(t)|2 dt, Ex = +∞X n=−∞ |xn|2. Definizione – Potenza La potenza è il limite dell’energia su una finestra centrata nell’origine, divisa per la durata della finestra: Px = lim T →+∞ 1 T Z T /2 −T /2 |x(t)|2 dt, Px = lim N →+∞ 1 2N + 1 NX n=−N |xn|2. Energia e potenza sono reali e non negative, e possono valere +∞. Per un segnale reale il modulo si può togliere, |x(t)|2 = x2(t); serve per i segnali complessi. La potenza è il valore medio di |x(t)|2 su tutto l’asse dei tempi (Capitolo 1), cioè l’energia media per unità di tempo. Definizione – Segnali di energia, impulsivi e di potenza • x è un segnale di energia se 0 < Ex < +∞. • x è impulsivo se 0 < Z +∞ −∞ |x(t)| dt < +∞. • x è un segnale di potenza se 0 < Px < +∞. Le classi di energia e impulsiva si sovrappongono largamente ma non coincidono: per sapere a quale classe appartiene un segnale si calcolano i due integrali (Esercizio 1). Proposizione – Energia e potenza a confronto 1. Un segnale di energia ha potenza nulla: Ex < +∞ ⇒ Px = 0. 2. Un segnale di potenza ha energia infinita: Px > 0 ⇒ Ex = +∞. 3. Un segnale limitato e di durata finita, non nullo, è di energia e impulsivo. Quindi nessun segnale è insieme di energia e di potenza. Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 1

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Dimostrazione Sia ET = R T /2 −T /2 |x(t)|2 dt l’energia nella finestra, così che Px = lim ET /T . 1. ET ≤ Ex per ogni T , quindi 0 ≤ ET /T ≤ Ex/T → 0. 2. Se Px > 0, per T grande ET è circa PxT , che tende a +∞; e Ex = lim ET . 3. Se |x(t)| ≤ M e il supporto ha durata Dx, allora Ex ≤ M 2Dx e R |x(t)| dt ≤ M Dx, entrambi finiti. □ Il rumore che si somma al segnale nel canale dura indefinitamente: è un segnale di potenza e si descrive con la sua potenza. 1.1 Rapporto segnale-rumore Definizione – Rapporto segnale-rumore Il rapporto segnale-rumore (SNR, signal-to-noise ratio) è il rapporto fra la potenza Ps del segnale utile e la potenza Pr del rumore. Di solito si esprime in decibel: SNR = Ps Pr , SNRdB = 10 log10 Ps Pr . La probabilità di errore Pe è la probabilità che il ricevitore riceva un messaggio diverso da quello trasmesso, per esempio 1 al posto di 0. Le curve misurate di un ricevitore, con l’SNR in ascissa e Pe in ordinata, sono decrescenti: per ridurre Pe bisogna aumentare l’SNR, cioè, se il rumore non si può ridurre, trasmettere con più potenza. La forma esatta dipende dal mezzo e dal sistema. più potenza trasmessa, meno errori SNRdB Pe Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 2

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2 Energia di segnali elementari Proposizione – Energia di rect e tri Erect = 1, Etri = 2 3. Entrambi sono segnali di energia. Dimostrazione 1. rect(t) è reale e vale 1 fra −1 2 e 1 2 , 0 fuori; il suo quadrato è lo stesso rettangolo, quindi Erect = R 1/2 −1/2 1 dt = 1. 2. tri(t) è nullo fuori da [−1, 1] ed è pari: si integra la metà destra, dove tri(t) = 1−t, e si moltiplica per 2, così il modulo sparisce. 3. Etri = 2 R 1 0 (1 − t)2 dt = 2 R 1 0 (1 − 2t + t2) dt = 21 − 1 + 1 3 = 2 3 . □ Per un segnale fatto di rettangoli l’energia è l’area di x2(t): per ogni tratto si eleva al quadrato l’altezza e si moltiplica per la base. Con 2 rect(t), per esempio, E = 22 · 1 = 4. Se il segnale è una somma o un prodotto, conviene prima disegnarlo: dove due addendi si sovrappongono si sommano le altezze e poi si eleva al quadrato (Sezione 4). Esempio – Esponenziale unilatero x(t) = A e−αt u−1(t), con A reale non nullo e α > 0. Il gradino annulla il segnale per t < 0; per t ≥ 0 resta l’esponenziale, che parte da A e tende a 0. La durata è infinita. Ex = Z +∞ 0 A2e−2αt dt = A2 he−2αt −2α i+∞ 0 = A2 2α , Z +∞ −∞ |x(t)| dt = |A| α . È di energia e impulsivo, pur avendo durata infinita. L’esponenziale tende a zero abbastanza in fretta da avere area finita sotto x2(t): i segnali che tendono rapidamente a zero sono spesso di energia (Esercizio 2). Un’energia negativa segnala sempre un errore di calcolo. A t Ae−αtu−1(t) Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 3

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3 Potenza di segnali di durata infinita Esempio – Segnale costante x(t) = C per ogni t, con C reale non nullo. L’area sotto C2 e quella sotto |C| sono infinite, quindi il segnale non è né di energia né impulsivo. La potenza è finita: Px = lim T →+∞ 1 T Z T /2 −T /2 C2 dt = lim T →+∞ C2 T T = C2. È un segnale di potenza. Definizione – Segnale periodico Un segnale è periodico di periodo T0 se è la somma delle repliche di un segnale g(t) traslate dei multipli di T0: x(t) = +∞X n=−∞ g(t − nT0), e quindi x(t + T0) = x(t) per ogni t. Proposizione – Potenza di un segnale periodico Un segnale periodico non nullo è un segnale di potenza, e la sua potenza si calcola su un solo periodo: Px = 1 T0 Z T0/2 −T0/2 |x(t)|2 dt. La finestra [−T /2, T /2] della definizione contiene circa T /T0 periodi uguali, quindi la media su tutto l’asse è la media su un periodo. L’integrale si può fare su qualunque intervallo lungo T0, scegliendo quello più comodo. Proposizione – Potenza del coseno x(t) = A cos(2πf0t + φ) =⇒ Px = A2 2 . Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 4

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Dimostrazione Il periodo è T0 = 1/f0 e il segnale è reale. 1. Con cos2 θ = 1 2 (1 + cos 2θ): Px = A2 T0 Z T0/2 −T0/2 cos2(2πf0t + φ) dt = A2 2T0 Z T0/2 −T0/2 1 + cos(4πf0t + 2φ) dt. 2. Il primo termine dà A2 2T0 · T0 = A2 2 . 3. Il secondo è l’integrale di un coseno su due suoi periodi interi, che vale 0. □ Definizione – Treno di impulsi rettangolari Il treno di impulsi rettangolari è il segnale periodico di periodo T0 che ripete una rect alta 1 e larga D ≤ T0, centrata nei multipli di T0: x(t) = +∞X n=−∞ rect t − nT0 D . Il rapporto D/T0 ≤ 1 è il duty cycle: la frazione del periodo in cui il segnale è alto. −2T0 −T0 0 T0 2T0 1 D T0 t x(t) Proposizione – Potenza del treno di impulsi rettangolari La potenza è uguale al duty cycle: Px = D T0 . Dimostrazione Nel periodo [−T0/2, T0/2] c’è solo la rect centrata in 0, che vale 1 fra −D/2 e D/2 e 0 altrove: Px = 1 T0 Z D/2 −D/2 12 dt = 1 T0 D 2 + D 2 = D T0 . □ Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 5

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4 Energia e potenza dopo scalature e traslazioni Proposizione – Effetto di scalature e traslazioni operazione energia potenza scalatura verticale y(t) = a x(t) Ey = |a|2Ex Py = |a|2Px traslazione y(t) = x(t − t0), yn = xn−M Ey = Ex Py = Px scalatura dei tempi y(t) = x(at), a̸ = 0 Ey = Ex/|a| Py = Px Dimostrazione Si sostituisce y nelle definizioni. 1. |a x(t)|2 = |a|2|x(t)|2, e la costante |a|2 esce dall’integrale e dal limite. 2. Con u = t − t0 l’integrale su tutto R non cambia: il grafico di |x|2 si sposta, la sua area no. Nella potenza la finestra si sposta di t0, e per T → +∞ lo spostamento non conta. 3. Con u = at, dt = du/|a| (per a < 0 gli estremi si scambiano), quindi Ey = Ex/|a|. Nella potenza la finestra [−T /2, T /2] diventa [−|a|T /2, |a|T /2], lunga |a|T : Py = lim T →+∞ 1 |a| T Z |a|T /2 −|a|T /2 |x(u)|2 du = Px. □ Comprimere un segnale di un fattore a > 1 ne divide la durata e quindi l’energia per a: per esempio tri(2t) ha energia 2 3 · 1 2 = 1 3 . La potenza è un’energia per unità di tempo e resta uguale. Esempio – Energia di una somma di rect z(t) = rect(t − 3) + 2 rect t 2 − 1. 1. rect(t − 3) è alto 1 fra 5 2 e 7 2 . 2. 2 rect t 2 − 1 = 2 rect1 2 (t − 2) ha centro 2, durata 2 e altezza 2: vale 2 fra 1 e 3. 3. I supporti si sovrappongono fra 5 2 e 3, dove le altezze si sommano: z vale 2 in (1, 5 2 ), 3 in (5 2 , 3), 1 in (3, 7 2 ). Ez = 22 · 3 2 + 32 · 1 2 + 12 · 1 2 = 6 + 9 2 + 1 2 = 11. Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 6

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1 5 2 3 7 2 1 t rect(t − 3) 1 5 2 3 7 2 2 t 2 rect t 2 − 1 1 5 2 3 7 2 1 2 3 t z(t) 5 Impulso matematico Definizione – Impulso matematico L’impulso matematico (o impulso a tempo continuo) δ(t) è il limite di rettangoli di area 1 sempre più stretti e più alti: δ(t) = lim ∆t→0 1 ∆t rect t ∆t . La rect 1 ∆t rect(t/∆t) è larga ∆t e alta 1/∆t, quindi ha area 1 per ogni ∆t. Al limite la durata tende a zero e l’ampiezza a +∞. Si disegna con una freccia verso l’alto nel punto in cui è centrato, con accanto l’area. − ∆t 2 ∆t 2 area 1 per ogni ∆t t 1 ∆t rect t ∆t 1 t δ(t) ∆t → 0 L’impulso discreto δn (Capitolo 1) vale 1 in n = 0; l’impulso matematico non ha un valore in t = 0, e ad essere 1 è la sua area. Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 7

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Nota – Una funzione generalizzata δ(t) non è una funzione definita punto per punto: non ha senso chiedere quanto valgono δ(t) o x(t) δ(t) in un istante. È una funzione generalizzata: il suo effetto si vede solo sotto il segno di integrale, moltiplicata per un altro segnale x(t), detto segnale di test. Proposizione – Proprietà dell’impulso • Area: Z +∞ −∞ δ(t) dt = 1 e Z +∞ −∞ a δ(t) dt = a. • Campionamento: se x(t) è continuo in t0, Z +∞ −∞ x(t) δ(t − t0) dt = x(t0). L’impulso traslato δ(t − t0) è centrato in t0, e l’integrale “pesca” dal segnale di test il solo valore in quell’istante: per questo la proprietà si chiama di campionamento. Si vede dalla definizione: l’integrale di x(t) per la rect di area 1 larga ∆t attorno a t0 è il valore medio di x su quell’intervallo, che per ∆t → 0 tende a x(t0). Con x(t) = 1 si ritrova l’area. Esempio – Un campione fuori dal supporto Z +∞ −∞ rect(t) δ(t − 1) dt = rect(1) = 0, perché l’impulso è in t = 1, dove la rect è nulla. Altri casi nell’Esercizio 4. 6 Convoluzione Definizione – Convoluzione La convoluzione di due segnali x(t) e y(t) è il segnale φxy(t) = x(t) ∗ y(t) = Z +∞ −∞ x(τ ) y(t − τ ) dτ. La variabile di integrazione è τ ; t è un parametro, e per ogni t ∈ R l’integrale dà un valore del segnale φxy. Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 8

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È la terza operazione fra due segnali, dopo somma e prodotto, ma non si fa punto per punto: il valore in t dipende da tutto x e da tutto y. Proposizione – Calcolare una convoluzione 1. Si disegnano x e y in funzione di τ : x(τ ), y(τ ). 2. Si ribalta y rispetto all’asse delle ordinate: y(−τ ). 3. Si trasla y(−τ ) di t, verso destra se t > 0 e verso sinistra se t < 0: è y(t − τ ). 4. Si moltiplica x(τ ) y(t − τ ) e se ne calcola l’area, che è φxy(t). 5. Si ripete per ogni t, dividendo l’asse in intervalli in cui la sovrapposizione ha la stessa forma. Esempio – Convoluzione di due rect x(t) vale 1 fra −4 e 4, y(t) vale 1 fra 0 e 3, cioè x(t) = rect(t/8), y(t) = rect(t− 3 2 )/3. Ribaltata e traslata, y(t−τ ) vale 1 fra t−3 e t, e il prodotto vale 1 dove i due supporti si sovrappongono. L’integrale è la lunghezza della sovrapposizione: intervallo sovrapposizione φxy(t) t < −4 nessuna 0 −4 ≤ t ≤ −1 da −4 a t t + 4 −1 ≤ t ≤ 4 da t − 3 a t 3 4 ≤ t ≤ 7 da t − 3 a 4 7 − t t > 7 nessuna 0 Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 9

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−4 4 1 τ x(τ ) −3 3 1 y(τ )y(−τ ) τ y(τ ), y(−τ ) t − 3 −4 t 4 1 area = t + 4 per −4 ≤ t ≤ −1 (qui t = −2) τ x(τ ), y(t − τ ) −4 −1 4 7 3 t φxy(t) Riepilogo • Energia e potenza: Ex = R |x|2; Px = lim 1 T R T /2 −T /2 |x|2, il valore medio di |x|2; per le sequenze somme, con 2N + 1 campioni. • Classi: di energia 0 < Ex < ∞, impulsivo 0 < R |x| < ∞, di potenza 0 < Px < ∞; energia finita ⇒ Px = 0. • SNR: Ps/Pr, in dB 10 log10(Ps/Pr); Pe cala se l’SNR cresce. • Energie: Erect = 1, Etri = 2 3 , E = A2/(2α) per Ae−αtu−1(t). • Potenze: costante C2; periodico su un periodo; coseno A2/2; treno di rect D/T0, il duty cycle. • Trasformazioni: a x moltiplica E e P per |a|2; la traslazione non cambia nulla; x(at) divide E per |a| e lascia P . • Impulso: limite di rect di area 1; R x(t) δ(t − t0) dt = x(t0). • Convoluzione: R x(τ ) y(t − τ ) dτ : ribaltare y, traslare di t, integrare il prodotto. Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 10

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7 Esercizi Esercizio 1 – Impulsivo ma non di energia Mostra che x(t) = rect(t) |t|−1/2 è impulsivo ma non è un segnale di energia. Soluzione a pagina 12 → Esercizio 2 – Esponenziale bilatero Verifica se x(t) = A e−α|t|, con A > 0 e α > 0, è impulsivo e se è un segnale di energia. Soluzione a pagina 12 → Esercizio 3 – Energia di una somma di tri Calcola l’energia di z(t) = trit − 1 2 + trit + 1 2 . Soluzione a pagina 12 → Esercizio 4 – Proprietà di campionamento Calcola (a) Z tri2(t) δt − 1 3 dt, (b) Z tri2(t) + rect(t) δt + 1 4 dt, (c) Z 2 rect(t) δt − 1 4 dt, (d) Z tri(t) δ(t) dt, (e) Z tri(t) δt + 1 4 dt, con gli integrali estesi a tutto R. Soluzione a pagina 13 → Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 11

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8 Soluzioni Soluzione dell’Esercizio 1 – Impulsivo ma non di energia Il segnale è nullo per |t| > 1 2 , vale |t|−1/2 per 0 < |t| < 1 2 ed è pari. Diverge in t = 0; il valore in un solo punto non conta negli integrali. Impulsivo. Con la simmetria, Z +∞ −∞ |x(t)| dt = 2 Z 1/2 0 t−1/2 dt = 2 h 2√t i1/2 0 = 4 q1 2 = 2√2, finito e positivo. Energia. |x(t)|2 = 1/|t| per 0 < |t| < 1 2 : Ex = 2 Z 1/2 0 dt t = 2 lim ε→0+ ln 1 2 − ln ε = +∞. L’energia è infinita, quindi il segnale non è di energia, pur avendo durata finita: non è limitato. ← Torna all’Esercizio 1, pagina 11 Soluzione dell’Esercizio 2 – Esponenziale bilatero Il segnale è pari, quindi si integra su t ≥ 0, dove x(t) = A e−αt, e si moltiplica per 2. Come per l’esponenziale unilatero (Sezione 2), ciascuna metà dà A2/(2α) di energia e A/α di integrale del modulo: Ex = 2 · A2 2α = A2 α , Z +∞ −∞ |x(t)| dt = 2 · A α = 2A α . Entrambi sono finiti e positivi: il segnale è impulsivo e di energia. ← Torna all’Esercizio 2, pagina 11 Soluzione dell’Esercizio 3 – Energia di una somma di tri Disegno. tri(t + 1 2 ) ha vertice in −1 2 ed è diverso da zero fra −3 2 e 1 2 ; tri(t − 1 2 ) ha vertice in 1 2 , fra −1 2 e 3 2 . Si sommano i due tratti dove si sovrappongono: • per −3 2 ≤ t ≤ −1 2 c’è solo il primo: z(t) = t + 3 2 ; • per −1 2 ≤ t ≤ 1 2 il primo scende e il secondo sale: z(t) = 1 2 − t + 1 2 + t = 1; • per 1 2 ≤ t ≤ 3 2 c’è solo il secondo: z(t) = 3 2 − t. È un trapezio: due rampe di durata 1 e un tratto costante alto 1 e lungo 1. Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 12

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Energia. Le due rampe hanno la stessa energia di metà tri, cioè R 1 0 u2 du = 1 3 ciascuna; il tratto costante dà 12 · 1 = 1: Ez = 1 3 + 1 + 1 3 = 5 3 . Sommare le energie dei due tri, 2 3 + 2 3 = 4 3 , darebbe un risultato sbagliato, perché i supporti si sovrappongono. − 3 2 − 1 2 1 2 3 2 1 t z(t) ← Torna all’Esercizio 3, pagina 11 Soluzione dell’Esercizio 4 – Proprietà di campionamento In ogni caso l’integrale vale il segnale di test nel punto in cui è centrato l’impulso: δ(t − t0) è in t0, quindi δ(t + 1 4 ) è in −1 4 . (a) tri21 3 = 1 − 1 3 2 = 4 9 . (b) tri2−1 4 + rect−1 4 = 3 4 2 + 1 = 9 16 + 1 = 25 16 . (c) 2 rect1 4 = 2, perché 1 4 è dentro la rect. (d) tri(0) = 1. (e) tri−1 4 = 1 − 1 4 = 3 4 . ← Torna all’Esercizio 4, pagina 11 Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 13

Entrambi

2 Energia, potenza, impulso e convoluzioneC1 · C2

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