Solo l'indispensabile · C1

Teoria essenziale del primo esonero

21 pagine. Aggiornato il 2 novembre 2026.

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Il minimo indispensabile per l’esonero dell’11 novembre 2026, con i numeri del libro di G. Liuzzi e M. Sciandrone. Il resto del programma, comprese le dimostrazioni dubbie, è nella Teoria del primo esonero completa. Dimostrazione da fare: va saputa. Solo enunciato: basta l’enunciato. 1 Lo spazio Rn Norme e distanze in Rn Definizione 1.12 – Norma Una norma su Rn è una funzione ∥·∥ : Rn → R+, con R+ = {t ∈ R : t ≥ 0}, tale che, per ogni x, y ∈ Rn e α ∈ R: (1) ∥x∥ ≥ 0; (2) ∥x∥ = 0 se e solo se x = 0; (3) ∥αx∥ = |α| ∥x∥; (4) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ (disuguaglianza triangolare). Proposizione 1.16 – Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz Per ogni x, y ∈ Rn, con xTy = Pn i=1 xiyi il prodotto scalare, |xTy| ≤ ∥x∥2 ∥y∥2, e vale l’uguaglianza se e solo se i due vettori sono paralleli, cioè uno è multiplo dell’altro. Solo enunciato Intorni, insiemi aperti, insiemi chiusi Definizione 1.28-1.29 – Insieme aperto e insieme chiuso Sia E ⊆ Rn. L’intorno sferico di ̄x ∈ Rn di raggio ρ > 0 è l’insieme dei punti che distano da ̄x meno di ρ, Bρ( ̄x) = {x ∈ Rn : ∥x − ̄x∥ < ρ}. Un punto ̄x ∈ E è interno a E se esiste un intorno sferico di ̄x tutto contenuto in E, cioè ∃ ρ > 0 : Bρ( ̄x) ⊆ E. Il complementare di E è co(E) = {x ∈ Rn : x /∈ E}. L’insieme E è • aperto se ogni suo punto è interno; • chiuso se il suo complementare co(E) è aperto.

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Punti di accumulazione e isolati Definizione 1.34 – Punto di accumulazione Sia E ⊆ Rn. Un punto ̄x ∈ Rn è di accumulazione per E se ogni suo intorno sferico contiene un punto di E diverso da ̄x, cioè Bρ( ̄x) ∩ E \ { ̄x}̸ = ∅ ∀ρ > 0. L’insieme dei punti di accumulazione di E si chiama derivato di E e si indica con D(E). Proposizione 1.36 – Caratterizzazione degli insiemi chiusi Sia E ⊆ Rn. Le tre affermazioni seguenti sono equivalenti: (1) E è chiuso; (2) ∂E ⊆ E; (3) D(E) ⊆ E. Dimostrazione da fare Dimostrazione Si dimostra il cerchio (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1), perché tre implicazioni bastano per l’equivalenza. (1) (1) ⇒ (2). Dimostrare ∂E ⊆ E equivale a dimostrare che un punto fuori da E non è di frontiera. Se ̄x /∈ E, allora ̄x ∈ co(E), che è aperto perché E è chiuso: esiste Bρ( ̄x) ⊆ co(E). Questo intorno non contiene punti di E, quindi ̄x /∈ ∂E. (2) (2) ⇒ (3). Per assurdo, sia ̄x ∈ D(E) con ̄x /∈ E. Non è interno, perché non sta in E, e non è isolato, perché è di accumulazione. È quindi di frontiera: ogni suo intorno sferico contiene un punto di E, perché ̄x è di accumulazione, e contiene anche ̄x ∈ co(E). Allora ̄x ∈ ∂E ⊆ E, contro ̄x /∈ E. (3) (3) ⇒ (1). Si dimostra che co(E) è aperto. Sia ̄x ∈ co(E). Poiché D(E) ⊆ E, ̄x non è di accumulazione: un intorno Bρ( ̄x) non contiene punti di E diversi da ̄x, e poiché ̄x /∈ E non ne contiene nessuno. Quindi Bρ( ̄x) ⊆ co(E). □ Definizione 1.37-1.38 – Insieme limitato e insieme compatto Un insieme E ⊆ Rn è limitato se la norma dei suoi elementi non supera una costante: ∃ M > 0 : ∥x∥ ≤ M ∀x ∈ E. In Rn un insieme si dice compatto se è chiuso e limitato. Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 2

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2 Funzioni in Rn Limiti di funzioni vettoriali Definizione 2.4, 2.6 – Intorni sferici e intorni Si pone R∗ = R ∪ {−∞, +∞} e Rn ∗ = Rn ∪ {∞}, aggiungendo a Rn un solo elemento, il punto all’infinito. Ogni elemento di R∗ e di Rn ∗ ha i suoi intorni sferici: di x0 ∈ Rn Bρ(x0) = {x ∈ Rn : ∥x − x0∥ < ρ}, ρ > 0; di + ∞ {x ∈ R : x > A} ∪ {+∞}, A ∈ R; di − ∞ {x ∈ R : x < A} ∪ {−∞}, A ∈ R; di ∞ {x ∈ Rn : ∥x∥ > A} ∪ {∞}, A > 0. Nello spazio esteso, un intorno di un elemento è un insieme aperto che contiene un suo intorno sferico. Definizione 2.5, 2.7, 2.9 – Limite Siano f : D ⊆ Rn → Rm, x0 ∈ Rn ∗ un punto di accumulazione di D e l ∈ Rm ∗ . Si scrive limx→x0 f (x) = l se per ogni intorno U(l) esiste un intorno N (x0) tale che x ∈ N (x0) ∩ D \ {x0} =⇒ f (x) ∈ U(l). Per n = 1 al posto di Rn ∗ si usa R∗, e per m = 1 al posto di Rm ∗ . Definizione – Limite di una funzione di più variabili Siano f : D ⊆ Rn → R e x0 ∈ Rn un punto di accumulazione di D. Si scrive limx→x0 f (x) = l se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che x ∈ D, 0 < ∥x − x0∥ < δ =⇒ |f (x) − l| < ε; si scrive limx→x0 f (x) = +∞ (rispettivamente −∞) se per ogni M ∈ R esiste δ > 0 tale che x ∈ D, 0 < ∥x − x0∥ < δ =⇒ f (x) > M (rispettivamente f (x) < M ). Successioni in Rn Definizione – Sottosuccessione Sia K = {k1, k2, k3, . . . } un insieme infinito di indici del dominio di {xk}, con k1 < k2 < k3 < · · · . La sottosuccessione di {xk} di indici K è la successione {yi} con yi = xki , i = 1, 2, 3, . . . ; si indica anche con {xk}K . Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 3

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Proposizione 2.14 – Successioni limitate e componenti Con la norma euclidea, una successione {xk} ⊂ Rn è limitata se e solo se ogni successione {(xk)i} delle componenti è limitata, per i = 1, . . . , n. Solo enunciato Limiti di successioni in Rn Definizione 2.17 – Limite di una successione Sia {xk} una successione in Rn. Si scrive limk→∞ xk = ̄x ∈ Rn se per ogni ε > 0 esiste un indice kε tale che k ≥ kε =⇒ ∥xk − ̄x∥ < ε. Teorema 2.24 – Bolzano-Weierstrass in R Ogni successione reale limitata ammette almeno una sottosuccessione convergente. Solo enunciato Teorema 2.25 – Bolzano-Weierstrass per successioni Ogni successione {xk} in Rn limitata ammette almeno una sottosuccessione convergente: esistono un insieme infinito di indici K e ̄x ∈ Rn tali che lim k∈K k→∞ xk = ̄x. Dimostrazione da fare Dimostrazione Le successioni delle componenti sono limitate (Proposizione 2.14). (1) Prima componente. {(xk)1} è reale e limitata, quindi per Bolzano-Weierstrass in R (Teorema 2.24) esiste K1 con (xk)1 → ̄x1 per k ∈ K1. (2) Seconda componente. Lungo K1, {(xk)2} è ancora limitata, quindi esiste K2 ⊆ K1 con (xk)2 → ̄x2 per k ∈ K2. Lungo K2 anche la prima componente tende a ̄x1, perché K2 dà una sottosuccessione di quella su K1. (3) Le altre. Si ripete fino alla componente n: Kn ⊆ Kn−1 ⊆ · · · ⊆ K1, e lungo Kn ogni componente i tende a ̄xi. (4) Conclusione. Sia ̄x = ( ̄x1, . . . , ̄xn)T. Per ogni y ∈ Rn si ha ∥y∥ ≤ |y1| + · · · + |yn|. Dato ε > 0, per ogni i vale |(xk)i − ̄xi| < ε/n per k ∈ Kn abbastanza grande. Con y = xk − ̄x ne segue ∥xk − ̄x∥ < ε. Quindi xk → ̄x per k ∈ Kn. □ Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 4

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Corollario 2.26 – Successioni in un compatto Siano E ⊆ Rn un insieme compatto, cioè chiuso e limitato, e {xk} una successione con xk ∈ E per ogni k. Allora esistono un insieme infinito di indici K e ̄x ∈ E tali che lim k∈K k→∞ xk = ̄x. Solo enunciato Teorema 2.27 – Bolzano-Weierstrass per insiemi (anche Teorema 1.5) Ogni insieme E ⊆ Rn limitato e con infiniti punti ha almeno un punto di accumulazione. Dimostrazione da fare Dimostrazione (1) E ha infiniti punti, quindi si sceglie una successione {xk} di punti di E distinti fra loro. (2) E è limitato, quindi anche {xk} è limitata. Per Bolzano-Weierstrass per successioni (Teorema 2.25) esistono K e ̄x con xk → ̄x per k ∈ K. (3) Dato ρ > 0, per la definizione di limite esiste kρ tale che xk ∈ Bρ( ̄x) per ogni k ∈ K con k ≥ kρ. Questi termini sono infiniti e distinti, quindi al più uno coincide con ̄x. Così l’intorno contiene un punto di E diverso da ̄x, e ̄x è di accumulazione per E. □ Continuità Definizione 2.30 – Funzione continua Siano f : D ⊆ Rn → R e x0 ∈ D. La funzione f è continua in x0 se • x0 è un punto isolato di D, oppure • x0 è un punto di accumulazione di D e lim x→x0 f (x) = f (x0). È continua su un insieme E ⊆ D se è continua in ogni punto di E, e si scrive f ∈ C0(E). Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 5

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Lemma 2.31 – Le funzioni coordinate sono continue Le funzioni “elementari” φi : x 7 → xi, con i = 1, 2, . . . , n, sono continue per ogni x ∈ Rn. Dimostrazione da fare Dimostrazione Ogni punto ̄x ∈ Rn è di accumulazione per Rn, quindi per ogni i e ogni ̄x si deve mostrare che lim x→ ̄x φi(x) = φi( ̄x) = ̄xi, cioè che per ogni ε > 0 esiste δε > 0 tale che |xi − ̄xi| < ε ∀x : 0 < ∥x − ̄x∥ < δε. Per ogni j = 1, . . . , n vale |xj − ̄xj | ≤ pPn l=1(xl − ̄xl)2 = ∥x − ̄x∥, quindi ∥x − ̄x∥ < δ implica |xj − ̄xj | < δ. Basta quindi scegliere δε = ε. □ 3 Differenziazione di funzioni di più variabili Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 6

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Derivate del primo ordine di una funzione di più variabili Definizione 3.3 – Derivata direzionale Siano f : Rn → R, x ∈ Rn e d ∈ Rn. f ha derivata direzionale in x lungo la direzione d se esiste finito il limite Df (x, d) = lim t→0+ f (x + t d) − f (x) t . Definizione 3.4 – Derivata parziale e gradiente Siano f : Rn → R e x ∈ Rn. f ha derivata parziale rispetto alla variabile xj nel punto x se esiste finito il limite ∂f ∂xj (x) = lim t→0 f (x1, . . . , xj + t, . . . , xn) − f (x1, . . . , xj , . . . , xn) t . Se in x esistono le derivate parziali rispetto a tutte le variabili, il gradiente di f in x è il vettore colonna ∇f (x) = ∂f ∂x1 (x), . . . , ∂f ∂xn (x)T. Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 7

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Proposizione 3.5 – Derivata parziale e derivate direzionali Siano f : Rn → R e x ∈ Rn, e sia ej il j-esimo asse coordinato, cioè il vettore con 1 nella componente j e 0 nelle altre. Esiste in x la derivata parziale ∂f ∂xj (x) se e solo se (i) esiste la derivata direzionale Df (x, ej ); (ii) esiste la derivata direzionale Df (x, −ej ); (iii) risulta Df (x, ej ) = −Df (x, −ej ). In tal caso ∂f ∂xj (x) = Df (x, ej ). Dimostrazione da fare Dimostrazione Il punto x + t ej differisce da x solo nella coordinata j, che diventa xj + t, quindi ∂f ∂xj (x) = lim t→0 f (x + t ej ) − f (x) t . La derivata parziale esiste se e solo se i limiti destro e sinistro del rapporto f (x+t ej )−f (x) t esistono finiti e sono uguali. 1. Limite destro. Per definizione è Df (x, ej ). 2. Limite sinistro. Con t = −h, t → 0− equivale a h → 0+ e lim t→0− f (x + t ej ) − f (x) t = lim h→0+ f (x + h(−ej )) − f (x) −h = −Df (x, −ej ), e il primo limite esiste finito se e solo se esiste Df (x, −ej ). 3. (⇒) Se la derivata parziale esiste, i due limiti esistono e sono uguali: valgono (i)-(iii) e ∂f ∂xj (x) = Df (x, ej ). 4. (⇐) Se valgono (i)-(iii), per i passi 1 e 2 i limiti destro e sinistro esistono e valgono Df (x, ej ) = −Df (x, −ej ): la derivata parziale esiste. □ Definizione 3.6 – Funzione differenziabile f : Rn → R è differenziabile in x ∈ Rn se esiste un vettore a ∈ Rn tale che lim d→0 f (x + d) − f (x) − aTd ∥d∥ = 0. Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 8

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Corollario 3.11 – Funzioni di classe C1 Sia f : D → R, con D sottoinsieme aperto di Rn. Se f è di classe C1 su D, cioè f ∈ C1(D), con il gradiente che esiste ed è continuo su D, allora f è differenziabile in ogni punto di D. Solo enunciato Derivate del secondo ordine di una funzione reale Proposizione 3.25 – Funzioni due volte differenziabili e matrice hessiana Siano f : Rn → R e x ∈ Rn. Si ricorda che f è due volte differenziabile in x se f è differenziabile in x ed esiste una matrice H ∈ Rn×n tale che f (x + d) = f (x) + ∇f (x)Td + 1 2 dTH d + β(x, d) con lim d→0 β(x, d) ∥d∥2 = 0. (i) Condizione necessaria. Se f è due volte differenziabile in x, allora ∇f esiste ed è continuo in x, esiste la matrice hessiana ∇2f (x), è simmetrica e H = ∇2f (x). (ii) Condizione sufficiente. Se ∇2f esiste nei punti vicini a x ed è continua in x, allora f è due volte differenziabile in x. Solo enunciato Teorema della media e formula di Taylor Teorema 3.1 – Teorema della media Siano D ⊆ Rn aperto e convesso e f ∈ C1(D). Per ogni x, y ∈ D esiste θ ∈ (0, 1) tale che, con z = x + θ (y − x), f (y) = f (x) + ∇f (z)T(y − x). Solo enunciato Teorema 3.3 – Teorema di Taylor Siano D ⊆ Rn aperto e convesso e f ∈ C2(D). Per ogni x, y ∈ D esiste θ ∈ (0, 1) tale che, con z = x + θ (y − x), f (y) = f (x) + ∇f (x)T(y − x) + 1 2 (y − x)T∇2f (z) (y − x). Solo enunciato Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 9

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4 Convessità di insiemi e funzioni Insiemi convessi Definizione 4.7 – Insieme convesso C ⊆ Rn è convesso se contiene il segmento fra due suoi punti qualsiasi: (1 − λ) x + λ y ∈ C ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1]. Proposizione 4.12 – Convessità di una palla Siano ∥·∥ una norma qualsiasi di Rn, ̄x ∈ Rn e ρ > 0. La palla aperta e la palla chiusa Bρ( ̄x) = {x ∈ Rn : ∥x − ̄x∥ < ρ}, Bρ( ̄x) = {x ∈ Rn : ∥x − ̄x∥ ≤ ρ} sono insiemi convessi. Solo enunciato Funzioni convesse e funzioni concave Definizione 4.13 – Funzione convessa e strettamente convessa Siano S ⊆ Rn convesso e f : S → R. f è convessa su S se per ogni x, y ∈ S e ogni λ ∈ [0, 1] f (1 − λ)x + λy ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y); è strettamente convessa se la disuguaglianza è stretta per ogni x̸ = y e ogni λ ∈ (0, 1). f è (strettamente) concava se −f è (strettamente) convessa. Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 10

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Convessità e concavità di funzioni differenziabili Proposizione 4.17 – Condizione del primo ordine di convessità Siano S ⊆ Rn aperto e convesso e f ∈ C1(S). Allora f è convessa su S se e solo se f (y) ≥ f (x) + ∇f (x)T(y − x) ∀x, y ∈ S. Dimostrazione da fare Dimostrazione Condizione necessaria. Sia f convessa e siano x, y ∈ S. 1. Per λ ∈ (0, 1], scrivendo (1−λ) x+λ y = x+λ(y−x), la definizione dà f (x+λ(y−x)) ≤ f (x) + λf (y) − f (x). 2. Si porta f (x) a sinistra e si divide per λ > 0: f (x + λ(y − x)) − f (x) λ ≤ f (y) − f (x). 3. Per λ → 0+ il primo membro tende alla derivata direzionale lungo d = y − x, che per f differenziabile (Corollario 3.11) vale ∇f (x)T(y − x). Il secondo membro non dipende da λ, quindi ∇f (x)T(y − x) ≤ f (y) − f (x). Condizione sufficiente. Siano x, y ∈ S, λ ∈ [0, 1] e z = (1 − λ) x + λ y, che sta in S perché S è convesso. 1. L’ipotesi applicata alle coppie (z, x) e (z, y) dà f (x) ≥ f (z) + ∇f (z)T(x − z), f (y) ≥ f (z) + ∇f (z)T(y − z). 2. Si moltiplica la prima per 1 − λ ≥ 0, la seconda per λ ≥ 0 e si somma: (1 − λ)f (x) + λf (y) ≥ f (z) + ∇f (z)T(1 − λ) x + λ y − z = f (z), perché (1 − λ) x + λ y − z = 0. È la definizione di convessità. □ Proposizione 4.18 – Condizione del primo ordine di stretta convessità Siano S ⊆ Rn aperto e convesso e f ∈ C1(S). Allora f è strettamente convessa su S se e solo se f (y) > f (x) + ∇f (x)T(y − x) ∀x, y ∈ S, x̸ = y. Solo enunciato Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 11

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Proposizione 4.19 – Condizione del secondo ordine di convessità Siano S ⊆ Rn aperto e convesso e f ∈ C2(S). Allora f è convessa su S se e solo se ∇2f (x) è semidefinita positiva per ogni x ∈ S. Solo enunciato Proposizione 4.20 – Convessità di una funzione quadratica Sia f (x) = 1 2 xTQ x + cTx + b, con Q matrice simmetrica n × n, c ∈ Rn e b ∈ R. Allora f è convessa su Rn se e solo se Q è semidefinita positiva. Solo enunciato Proposizione 4.21 – Condizione sufficiente di convessità stretta Siano S ⊆ Rn aperto e convesso e f ∈ C2(S). Se ∇2f (x) è definita positiva per ogni x ∈ S, allora f è strettamente convessa su S. Dimostrazione da fare Dimostrazione Siano x, y ∈ S con x̸ = y. 1. Per il teorema di Taylor (Teorema 3.3), con z = x + θ (y − x) e θ ∈ (0, 1), f (y) = f (x) + ∇f (x)T(y − x) + 1 2 (y − x)T∇2f (z) (y − x). 2. z ∈ S perché S è convesso, quindi ∇2f (z) è definita positiva e, poiché y − x̸ = 0, l’ultimo termine è positivo. 3. Allora f (y) > f (x) + ∇f (x)T(y − x), e f è strettamente convessa per la Proposizione 4.18. □ Proposizione 4.22 – Convessità stretta di una funzione quadratica Sia f (x) = 1 2 xTQ x + cTx + b, con Q matrice simmetrica n × n, c ∈ Rn e b ∈ R. Allora f è strettamente convessa su Rn se e solo se Q è definita positiva. Solo enunciato Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 12

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Insiemi convessi definiti mediante equazioni e disequazioni Proposizione 4.29 – Insieme definito da disequazioni convesse ed equazioni affini Siano g1, . . . , gm : Rn → R funzioni convesse, e aj ∈ Rn, bj ∈ R per j = 1, . . . , p. Allora l’insieme S = {x ∈ Rn : gi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m; aT j x = bj , j = 1, . . . , p} è convesso. Solo enunciato Appendice: elementi di algebra lineare Proposizione 4.34 – Criterio di Sylvester Sia Q una matrice reale e simmetrica n × n, e siano ∆i, per i = 1, . . . , n, i minori principali di ordine i, cioè i determinanti delle sottomatrici formate dalle prime i righe e dalle prime i colonne di Q. Allora: 1. Q è definita positiva se e solo se ∆i > 0, i = 1, . . . , n; 2. Q è definita negativa se e solo se (−1)i∆i > 0, i = 1, . . . , n. Solo enunciato 5 Massimi e minimi di funzioni di più variabili Definizione 5.1-5.2 – Punto di minimo globale e locale Siano S ⊆ Rn e f : S → R. Un punto x∗ ∈ S è un punto di minimo globale di f su S se f (x∗) ≤ f (x) ∀x ∈ S. Il valore f (x∗) è il minimo globale. Il punto è di minimo globale stretto se f (x∗) < f (x) per ogni x ∈ S con x̸ = x∗. Un punto x∗ ∈ S è un punto di minimo locale di f su S se esiste ρ > 0 tale che f (x∗) ≤ f (x) ∀x ∈ Bρ(x∗) ∩ S, con Bρ(x∗) = {y ∈ Rn : ∥y − x∗∥ < ρ}. È di minimo locale stretto se f (x∗) < f (x) per ogni x ∈ Bρ(x∗) ∩ S con x̸ = x∗. Le definizioni di massimo, globale e locale, stretto e non, si ottengono invertendo le disuguaglianze. Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 13

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Coincidenza di minimi locali e globali nel caso convesso Proposizione 5.5 – Punti di minimo nel caso convesso Siano S ⊆ Rn convesso e f convessa su S. • Ogni punto di minimo locale di f su S è di minimo globale. • L’insieme dei punti di minimo globale di f su S è convesso. Solo enunciato Proposizione 5.6 – Unicità del punto di minimo Siano S ⊆ Rn convesso e f strettamente convessa su S. Se x∗ è un punto di minimo locale di f su S, allora x∗ è l’unico punto di minimo locale e l’unico punto di minimo globale di f su S. Solo enunciato Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 14

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Condizioni di esistenza della soluzione Proposizione 5.7 – Teorema di Weierstrass Siano S ⊆ Rn non vuoto e compatto e f : Rn → R continua su S. Allora esistono xmin, xmax ∈ S tali che f (xmin) ≤ f (x) ≤ f (xmax) ∀x ∈ S. Dimostrazione da fare Dimostrazione Basta il minimo, perché il massimo di f è il minimo della funzione continua −f . Sia L = infx∈S f (x), con L = −∞ se f non è limitata inferiormente su S. 1. Per la definizione di estremo inferiore esiste una successione {xk} con xk ∈ S e f (xk) → L. 2. S è compatto, quindi, per il Corollario 2.26, esistono una sottosuccessione {xk}k∈K e un punto x∗ ∈ S con limk∈K, k→∞ xk = x∗. Il limite sta in S perché S è chiuso, ma la convergenza vale solo lungo la sottosuccessione. 3. f è continua in x∗, quindi f (xk) → f (x∗) per k ∈ K, k → ∞. 4. Per k ∈ K vale anche f (xk) → L, perché è una sottosuccessione di una successione che tende a L. Per l’unicità del limite f (x∗) = L. 5. Allora L è finito ed è un minorante dei valori di f su S: f (x∗) = L ≤ f (x) per ogni x ∈ S. Quindi x∗ è un punto di minimo globale. □ Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 15

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Condizioni di ottimalità nel caso di problemi non vincolati: direzioni di discesa Definizione 5.8 – Direzione di discesa Siano f : Rn → R e x ∈ Rn. Un vettore d ∈ Rn, d̸ = 0, è una direzione di discesa per f in x se esiste ̄t > 0 tale che f (x + t d) < f (x) ∀t ∈ (0, ̄t ). Proposizione 5.9 – Condizione di discesa del primo ordine Siano f : Rn → R, x ∈ Rn e d ∈ Rn un vettore non nullo. (a) Se f è differenziabile in x e ∇f (x)Td < 0, allora d è una direzione di discesa per f in x. (b) Se f ∈ C1(Rn) è convessa su una palla aperta Bρ(x) e d è una direzione di discesa per f in x, allora ∇f (x)Td < 0. Dimostrazione da fare Dimostrazione (a) 1. Per la derivata direzionale di una funzione differenziabile limt→0+ f (x + t d) − f (x) t = ∇f (x)Td < 0. 2. Per la permanenza del segno esiste ̄t > 0 tale che f (x + t d) − f (x) t < 0 per ogni t ∈ (0, ̄t ). Poiché t > 0, il numeratore è negativo, cioè f (x + t d) < f (x), e d è una direzione di discesa. (b) 1. Per t > 0 abbastanza piccolo f (x + t d) < f (x) e, riducendo t, anche t ∥d∥ < ρ, cioè x + t d ∈ Bρ(x). 2. La palla Bρ(x) è aperta e convessa (Proposizione 4.12) e f è su di essa C1 e convessa, quindi il criterio del primo ordine (Proposizione 4.17) dà f (x+t d) ≥ f (x)+t ∇f (x)Td. 3. Insieme alla discesa, f (x) + t ∇f (x)Td ≤ f (x + t d) < f (x), quindi t ∇f (x)Td < 0. Poiché t > 0, ∇f (x)Td < 0. □ Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 16

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Proposizione – L’antigradiente è una direzione di discesa Sia f : Rn → R differenziabile in x ∈ Rn con ∇f (x)̸ = 0. Allora l’antigradiente d = −∇f (x) è una direzione di discesa per f in x. Dimostrazione da fare Dimostrazione Si ha d̸ = 0 e ∇f (x)Td = −∇f (x)T∇f (x) = −∥∇f (x)∥2 < 0. Quindi d è una direzione di discesa per la Proposizione 5.9(a). □ Proposizione 5.11 – Condizione di discesa del secondo ordine Siano f ∈ C2(Rn), x ∈ Rn e d ∈ Rn tali che ∇f (x)Td = 0 e dT∇2f (x) d < 0. Allora d è una direzione di discesa per f in x. Dimostrazione da fare Dimostrazione Si ha d̸ = 0, perché dT∇2f (x) d̸ = 0. 1. f ∈ C2, quindi è due volte differenziabile (Proposizione 3.25(ii)). Per t > 0 f (x + t d) = f (x) + t ∇f (x)Td + 1 2 t2 dT∇2f (x) d + β(x, t d), con β(x, t d)/t2 → 0 per t → 0+, perché ∥t d∥2 = t2∥d∥2. 2. Il termine del primo ordine è nullo. Dividendo per t2 > 0 f (x + t d) − f (x) t2 = 1 2 dT∇2f (x) d + β(x, t d) t2 . 3. Il primo addendo è negativo e non dipende da t, mentre il secondo tende a 0: per t abbastanza piccolo |β(x, t d)|/t2 < 1 2 |dT∇2f (x) d|, quindi il secondo membro è negativo. 4. Allora f (x + t d) < f (x) per ogni t > 0 abbastanza piccolo, quindi d è una direzione di discesa. □ Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 17

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Condizioni di minimo locale Proposizione 5.12 – Condizione necessaria di minimo locale Sia f : Rn → R. Se x∗ ∈ Rn è un punto di minimo locale di f su Rn, non esiste una direzione di discesa per f in x∗. Dimostrazione da fare Dimostrazione Per assurdo, sia d di discesa in x∗, con il suo ̄t, e sia Bρ(x∗) la palla della definizione di minimo locale. 1. Si sceglie ˆt con 0 < ˆt < ̄t e ˆt ∥d∥ < ρ. 2. Allora x∗ + ˆt d ∈ Bρ(x∗) e, per la discesa, f (x∗ + ˆt d) < f (x∗). 3. Questo contraddice f (x∗) ≤ f (x) per ogni x ∈ Bρ(x∗). □ Proposizione 5.13 – Condizione necessaria del primo ordine Siano f ∈ C1(Rn) e x∗ un punto di minimo locale di f su Rn. Allora ∇f (x∗) = 0, cioè x∗ è un punto stazionario di f . Dimostrazione da fare Dimostrazione Per assurdo, sia ∇f (x∗)̸ = 0. 1. L’antigradiente d = −∇f (x∗) dà ∇f (x∗)Td = −∥∇f (x∗)∥2 < 0. 2. Quindi d è una direzione di discesa in x∗ per la Proposizione 5.9. 3. Questo contraddice la Proposizione 5.12. □ Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 18

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Proposizione 5.14 – Condizione necessaria del secondo ordine Siano f ∈ C2(Rn) e x∗ un punto di minimo locale di f su Rn. Allora (a) ∇f (x∗) = 0; (b) ∇2f (x∗) è semidefinita positiva, cioè yT∇2f (x∗) y ≥ 0 per ogni y ∈ Rn. Dimostrazione da fare Dimostrazione La (a) è la condizione del primo ordine (Proposizione 5.13). Per la (b), per assurdo ∇2f (x∗) non sia semidefinita positiva. 1. Per la definizione esiste d con dT∇2f (x∗) d < 0. 2. Per la (a), ∇f (x∗)Td = 0. 3. Per la discesa del secondo ordine (Proposizione 5.11) d è di discesa in x∗, contro la Proposizione 5.12. □ Proposizione 5.15 – Condizione sufficiente: convessità locale Siano f ∈ C2(Rn) e ̄x ∈ Rn con ∇f ( ̄x) = 0. Se ∇2f (x) è semidefinita positiva per ogni x di una palla Bρ( ̄x), allora ̄x è un punto di minimo locale di f su Rn. Solo enunciato Proposizione 5.16 – Condizione sufficiente del secondo ordine Siano f ∈ C2(Rn) e ̄x ∈ Rn con ∇f ( ̄x) = 0. Se ∇2f ( ̄x) è definita positiva, allora ̄x è un punto di minimo locale di f su Rn. Solo enunciato Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 19

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Condizioni di minimo globale nel caso convesso Proposizione 5.17 – Condizione di minimo globale: caso convesso Siano f ∈ C1(Rn) convessa su Rn e ̄x ∈ Rn. Allora ̄x è un punto di minimo globale di f se e solo se ∇f ( ̄x) = 0. Dimostrazione da fare Dimostrazione 1. Solo se. Un punto di minimo globale è di minimo locale, quindi ∇f ( ̄x) = 0 per la Proposizione 5.13. 2. Se. Rn è aperto e convesso e f è C1 e convessa, quindi il criterio del primo ordine (Proposizione 4.17) dà, per ogni y ∈ Rn, f (y) ≥ f ( ̄x) + ∇f ( ̄x)T(y − ̄x) = f ( ̄x). Quindi ̄x è di minimo globale. □ Proposizione 5.18 – Minimizzazione di una funzione quadratica Sia f (x) = 1 2 xTQ x + cTx, con Q simmetrica e c ∈ Rn. Allora: (a) f ha un punto di minimo globale se e solo se Q è semidefinita positiva ed esiste x∗ tale che Q x∗ + c = 0; (b) f ha un unico punto di minimo globale se e solo se Q è definita positiva. Solo enunciato Riepilogo Dimostrazioni da fare Proposizione 1.36 – Caratterizzazione degli insiemi chiusi · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 Teorema 2.25 – Bolzano-Weierstrass per successioni · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4 Teorema 2.27 – Bolzano-Weierstrass per insiemi (anche Teorema 1.5) · · · · · · · · · · · · · · · · · 5 Lemma 2.31 – Le funzioni coordinate sono continue · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6 Proposizione 3.5 – Derivata parziale e derivate direzionali · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8 Proposizione 4.17 – Condizione del primo ordine di convessità · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 Proposizione 4.21 – Condizione sufficiente di convessità stretta · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 Proposizione 5.7 – Teorema di Weierstrass · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15 Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 20

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Proposizione 5.9 – Condizione di discesa del primo ordine · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16 Proposizione – L’antigradiente è una direzione di discesa · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 17 Proposizione 5.11 – Condizione di discesa del secondo ordine · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 17 Proposizione 5.12 – Condizione necessaria di minimo locale · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 18 Proposizione 5.13 – Condizione necessaria del primo ordine · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 18 Proposizione 5.14 – Condizione necessaria del secondo ordine · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 19 Proposizione 5.17 – Condizione di minimo globale: caso convesso · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 20 Solo enunciato Proposizione 1.16 – Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 Proposizione 2.14 – Successioni limitate e componenti · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4 Teorema 2.24 – Bolzano-Weierstrass in R · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4 Corollario 2.26 – Successioni in un compatto · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5 Corollario 3.11 – Funzioni di classe C1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9 Proposizione 3.25 – Funzioni due volte differenziabili e matrice hessiana · · · · · · · · · · · · · · · 9 Teorema 3.1 – Teorema della media · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9 Teorema 3.3 – Teorema di Taylor · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9 Proposizione 4.12 – Convessità di una palla · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 Proposizione 4.18 – Condizione del primo ordine di stretta convessità · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 Proposizione 4.19 – Condizione del secondo ordine di convessità · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 Proposizione 4.20 – Convessità di una funzione quadratica · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 Proposizione 4.22 – Convessità stretta di una funzione quadratica · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 Proposizione 4.29 – Insieme definito da disequazioni convesse ed equazioni affini · · · · · · · · · · 13 Proposizione 4.34 – Criterio di Sylvester · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 Proposizione 5.5 – Punti di minimo nel caso convesso · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 Proposizione 5.6 – Unicità del punto di minimo · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 Proposizione 5.15 – Condizione sufficiente: convessità locale · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 19 Proposizione 5.16 – Condizione sufficiente del secondo ordine · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 19 Proposizione 5.18 – Minimizzazione di una funzione quadratica · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 20 Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 21

Entrambi

Teoria essenziale del primo esoneroC1

Apertura del capitolo