Capitolo 7 · C2

Teorema ponte, restrizioni e continuità

Teorema ponte, Restrizioni, Continuità, Funzioni lineari, affini e quadratiche

14 pagine (12 numerate). Aggiornato il 11 ottobre 2026.

Indice

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1 Il teorema ponte Teorema – Teorema ponte Siano f : X ⊆ Rn → R e x0 ∈ Rn di accumulazione per X, e sia l ∈ R∗. Allora lim x→x0 f (x) = l se e solo se, per ogni successione {xk} di punti di X \ {x0} convergente a x0, lim k→∞ f (xk) = l. Il teorema fa da ponte fra limiti di funzione (Capitolo 6) e limiti di successione (Capitolo 5). La freccia «per ogni successione, allora il limite» è difficile da usare per dimostrare che un limite esiste, perché le successioni sono infinite. Si usa invece per dimostrare che un limite non esiste: bastano due successioni convergenti a x0 lungo le quali f ha limiti diversi. Esempio – (x + y)/(x − y) nell’origine Sia f (x, y) = x + y x − y , X = {(x, y) ∈ R2 : x̸ = y}, il piano senza la bisettrice del primo e del terzo quadrante. L’origine non sta in X, ma è di accumulazione per X. Le successioni pk = 1/k 0 ! , qk = 0 1/k ! stanno in X \ {0}, sui due assi, e convergono all’origine (Figura 1). Per ogni k f (pk) = 1/k + 0 1/k − 0 = 1, f (qk) = 0 + 1/k 0 − 1/k = −1. Le due successioni dei valori sono costanti, con limiti 1 e −1: il limite di f per (x, y) → (0, 0) non esiste. Nel piano il limite si scrive con la coppia, lim(x,y)→(0,0) f (x, y): il punto (x, y) tende al punto (0, 0). È un errore scrivere «x → 0, y → 0» sotto il simbolo di limite: il punto che si avvicina è uno solo, la coppia, non due variabili separate. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 1

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x y y = x, fuori da X p1p2 q1 q2 f (pk) = 1 f (qk) = −1 Figura 1: Le successioni pk (in blu) e qk (in rosso) tendono all’origine lungo gli assi; f vale 1 sulla prima e −1 sulla seconda. La bisettrice tratteggiata non sta nel dominio. 2 Restrizioni Definizione – Restrizione Siano f : X ⊆ Rn → R e A ⊆ X. La restrizione di f ad A è la funzione f |A : A → R con f |A(x) = f (x) per ogni x ∈ A. La restrizione ha gli stessi valori di f , ma solo sui punti di A. Per una funzione di più variabili è uno strumento nuovo: se A è una retta o una curva, descritta da un parametro, f |A diventa una funzione di una sola variabile. Per esempio, su A = {(t, t2) : t ∈ R}, la parabola, si studia la funzione di t data da f (t, t2). Teorema – Limite e restrizioni Siano f : X ⊆ Rn → R e x0 ∈ Rn ∗ di accumulazione per X, e sia l ∈ R∗. Allora lim x→x0 f (x) = l se e solo se, per ogni A ⊆ X di cui x0 è punto di accumulazione, lim x→x0 f |A(x) = l. L’insieme A deve avere x0 come punto di accumulazione, altrimenti il limite della restrizione non si può considerare. Come per il teorema ponte, il teorema si usa soprattutto in negativo: Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 2

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Proposizione – Criterio di non esistenza Se due restrizioni f |A e f |B , con x0 di accumulazione per A e per B, hanno limiti diversi per x → x0, allora limx→x0 f (x) non esiste. Il metodo per un punto x0 del piano: 1. si provano prima le restrizioni più semplici: gli assi coordinati, se passano per x0, oppure le rette parallele agli assi per x0; 2. poi le altre rette per x0; 3. poi le curve, come le parabole. Ci si ferma appena due restrizioni danno limiti diversi. Che molte restrizioni abbiano lo stesso limite non prova che il limite esiste, come mostra il primo esempio. Le due successioni del teorema ponte stanno sugli assi: le restrizioni agli assi danno lo stesso risultato, 1 e −1. Esempio – x2y2/(x6 + y3) nell’origine Sia f (x, y) = x2y2 x6 + y3 , definita dove y3̸ = −x6, cioè fuori dalla curva y = −x2. L’origine non sta nel dominio, ma è di accumulazione per ciascuno degli insiemi seguenti, tutti privati dell’origine (Figura 2). 1. Asse x, A = {(x, 0) : x̸ = 0}: f (x, 0) = 0 x6 = 0. 2. Asse y, B = {(0, y) : y̸ = 0}: f (0, y) = 0 y3 = 0. 3. Retta y = 2x, per x̸ = 0 vicino a 0: f (x, 2x) = 4x4 x6 + 8x3 = 4x x3 + 8 → 0. 4. Parabola C = {(x, x2) : x̸ = 0}: f (x, x2) = x6 x6 + x6 = 1 2. Le restrizioni ad A e a C sono costanti, uguali a 0 e a 1 2 : il limite per (x, y) → (0, 0) non esiste. Lungo gli assi e lungo la retta il limite vale 0, ma questo non bastava a concludere. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 3

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x y y = −x2, fuori dal dominio C: f = 1 2 y = 2x: f → 0 A: f = 0 B: f = 0 Figura 2: Restrizioni di f (x, y) = x2y2/(x6 + y3): sugli assi (in blu) f vale 0, sulla retta y = 2x tende a 0, sulla parabola y = x2 (in rosso) vale 1 2 . L’origine non sta nel dominio. Esempio – xy/(x2 + y2) nell’origine f (x, y) = xy x2 + y2 è definita in R2 \ {0}. 1. Asse x, A = {(x, 0) : x̸ = 0}: f (x, 0) = 0 x2 = 0. 2. Asse y, B = {(0, y) : y̸ = 0}: f (0, y) = 0. 3. Bisettrice, C = {(x, x) : x̸ = 0}: f (x, x) = x2 2x2 = 1 2. Le restrizioni ad A e a C hanno limiti 0 e 1 2 : il limite nell’origine non esiste. Esempio – (3x + 5y)/(x2 + y2) nell’origine f (x, y) = 3x + 5y x2 + y2 è definita in R2 \ {0}; nell’origine numeratore e denominatore si annullano, una forma indeterminata 0/0. Sull’asse x f (x, 0) = 3x x2 = 3 x (x̸ = 0), che per x → 0 non ha limite. Si divide allora l’asse nei due semiassi, entrambi con l’origine come punto di accumulazione: 1. A+ = {(x, 0) : x > 0}: f |A+ = 3/x → +∞; 2. A− = {(x, 0) : x < 0}: f |A− = 3/x → −∞. I due limiti sono diversi: il limite nell’origine non esiste. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 4

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Gli Esercizi 1 e 2 applicano il metodo; nel secondo nessuna retta basta, e serve una parabola. 3 Continuità Definizione – Funzione continua Siano f : X ⊆ Rn → R e x0 ∈ X. f è continua in x0 se vale una delle due condizioni: 1. x0 è un punto isolato di X; 2. x0 è di accumulazione per X, e il limite esiste e vale f (x0): lim x→x0 f (x) = f (x0). f è continua su E ⊆ X se è continua in ogni punto di E; si scrive f ∈ C0(E), di classe zero su E. Nei punti isolati del dominio la continuità vale per definizione: vicino a loro non ci sono altri punti da studiare. In un punto di accumulazione, continua vuol dire che f assume valori arbitrariamente vicini a f (x0) in tutti i punti sufficientemente vicini a x0. Per questo x0 deve stare nel dominio: serve il valore f (x0). Osservazione – La continuità è locale Il limite in x0 guarda solo i punti di un intorno di x0. Quindi: 1. se f = g su N (x0) ∩ X, per un intorno N (x0), e g è continua in x0, allora anche f è continua in x0; 2. se due restrizioni di f , a insiemi di cui x0 è di accumulazione, hanno limiti diversi in x0, oppure un limite diverso da f (x0), allora f non è continua in x0. Teorema – Operazioni che preservano la continuità Siano f : X ⊆ Rn → R e g : Y ⊆ Rn → R continue in x0 ∈ X ∩ Y . Allora sono continue in x0: 1. f ± g e αf , per ogni α ∈ R; 2. f g, e f /g se g(x0)̸ = 0; 3. |f | e max{f, 0}. Inoltre, se f : X ⊆ Rn → R è continua in x0 e h : Y ⊆ R → R è continua in f (x0) ∈ Y , la funzione composta h(f (x)) è continua in x0. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 5

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La composta è l’operazione più utile: con poche funzioni continue note se ne ottengono moltissime. Si parte dalle funzioni più semplici. Proposizione – Funzioni coordinate Per i = 1, . . . , n la funzione φi : Rn → R, φi(x) = xi, è continua su Rn. Dimostrazione Sia ̄x ∈ Rn. Per ogni x, |xi − ̄xi| ≤ ∥x − ̄x∥2 (Capitolo 5, Sezione 2). Fissato ε > 0, con δ = ε si ha |φi(x) − φi( ̄x)| < ε per ∥x − ̄x∥2 < δ: il limite vale φi( ̄x). □ Ogni polinomio nelle variabili x1, . . . , xn è fatto di somme e prodotti di funzioni coordinate e costanti, quindi è continuo su Rn. Lo stesso vale per i rapporti di polinomi, dove il denominatore non si annulla. 4 Funzioni lineari, affini e quadratiche Definizione – Funzione lineare e funzione affine Dati c ∈ Rn e d ∈ R, la funzione f : Rn → R f (x) = cTx = c1x1 + c2x2 + · · · + cnxn è lineare; la funzione f (x) = cTx + d è affine. Le funzioni lineari sono esattamente quelle con f (x + y) = f (x) + f (y) e f (αx) = αf (x) per ogni x, y ∈ Rn e α ∈ R. Sono le funzioni obiettivo e i primi membri dei vincoli dei modelli del Capitolo 1. Lineari e affini sono continue su Rn: somme di costanti per funzioni coordinate, più una costante. Definizione – Forma quadratica Una forma quadratica è un polinomio omogeneo di secondo grado: • in una variabile, q(x) = ax2; • in due variabili, q(x, y) = ax2 + bxy + cy2, con a, b, c non tutti nulli; • in n variabili, q(x) = xTQx, con Q matrice n × n non nulla. In due variabili la matrice si ottiene mettendo a e c sulla diagonale e il coefficiente b del termine misto fuori dalla diagonale, tutto da una parte oppure diviso a metà: q(x, y) = x y a b 0 c ! x y ! = x y a b/2 b/2 c ! x y ! . Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 6

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La seconda matrice è simmetrica. Si può sempre supporre Q simmetrica: xTQx è un numero, uguale al suo trasposto xTQTx, quindi xTQx = xT Q + QT 2 x, e (Q + QT)/2 è simmetrica, anche se in generale diversa da Q. Esempio – La matrice di una forma quadratica Per q(x, y) = 3x2 + 4xy − y2 le due matrici sono 3 4 0 −1 ! e, simmetrica, 3 2 2 −1 ! . Con la seconda: 3x2 + 2xy + 2yx − y2 = 3x2 + 4xy − y2. Definizione – Funzione quadratica Una funzione quadratica è la somma di una forma quadratica e di una funzione affine: q(x) = xTQx + cTx + d, con Q matrice n × n non nulla, che si può prendere simmetrica. Se Q fosse nulla, resterebbe una funzione affine. Le forme e le funzioni quadratiche sono polinomi, quindi continue su tutto Rn. Riepilogo • Teorema ponte: f (x) → l per x → x0 ⇐⇒ f (xk) → l per ogni {xk} ⊆ X \ {x0} con xk → x0. • Restrizione: f |A(x) = f (x) per x ∈ A ⊆ X; su una retta o una curva è una funzione di una variabile. • Limite e restrizioni: f → l ⇐⇒ f |A → l per ogni A con x0 di accumulazione. • Non esistenza: due successioni o due restrizioni con limiti diversi; prima gli assi, poi le rette, poi le curve. • Continuità: x0 isolato, oppure limx→x0 f (x) = f (x0); f ∈ C0(E) se continua in ogni punto di E. • Operazioni: somme, prodotti, rapporti con denominatore non nullo, |f | e composte di continue sono continue. • Lineare, affine: cTx e cTx + d, continue su Rn. • Quadratica: xTQx + cTx + d, con Q̸ = 0 simmetrica; continua su Rn. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 7

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5 Esercizi Esercizio 1 – Due rapporti di quarte potenze Dimostrare con le restrizioni che non esistono lim (x,y)→(0,0) x4 + y4 x4 − y4 e lim (x,y)→(0,0) x4 − y4 x4 + y4 . Soluzione a pagina 10 → Esercizio 2 – Una funzione costante a tratti Sia f (x, y) = (1 se x2 < y < 2x2, 0 altrimenti. Dimostrare che non esiste lim(x,y)→(0,0) f (x, y). Soluzione a pagina 10 → Esercizio 3 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti A e X, esercizio 3 Data la funzione di due variabili f (x, y) = (x2y − 3 se y ≥ x − 3, y + 2x − x2 se y < x − 3, (a) dimostrare (usando le restrizioni) che non esiste lim(x,y)→(2,−1) f (x, y); (b) determinare il più grande insieme E ⊆ R2 tale che f ∈ C0(E); (c) stabilire se la funzione è continua (e perché lo è) nel punto (4, 0). Soluzione a pagina 10 → Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 8

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Esercizio 4 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti B e Y, esercizio 3 Data la funzione di due variabili f (x, y) = (2y − 3x se xy ≥ 0, y − 2x + 1 se xy < 0, (a) dimostrare (usando le restrizioni) che non esiste lim(x,y)→(1,0) f (x, y); (b) determinare il più grande insieme E ⊆ R2 tale che f ∈ C0(E); (c) stabilire se la funzione è continua (e perché lo è) nel punto (0, 1). Soluzione a pagina 11 → Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 9

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6 Soluzioni Soluzione dell’Esercizio 1 – Due rapporti di quarte potenze La prima funzione è definita dove x4̸ = y4, cioè fuori dalle due bisettrici y = ±x; la seconda in R2 \ {0}. In entrambi i casi gli assi privati dell’origine, A = {(x, 0) : x̸ = 0} e B = {(0, y) : y̸ = 0}, stanno nel dominio e hanno l’origine come punto di accumulazione. 1. Prima funzione: f (x, 0) = x4/x4 = 1 e f (0, y) = y4/(−y4) = −1. 2. Seconda funzione: f (x, 0) = x4/x4 = 1 e f (0, y) = −y4/y4 = −1. In entrambi i casi le restrizioni ad A e a B sono costanti con valori diversi, 1 e −1: i limiti non esistono. ← Torna all’Esercizio 1, pagina 8 Soluzione dell’Esercizio 2 – Una funzione costante a tratti f è definita su tutto R2 e vale 1 solo fra le due parabole y = x2 e y = 2x2. 1. Asse x, A = {(x, 0) : x̸ = 0}: x2 < 0 è falso, quindi f (x, 0) = 0. 2. Parabola intermedia, C = {(x, 3 2 x2) : x̸ = 0}: per x̸ = 0 si ha x2 < 3 2 x2 < 2x2, quindi f = 1. Le due restrizioni sono costanti, 0 e 1, e l’origine è di accumulazione per entrambi gli insiemi: il limite non esiste. Le rette non bastano. Sulla retta y = mx con m > 0 e x > 0, la condizione x2 < mx < 2x2 equivale a m/2 < x < m; per 0 < x < m/2 si ha f = 0, e lo stesso vale per x < 0 e per m ≤ 0. Su ogni retta per l’origine la restrizione tende a 0. ← Torna all’Esercizio 2, pagina 8 Soluzione dell’Esercizio 3 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti A e X, esercizio 3 Siano p1(x, y) = x2y − 3 e p2(x, y) = y + 2x − x2, polinomi continui su R2, e L la retta y = x − 3. Sopra e su L si ha f = p1, sotto f = p2. (a) Il punto (2, −1) sta su L, perché 2 − 3 = −1. Sulla retta orizzontale y = −1: • A = {(x, −1) : x < 2}: −1 ≥ x − 3, quindi f (x, −1) = −x2 − 3 → −7 per x → 2; • B = {(x, −1) : x > 2}: −1 < x − 3, quindi f (x, −1) = −1 + 2x − x2 → −1 per x → 2. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 10

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(2, −1) è di accumulazione per A e per B, e i limiti −7 e −1 sono diversi: il limite non esiste. (b) Si studiano tre zone. 1. Sopra L, l’insieme aperto {y > x − 3}: ogni punto ha un intorno in cui f = p1, continuo. f è continua (osservazione della Sezione 3). 2. Sotto L, l’aperto {y < x − 3}: allo stesso modo f = p2 e f è continua. 3. Su L, nel punto (a, a − 3): la restrizione a L è p1 e tende a p1(a, a − 3) = f (a, a − 3); la restrizione all’aperto sotto L, di cui il punto è di accumulazione, è p2 e tende a p2(a, a − 3). Se i due valori sono diversi, f non è continua. Se sono uguali, sia v il valore comune: dato ε > 0, esistono δ1 e δ2 con |p1 −v| < ε e |p2 −v| < ε nei rispettivi intorni; con δ = min{δ1, δ2}, in ogni punto dell’intorno f vale p1 oppure p2, quindi |f − v| < ε, e f è continua. I due valori coincidono quando a2(a − 3) − 3 = (a − 3) + 2a − a2 ⇐⇒ a3 − 2a2 − 3a = 0 ⇐⇒ a(a − 3)(a + 1) = 0, cioè per a = 0, 3, −1: i punti (0, −3), (3, 0) e (−1, −4). Quindi E = R2 \ (a, a − 3) : a /∈ {−1, 0, 3} . Per a = 2 si ritrova il punto (2, −1) del punto (a). (c) In (4, 0) si ha 0 < 4 − 3 = 1: il punto sta nell’aperto sotto L, dove f = p2 in tutto un intorno. Poiché p2 è un polinomio, continuo, f è continua in (4, 0). ← Torna all’Esercizio 3, pagina 8 Soluzione dell’Esercizio 4 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti B e Y, esercizio 3 Siano p1(x, y) = 2y − 3x e p2(x, y) = y − 2x + 1. Si ha f = p1 nel primo e nel terzo quadrante e sugli assi (xy ≥ 0), f = p2 nel secondo e nel quarto, aperti (xy < 0). (a) Due restrizioni per (1, 0): • asse x, A = {(x, 0) : x̸ = 1}: xy = 0, quindi f (x, 0) = −3x → −3; • B = {(1, y) : y < 0}: xy = y < 0, quindi f (1, y) = y − 1 → −1. (1, 0) è di accumulazione per A e per B, e −3̸ = −1: il limite non esiste. (b) Nei quadranti aperti f coincide con un polinomio in un intorno di ogni punto, quindi è continua. Su un punto degli assi f = p1, e ogni suo intorno contiene punti con xy < 0, dove f = p2. Come nell’Esercizio 3, f è continua nel punto se e solo se p1 = p2 lì: Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 11

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• asse x, punto (a, 0): −3a = −2a + 1 ⇐⇒ a = −1; • asse y, punto (0, b): 2b = b + 1 ⇐⇒ b = 1. Nell’origine p1 = 0̸ = 1 = p2. Quindi f è continua fuori dagli assi e nei due punti (−1, 0) e (0, 1): E = (x, y) ∈ R2 : xy̸ = 0 ∪ (−1, 0), (0, 1) . (c) (0, 1) sta sull’asse y, dove f cambia espressione, ma è uno dei due punti in cui p1(0, 1) = p2(0, 1) = 2: per il punto (b) f è continua in (0, 1). ← Torna all’Esercizio 4, pagina 9 Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 12

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