Capitolo 3 · C1 · C2

Trasformata di Fourier

Analisi e sintesi, Rect e sinc, Simmetrie, Linearità e dualità, Scalatura, traslazione e modulazione, Impulso, costante, coseno e seno, Convoluzione e prodotto, Tri e sinc2, Segnali periodici e treno di impulsi

14 pagine (12 numerate). Aggiornato il 25 ottobre 2026.

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1 Trasformata e antitrasformata Definizione – Trasformata di Fourier La trasformata di Fourier di un segnale a tempo continuo x(t) è il segnale X(f ), funzione della frequenza f ∈ R: X(f ) = FT{x(t)} = Z +∞ −∞ x(t) e−j2πf t dt. L’antitrasformata riporta da X(f ) a x(t): x(t) = FT−1{X(f )} = Z +∞ −∞ X(f ) ej2πf t df. Si scrive x(t) ←→ X(f ) e si parla di coppia trasformata e antitrasformata. La trasformata è l’operazione di analisi: scompone x(t) in componenti alle frequenze f . L’antitrasformata è la sintesi: ricompone x(t) sommando quelle componenti. Le lettere minuscole indicano i segnali nel tempo, le maiuscole le loro trasformate. La frequenza viene dall’esponenziale complesso. Per la formula di Eulero e−j2πf t = cos(2πf t) − j sin(2πf t): moltiplicare x(t) per l’esponenziale significa confrontarlo con un coseno e un seno che oscillano alla frequenza f . X(f ) dice quanto pesa in x(t) la componente armonica a quella frequenza, per ogni f reale. Nota – Quando si applica • La definizione vale per i segnali a tempo continuo (CTFT, continuous time Fourier transform); non si applica alle sequenze. • L’integrale converge per i segnali impulsivi (Capitolo 2), con R |x(t)| dt < +∞: infatti |X(f )| ≤ R |x(t)| dt. • Costante, coseno e seno non sono impulsivi: le loro trasformate contengono impulsi e si ricavano dalle proprietà (Sezione 4). In generale X(f ) è complessa anche quando x(t) è reale, perché nell’integrale c’è un esponenziale complesso. Le simmetrie della Sezione 3 dicono quando è reale. Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 1

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2 Trasformata della rect Proposizione – Rect e sinc Per una rect larga T e alta 1: rect t T ←→ T sinc(f T ), rect(t) ←→ sinc(f ). Dimostrazione 1. La rect vale 1 fra −T 2 e T 2 e 0 fuori: X(f ) = Z T /2 −T /2 e−j2πf t dt = e−jπf T − ejπf T −j2πf = 1 πf · ejπf T − e−jπf T 2j . 2. Per la formula di Eulero sin z = ejz − e−jz 2j , con z = πf T : X(f ) = sin(πf T ) πf = T sin(πf T ) πf T = T sinc(f T ), moltiplicando e dividendo per T . In f = 0 l’integrale vale T , come T sinc(0). 3. Con T = 1 si ha rect(t) ←→ sinc(f ). □ La trasformata è una sinc nella variabile f , scalata in verticale e in orizzontale: in f = 0 vale T , l’area della rect, e si annulla nei multipli non nulli di 1/T . Più la rect è stretta, più la sinc è larga. Altri casi nell’Esercizio 1. − T 2 T 2 1 t rect(t/T ) − 3 T − 2 T − 1 T 1 T 2 T 3 T T f T sinc(f T ) Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 2

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3 Proprietà 3.1 Simmetrie Proposizione – Simmetrie della trasformata 1. Se x(t) è reale, X(−f ) = X∗(f ): la parte reale di X è pari, la parte immaginaria è dispari (simmetria hermitiana). 2. Se x(t) è reale e pari, X(f ) è reale e pari. Dimostrazione Con la formula di Eulero la definizione diventa X(f ) = Z +∞ −∞ x(t) cos(2πf t) dt − j Z +∞ −∞ x(t) sin(2πf t) dt. 1. Con x reale i due integrali sono la parte reale e quella immaginaria. Il coseno è pari in f e il seno è dispari, quindi la prima è pari e la seconda dispari. 2. Con x anche pari, x(t) sin(2πf t) è dispari in t e il suo integrale è nullo: X è reale, e pari per il punto 1. □ La rect, la sinc, l’impulso e la costante sono reali e pari, e lo sono anche le loro trasformate. Un segnale reale ma non pari ha in generale una trasformata complessa: per esempio la rect traslata (Sezione 3.4). 3.2 Linearità e dualità Proposizione – Linearità Per ogni coppia di costanti a, b: FT{a x(t) + b y(t)} = a X(f ) + b Y (f ). Lo stesso vale per l’antitrasformata. Proposizione – Dualità Da una coppia se ne ottiene un’altra, con i ruoli scambiati: x(t) ←→ X(f ) =⇒ X(t) ←→ x(−f ). Se x è pari, x(−f ) = x(f ) e lo scambio è diretto: X(t) ←→ x(f ). Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 3

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Dimostrazione Si scrive l’antitrasformata con la variabile di integrazione ν e si valuta in −f : x(−f ) = Z +∞ −∞ X(ν) e−j2πνf dν. Rinominando ν in t, è la trasformata di X(t) calcolata in f . □ La dualità dimezza il lavoro: basta calcolare la più semplice delle due trasformate. Dalla rect, pari, si ha subito sinc(t) ←→ rect(f ). 3.3 Scalatura Proposizione – Scalatura Per ogni α̸ = 0: x(αt) ←→ 1 |α| X f α . Dimostrazione Sia α > 0. Con t′ = αt si ha t = t′/α e dt = dt′/α: Z +∞ −∞ x(αt) e−j2πf t dt = 1 α Z +∞ −∞ x(t′) e−j2π f α t′ dt′ = 1 α X f α . Per α < 0 gli estremi si scambiano e il segno meno che ne nasce dà 1/|α|. □ Comprimere il segnale nel tempo di un fattore α > 1 allarga la trasformata dello stesso fattore e ne divide l’ampiezza per α. La coppia della rect larga T ne è un caso: rect(t/T ) è rect(αt) con α = 1/T , e T sinc(f T ) è 1 α sinc(f /α). 3.4 Traslazione e modulazione Proposizione – Traslazione nel tempo e in frequenza 1. Una traslazione nel tempo moltiplica la trasformata per un esponenziale complesso: x(t − t0) ←→ X(f ) e−j2πf t0 . 2. Moltiplicare il segnale per un esponenziale complesso (modulazione) trasla la trasformata: x(t) ej2πf0t ←→ X(f − f0). Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 4

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Dimostrazione 1. Con t′ = t − t0, dt′ = dt, l’esponenziale si divide in due fattori e quello costante esce dall’integrale: Z x(t′) e−j2πf (t′+t0) dt′ = e−j2πf t0 Z x(t′) e−j2πf t′ dt′ = e−j2πf t0 X(f ). 2. Si sommano gli esponenti: Z x(t) ej2πf0t e−j2πf t dt = Z x(t) e−j2π(f −f0)t dt = X(f − f0). □ I segni vanno tenuti: t0 e f0 entrano con il loro segno, e nelle due formule gli esponenziali hanno segni opposti. Nel dubbio si rifà il cambio di variabile, che è breve. Esempio – Rect traslata, sinc traslata, rect modulata • rect(t−t0) ←→ sinc(f ) e−j2πf t0 : la trasformata è complessa, perché la rect traslata non è più pari. • sinc(t + 5) ←→ rect(f ) ej10πf : qui t0 = −5, quindi l’esponente ha il segno più. • rect(t) ej10πt = rect(t) ej2π·5t ←→ sinc(f − 5): la frequenza è f0 = 5, non 10. Altri casi nell’Esercizio 2. 4 Trasformate notevoli Proposizione – Impulso e costante δ(t) ←→ 1, C ←→ C δ(f ), δ(t − t0) ←→ e−j2πf t0 , ej2πf0t ←→ δ(f − f0). Dimostrazione 1. Per la proprietà di campionamento, R δ(t) e−j2πf t dt vale l’esponenziale in t = 0, cioè 1. 2. L’impulso è pari: per dualità 1 ←→ δ(f ), e per linearità C ←→ C δ(f ). 3. La terza è la traslazione nel tempo applicata a δ(t). 4. La quarta è la modulazione applicata a x(t) = 1, che ha X(f ) = δ(f ). □ Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 5

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1 t δ(t) 1 f X(f ) FT Proposizione – Coseno e seno A cos(2πf0t) ←→ A 2 δ(f − f0) + A 2 δ(f + f0), A sin(2πf0t) ←→ −j A 2 δ(f − f0) + j A 2 δ(f + f0). Dimostrazione 1. Con le formule di Eulero cos z = ejz + e−jz 2 , sin z = ejz − e−jz 2j , con z = 2πf0t coseno e seno diventano somme di due esponenziali complessi, alle frequenze f0 e −f0. 2. Per linearità ogni esponenziale dà un impulso: e±j2πf0t ←→ δ(f ∓ f0). 3. Per il seno resta il fattore A 2j ; moltiplicando numeratore e denominatore per j, con j2 = −1, diventa −j A 2 . □ Il coseno, reale e pari, ha una trasformata reale e pari: due impulsi di area A 2 in ±f0. Il seno, reale e dispari, ha una trasformata immaginaria: due impulsi di area ∓j A 2 in ±f0, coerenti con la simmetria hermitiana. Esempi numerici nell’Esercizio 3. −f0 f0 A 2 A 2 f FT{A cos(2πf0t)} −f0 j A 2 −j A 2 f0 f FT{A sin(2πf0t)} Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 6

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Osservazione – Tempo e frequenza Un segnale breve nel tempo ha una trasformata larga in frequenza, e viceversa. • L’impulso, di durata nulla, ha trasformata costante, di durata infinita; la costante ha come trasformata un impulso. • La rect, di durata finita, ha come trasformata una sinc, di durata infinita in senso stretto, con zeri più radi se la rect è più stretta. • Il coseno, di durata infinita, ha come trasformata due impulsi. La scalatura lo dice in generale: comprimere x di un fattore α allarga X dello stesso fattore. 5 Convoluzione e prodotto Teorema – Convoluzione e prodotto La convoluzione nel tempo diventa un prodotto in frequenza, e il prodotto nel tempo diventa una convoluzione in frequenza: x(t) ∗ y(t) ←→ X(f ) Y (f ), x(t) y(t) ←→ X(f ) ∗ Y (f ). Dimostrazione Si scrive la trasformata della convoluzione e si scambia l’ordine degli integrali: Z hZ x(τ ) y(t − τ ) dτ i e−j2πf t dt = Z x(τ ) hZ y(t − τ ) e−j2πf t dt i dτ. L’integrale interno è la trasformata di y traslato di τ , cioè Y (f ) e−j2πf τ . Resta Y (f ) R x(τ ) e−j2πf τ dτ = X(f ) Y (f ). La seconda formula si ottiene allo stesso modo partendo dall’antitrasformata. □ Per calcolare una convoluzione si può quindi trasformare i due segnali, moltiplicare le trasformate e antitrasformare: un prodotto è molto più semplice del calcolo grafico del Capitolo 2. Proposizione – Tri e sinc al quadrato tri(t) ←→ sinc2(f ), sinc2(t) ←→ tri(f ). Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 7

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Dimostrazione Nel Capitolo 2 si è visto che tri(t) = rect(t) ∗ rect(t). Per il teorema la trasformata è sinc(f ) · sinc(f ) = sinc2(f ). La tri è pari, quindi per dualità sinc2(t) ←→ tri(f ).□ −1 1 1 t tri(t) −3 −2 −1 1 2 3 1 f sinc2(f ) 6 Segnali periodici Proposizione – Serie di Fourier Sia x(t) periodico di periodo T0, con frequenza fondamentale f0 = 1/T0 e armoniche fn = nf0, n intero. Allora x è una somma di esponenziali complessi alle armoniche: x(t) = +∞X n=−∞ Xn ej2πfnt, Xn = 1 T0 Z T0/2 −T0/2 x(t) e−j2πfnt dt. I pesi Xn sono i coefficienti della serie di Fourier. L’integrale per Xn si fa su un solo periodo, normalizzato per la sua durata, come la potenza dei segnali periodici nel Capitolo 2. Proposizione – Trasformata di un segnale periodico X(f ) = +∞X n=−∞ Xn δ(f − nf0) : impulsi nelle armoniche, con aree uguali ai coefficienti della serie. Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 8

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Dimostrazione Si trasforma la serie. Per linearità la trasformata entra nella somma, e ogni esponenziale ej2πfnt ha come trasformata δ(f − fn) (Sezione 4): FT nX n Xn ej2πfnt o = X n Xn FTej2πfnt = X n Xn δ(f − nf0). □ Gli impulsi δ(f − nf0) sono gli stessi per ogni segnale di periodo T0: per trasformare un segnale periodico basta calcolarne i coefficienti Xn. Per il coseno A cos(2πf0t) i coefficienti sono X±1 = A 2 e gli altri nulli, e si ritrova la coppia della Sezione 4. Proposizione – Trasformata del treno di impulsi Il treno di impulsi matematici ΓT0 (t) = P k δ(t − kT0) (Capitolo 2) ha come trasformata un treno di impulsi in frequenza, di periodo f0 = 1/T0 e area f0: ΓT0 (t) ←→ f0 Γf0 (f ) = f0 +∞X n=−∞ δ(f − nf0). Dimostrazione Basta calcolare i coefficienti. Fra −T0 2 e T0 2 il treno ha un solo impulso, δ(t), e per la proprietà di campionamento Xn = 1 T0 Z T0/2 −T0/2 δ(t) e−j2πfnt dt = 1 T0 e0 = f0 per ogni n. Nella trasformata del segnale periodico tutti gli impulsi hanno quindi area f0. □ −2T0 −T0 T0 2T0 1 t ΓT0 (t) −f0 f0 f0 f f0 Γf0 (f ) Più gli impulsi sono fitti nel tempo, più sono radi in frequenza: il passo T0 diventa 1/T0. Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 9

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Riepilogo • Trasformata: X(f ) = R x(t) e−j2πf t dt (analisi); x(t) = R X(f ) ej2πf t df (sintesi); per segnali a tempo continuo. • Simmetrie: x reale ⇒ X(−f ) = X∗(f ); x reale e pari ⇒ X reale e pari. • Rect: rect(t/T ) ←→ T sinc(f T ); sinc(t) ←→ rect(f ) per dualità. • Linearità, dualità, scalatura: X(t) ←→ x(−f ); x(αt) ←→ 1 |α| X(f /α). • Traslazione e modulazione: x(t − t0) ←→ X(f )e−j2πf t0 ; x(t)ej2πf0t ←→ X(f − f0). • Notevoli: δ ↔ 1; C ↔ Cδ(f ); A cos(2πf0t) ↔ A 2 [δ(f − f0) + δ(f + f0)]; seno con ∓j A 2 . • Convoluzione e prodotto: x ∗ y ↔ XY , xy ↔ X ∗ Y ; tri(t) ↔ sinc2(f ). • Periodici: X(f ) = P n Xn δ(f − nf0); ΓT0 (t) ↔ f0 Γf0 (f ), con f0 = 1/T0. 7 Esercizi Esercizio 1 – Rect e sinc scalate Calcola e disegna la trasformata di Fourier di (a) x(t) = rect(t/2); (b) x(t) = sinc(2t). Soluzione a pagina 11 → Esercizio 2 – Impulso e sinc traslati Calcola la trasformata di Fourier, con modulo e fase, di (a) x(t) = δ(t − 1000); (b) x(t) = sinc(t + 1). Soluzione a pagina 11 → Esercizio 3 – Seno e coseno Calcola e disegna la trasformata di Fourier di (a) x(t) = sin(2π 5t); (b) x(t) = cos(2π 3t). Soluzione a pagina 12 → Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 10

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8 Soluzioni Soluzione dell’Esercizio 1 – Rect e sinc scalate (a) È la rect larga T = 2: X(f ) = 2 sinc(2f ). Vale 2 in f = 0 e si annulla in f = ±1 2 , ±1, ±3 2 , . . . (b) Per dualità sinc(t) ←→ rect(f ); per la scalatura con α = 2 X(f ) = 1 2 rect f 2 , alta 1 2 fra f = −1 e f = 1. Controllo: X(0) = 1 2 è l’area di sinc(2t), metà di quella di sinc(t), che vale rect(0) = 1. − 3 2 −1 − 1 2 1 2 1 3 2 2 f (a) 2 sinc(2f ) −1 1 1 2 f (b) 1 2 rect(f /2) ← Torna all’Esercizio 1, pagina 10 Soluzione dell’Esercizio 2 – Impulso e sinc traslati (a) δ(t − t0) ←→ e−j2πf t0 con t0 = 1000: X(f ) = e−j2000πf . Il modulo vale 1 per ogni f , come per l’impulso non traslato; la fase −2000πf è una retta. La traslazione cambia solo la fase. (b) sinc(t) ←→ rect(f ) e la traslazione è t0 = −1: X(f ) = rect(f ) ej2πf . Il modulo è rect(f ): 1 per |f | < 1 2 , 0 fuori. Dove il modulo non è nullo la fase è la retta 2πf , da −π a π. ← Torna all’Esercizio 2, pagina 10 Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 11

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Soluzione dell’Esercizio 3 – Seno e coseno (a) Seno con A = 1 e f0 = 5: X(f ) = − j 2 δ(f − 5) + j 2 δ(f + 5), due impulsi di area immaginaria, j 2 in −5 e − j 2 in 5. (b) Coseno con A = 1 e f0 = 3: X(f ) = 1 2 δ(f − 3) + 1 2 δ(f + 3), due impulsi di area 1 2 in ±3. −5 j 2 − j 2 5 f (a) −3 3 1 2 1 2 f (b) ← Torna all’Esercizio 3, pagina 10 Canali 1 e 2 · Segnali · Prof.ssa Tiziana Cattai 12

Entrambi

3 Trasformata di FourierC1 · C2

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