Enunciati e dimostrazioni · C1

Teoria del primo esonero

33 pagine. Aggiornato il 30 ottobre 2026.

Indice

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Il primo esonero è l’11 novembre 2026 e il suo programma copre i capitoli 1–5 del libro di G. Liuzzi e M. Sciandrone, Complementi di Matematica. Qui trovi tutti i teoremi, le proposizioni, i lemmi, i corollari e le proprietà che ne fanno parte, nell’ordine del libro e con il numero che hanno lì. Ogni enunciato si chiude con un’etichetta. Dimostrazione da fare vuol dire che la dimostrazione va saputa e segue subito, Solo enunciato che basta l’enunciato. La dimostrazione va saputa se è stata spiegata nel corso e il programma non la salta, oppure se il programma la segna esplicitamente «con dimostrazione». Definizioni, esempi ed esercizi non ci sono, perché stanno nel libro e negli appunti. In fondo, il riepilogo elenca le dimostrazioni da fare con la loro pagina. Programma Di ogni capitolo il programma toglie solo le parti segnate qui sotto come «fuori». Tutto il resto è in programma. 1. Lo spazio Rn: numeri reali, Rn e le sue operazioni, prodotto scalare, norme e distanze, intorni, insiemi aperti e chiusi, punti di accumulazione e isolati. Fuori: prodotto di Hadamard, prodotto diadico e cenni sullo spazio topologico (paragrafi 1.5.1, 1.5.3 e 1.8), Lemma 1.15, Teorema 1.4, Proposizione 1.27 e Proprietà 1.33. Fra le dimostrazioni da fare il programma mette la Proposizione 1.36 e la 1.16 (Cauchy-Schwarz), ma la 1.16 compare anche fra quelle da saltare, quindi qui è solo enunciata. 2. Funzioni in Rn: funzioni scalari e vettoriali, limiti, successioni e sottosuccessioni, teoremi di Bolzano-Weierstrass, continuità e calcolo dei limiti, più un’appendice su funzioni lineari, forme e funzioni quadratiche. Fuori: proprietà dei limiti (paragrafo 2.5), Esempi 2.18 e 2.23, Proposizioni 2.21 e 2.22, Teorema 2.23 e tutte le dimostrazioni dell’appendice. 3. Differenziazione di funzioni di più variabili: derivate direzionali e parziali, gradiente, differenziabilità, matrice jacobiana, derivate seconde e matrice hessiana, teorema della media e formula di Taylor, formule notevoli. Fuori: la dimostrazione della Proposizione 3.1, le regole di differenziazione (paragrafo 3.3), la derivazione di funzioni composte (3.5), il teorema delle funzioni implicite (3.9), il paragrafo 3.10 e, nel paragrafo 3.7, tutto dal Teorema 3.4 in poi. 4. Convessità di insiemi e funzioni: sottospazi, iperpiani, semispazi e poliedri, insiemi convessi, funzioni convesse e concave, convessità di funzioni differenziabili, insiemi convessi definiti da equazioni e disequazioni, matrici definite e semidefinite. Fuori: le dimostrazioni delle Proposizioni 4.2 e 4.19. 5. Massimi e minimi di funzioni di più variabili, fino al paragrafo 5.6 escluso: minimi locali e globali, caso convesso, esistenza, direzioni di discesa, condizioni di ottimalità senza vincoli, massimi e punti di sella. Fuori: le dimostrazioni delle Proposizioni 5.5, 5.15 e 5.16.

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1 Lo spazio Rn Estremo superiore ed estremo inferiore Teorema 1.1 – Esistenza degli estremi superiore e inferiore Sia A un sottoinsieme non vuoto di R. Allora esiste l’estremo superiore (inferiore) di A se e solo se A è limitato superiormente (inferiormente). Solo enunciato Teorema 1.2 – Caratterizzazione dell’estremo superiore Il valore Ω ∈ R è l’estremo superiore di un insieme A ⊆ R se e solo se (i) Ω è un maggiorante di A; (ii) comunque preso ε > 0, Ω − ε non è più un maggiorante, cioè esiste x ∈ A tale che Ω − ε < x. Solo enunciato Teorema 1.3 – Caratterizzazione dell’estremo inferiore Il valore λ ∈ R è l’estremo inferiore di un insieme A ⊆ R se e solo se (i) λ è un minorante di A; (ii) comunque preso ε > 0, λ + ε non è più un minorante, cioè esiste x ∈ A tale che x < λ + ε. Solo enunciato Norme e distanze in Rn Proposizione 1.16 – Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz Siano x, y ∈ Rn e sia ⟨x, y⟩ = xTy = Pn i=1 xiyi il prodotto scalare. Allora |xTy| ≤ ∥x∥2 ∥y∥2. Inoltre vale l’uguaglianza se e solo se uno dei due vettori è multiplo dell’altro. Solo enunciato Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 2

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Intorni, insiemi aperti, insiemi chiusi Proprietà 1.30 – Unione e intersezione di insiemi aperti 1. L’unione di un numero finito o infinito di insiemi aperti è ancora un insieme aperto. 2. L’intersezione di un numero finito di insiemi aperti è ancora un insieme aperto. Solo enunciato Proprietà 1.31 – Intersezione e unione di insiemi chiusi 1. L’intersezione di un numero finito o infinito di insiemi chiusi è ancora un insieme chiuso. 2. L’unione di un numero finito di insiemi chiusi è ancora un insieme chiuso. Solo enunciato Punti di accumulazione e isolati Proposizione 1.36 – Caratterizzazione degli insiemi chiusi Dato un insieme E ⊆ Rn, le seguenti affermazioni sono equivalenti: (1) E è chiuso; (2) ∂E ⊆ E; (3) E contiene i suoi punti di accumulazione, cioè D(E) ⊆ E. Dimostrazione da fare Dimostrazione Si dimostra il cerchio (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1). (1) (1) ⇒ (2). Si fa vedere che un punto fuori da E non è di frontiera. Se ̄x /∈ E, allora ̄x ∈ co(E), che è aperto perché E è chiuso: esiste Bρ( ̄x) ⊆ co(E). Questo intorno sferico non contiene punti di E, quindi ̄x /∈ ∂E. (2) (2) ⇒ (3). Per assurdo, sia ̄x un punto di accumulazione di E con ̄x /∈ E. Ogni intorno sferico di ̄x contiene un punto di E, e contiene anche ̄x, che non sta in E, quindi ̄x ∈ ∂E. Allora ̄x ∈ ∂E ⊆ E, contro ̄x /∈ E. (3) (3) ⇒ (1). Si fa vedere che co(E) è aperto. Sia ̄x ∈ co(E). Poiché D(E) ⊆ E, ̄x non è di accumulazione per E: esiste Bρ( ̄x) senza punti di E diversi da ̄x, e poiché ̄x /∈ E non ne contiene nessuno. Quindi Bρ( ̄x) ⊆ co(E), e ̄x è interno a co(E). □ Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 3

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2 Funzioni in Rn Limiti di funzioni vettoriali Proposizione 2.10 – Limite di una funzione vettoriale e limiti delle componenti Siano f : D ⊆ Rn → Rm, x0 ∈ Rn ∗ = Rn ∪ {∞} un punto di accumulazione per D, l ∈ Rm, e f (x) =    f1(x) ... fm(x)    , l =    l1 ... lm    . Allora lim x→x0 f (x) = l ⇐⇒ lim x→x0 fi(x) = li per ogni i = 1, . . . , m. Solo enunciato Successioni in Rn Proposizione 2.14 – Successioni limitate e componenti Una successione {xk} ⊂ Rn è limitata se e solo se sono limitate le successioni {(xk)i} definite dalle singole componenti, per i = 1, . . . , n. Solo enunciato Limiti di successioni in Rn Teorema 2.24 – Successioni limitate in R Una successione {xk} in R limitata ammette almeno una sottosuccessione convergente, cioè ammette almeno un punto limite. Solo enunciato Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 4

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Teorema 2.25 – Bolzano-Weierstrass per successioni Sia {xk} una successione a valori in Rn limitata. Allora essa ammette almeno una sottosuccessione convergente: esistono un insieme infinito di indici K ⊆ N e ̄x ∈ Rn tali che lim k∈K k→∞ xk = ̄x. Dimostrazione da fare Dimostrazione Per la Proposizione 2.14 le successioni delle componenti {(xk)1}, . . . , {(xk)n} sono limitate. (1) Prima componente. {(xk)1} è una successione reale limitata: per il Teorema 2.24 esistono un insieme infinito K1 ⊆ N e ̄x1 ∈ R con (xk)1 → ̄x1 per k ∈ K1. (2) Seconda componente. Lungo K1 la successione {(xk)2} è ancora limitata: per il Teorema 2.24 esistono un insieme infinito K2 ⊆ K1 e ̄x2 con (xk)2 → ̄x2 per k ∈ K2. Lungo K2 anche la prima componente tende a ̄x1, perché è una sottosuccessione di quella su K1. (3) Le altre componenti. Si ripete fino alla componente n e si ottiene Kn ⊆ Kn−1 ⊆ · · · ⊆ K1 tale che, per k ∈ Kn, ogni componente (xk)i tende a ̄xi. (4) Conclusione. Sia ̄x = ( ̄x1, . . . , ̄xn)T. Per ogni y ∈ Rn si ha ∥y∥ ≤ |y1| + · · · + |yn|. Dato ε > 0, per ogni i vale |(xk)i − ̄xi| < ε/n per k ∈ Kn abbastanza grande. Con y = xk − ̄x ne segue ∥xk − ̄x∥ < ε. Quindi xk → ̄x per k ∈ Kn. □ Corollario 2.26 – Successioni in un compatto Sia C ⊆ Rn un insieme compatto, cioè chiuso e limitato, e sia {xk} una successione tale che xk ∈ C per ogni k ∈ N. Allora {xk} ammette almeno una sottosuccessione convergente a un punto ̄x ∈ C. Solo enunciato Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 5

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Teorema 2.27 – Bolzano-Weierstrass per insiemi (anche Teorema 1.5) Sia E ⊆ Rn un insieme limitato con infiniti punti. Allora esiste almeno un punto di accumulazione di E. Dimostrazione da fare Dimostrazione (1) E ha infiniti punti, quindi esiste una successione {xk} di punti di E distinti fra loro. (2) E è limitato, quindi anche {xk} lo è. Per il Teorema 2.25 esistono K e ̄x ∈ Rn con xk → ̄x per k ∈ K. (3) Dato ρ > 0, per la definizione di limite esiste kρ tale che xk ∈ Bρ( ̄x) per ogni k ∈ K con k ≥ kρ. Questi termini sono infiniti e distinti, quindi al più uno coincide con ̄x. Allora l’intorno sferico contiene un punto di E diverso da ̄x, e ̄x è di accumulazione per E. □ Teorema 2.28 – Teorema ponte Siano D ⊆ Rn, f : D → R e x0 un punto di accumulazione per D. Allora lim x→x0 f (x) = l ∈ R∗ = R ∪ {−∞, +∞} se e solo se, per ogni successione {xk} a valori in D \ {x0} e convergente a x0, risulta lim k→∞ f (xk) = l. Solo enunciato Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 6

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Continuità Lemma 2.31 – Le funzioni coordinate sono continue Le funzioni “elementari” φi : x 7 → xi, con i = 1, 2, . . . , n, sono continue per ogni x ∈ Rn. Dimostrazione da fare Dimostrazione Ogni punto ̄x ∈ Rn è di accumulazione per Rn, quindi per ogni i e ogni ̄x si deve mostrare che lim x→ ̄x φi(x) = φi( ̄x) = ̄xi, cioè che per ogni ε > 0 esiste δε > 0 tale che |xi − ̄xi| < ε ∀x : 0 < ∥x − ̄x∥ < δε. Per ogni j = 1, . . . , n vale |xj − ̄xj | ≤ pPn l=1(xl − ̄xl)2 = ∥x − ̄x∥, quindi ∥x − ̄x∥ < δ implica |xj − ̄xj | < δ. Basta quindi scegliere δε = ε. □ Lemma 2.33 – Lipschitz implica continua Sia f : D ⊆ Rn → R Lipschitz continua in D con costante L, cioè |f (x) − f (y)| ≤ L∥x − y∥ ∀x, y ∈ D. Allora f è continua in D, cioè è continua in ogni x0 ∈ D. Dimostrazione da fare Dimostrazione Sia x0 ∈ D. Se x0 è un punto isolato di D, f è continua in x0 per definizione. Altrimenti x0 è di accumulazione per D e si deve mostrare che limx→x0 f (x) = f (x0). Si può supporre L > 0: una funzione Lipschitz continua con costante L lo è anche con ogni costante maggiore. Per ogni coppia x, x0 ∈ D |f (x) − f (x0)| ≤ L∥x − x0∥. Quindi, dato ε > 0, se x ∈ D e ∥x − x0∥ < ε/L risulta |f (x) − f (x0)| ≤ L∥x − x0∥ < L · ε L = ε. Questa è la definizione di limx→x0 f (x) = f (x0). □ Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 7

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Teorema 2.35 – Heine-Cantor Sia D ⊆ Rn un insieme compatto, cioè chiuso e limitato, e sia f : D → R una funzione continua su D. Allora f è anche uniformemente continua su D. Solo enunciato Calcolo dei limiti di funzioni Teorema 2.37 – Limite mediante restrizioni Siano f : D ⊆ Rn → R e x0 ∈ Rn ∗ = Rn ∪ {∞} un punto di accumulazione per D. Allora lim x→x0 f (x) = l ∈ R∗ se e solo se, per ogni sottoinsieme A ⊆ D che ha x0 come punto di accumulazione, risulta lim x→x0 f |A(x) = l ∈ R∗, dove f |A : A → R è la restrizione di f ad A, cioè f |A(x) = f (x) per ogni x ∈ A. Solo enunciato Appendice: funzioni lineari e funzioni quadratiche Proposizione 2.39 – Funzioni lineari Una funzione f : Rn → Rm è un’applicazione lineare se e solo se f (x) = Ax dove A è una matrice m × n. Solo enunciato Proposizione 2.40 – Rappresentazione simmetrica di una forma quadratica Una forma quadratica q(x) = Pn i,j=1 aij xixj = xTAx può essere rappresentata mediante una matrice S simmetrica, cioè sij = sji per i, j = 1, . . . , n e q(x) = xTSx per ogni x ∈ Rn. Solo enunciato Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 8

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3 Differenziazione di funzioni di più variabili Derivata per funzioni di una variabile reale Proposizione 3.1 – Derivabile e differenziabile Una funzione f : R → R è derivabile in un punto x0 se e solo se è differenziabile in x0. Solo enunciato Derivate del primo ordine di una funzione di più variabili Proposizione 3.5 – Derivata parziale e derivate direzionali Siano f : Rn → R e x ∈ Rn, e sia ej il versore del j-esimo asse coordinato. Esiste in x la derivata parziale ∂f ∂xj (x) se e solo se (i) esiste la derivata direzionale Df (x, ej ) di f in x lungo ej ; (ii) esiste la derivata direzionale Df (x, −ej ) di f in x lungo −ej ; (iii) si ha Df (x, ej ) = −Df (x, −ej ). In tal caso ∂f ∂xj (x) = Df (x, ej ). Dimostrazione da fare Dimostrazione Per definizione ∂f ∂xj (x) = lim t→0 f (x + t ej ) − f (x) t , Df (x, d) = lim t→0+ f (x + t d) − f (x) t . La derivata parziale esiste se e solo se i limiti destro e sinistro del rapporto f (x+t ej )−f (x) t esistono finiti e sono uguali. 1. Limite destro. Per definizione è Df (x, ej ). 2. Limite sinistro. Con t = −h, t → 0− equivale a h → 0+ e lim t→0− f (x + t ej ) − f (x) t = lim h→0+ f (x + h(−ej )) − f (x) −h = −Df (x, −ej ), e il primo limite esiste finito se e solo se esiste Df (x, −ej ). 3. (⇒) Se la derivata parziale esiste, i due limiti esistono e sono uguali: valgono (i)-(iii) e ∂f ∂xj (x) = Df (x, ej ). 4. (⇐) Se valgono (i)-(iii), per i passi 1 e 2 i limiti destro e sinistro esistono e valgono entrambi Df (x, ej ) = −Df (x, −ej ), quindi la derivata parziale esiste. □ Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 9

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Proposizione 3.7 – Differenziabile implica continua Sia f : Rn → R una funzione differenziabile in un punto x0 ∈ Rn. Allora f è continua in x0. Dimostrazione da fare Dimostrazione 1. Per la differenziabilità, con il gradiente ∇f (x0) come vettore della definizione, f (x) = f (x0) + ∇f (x0)T(x − x0) + o(∥x − x0∥) per x → x0. 2. Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (Proposizione 1.16) |∇f (x0)T(x − x0)| ≤ ∥∇f (x0)∥ ∥x − x0∥, che tende a 0 per x → x0, e anche il resto o(∥x − x0∥) tende a 0. 3. Quindi limx→x0 f (x) = f (x0). □ Proposizione 3.8 – Condizione necessaria e condizione sufficiente di differenziabilità Siano f : Rn → R e x ∈ Rn. Si ha: (i) se f è differenziabile in x, allora f è continua in x ed esiste ∇f (x); (ii) se ∇f esiste in un intorno di x ed è continuo in x, allora f è differenziabile in x. Solo enunciato Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 10

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Proposizione – Derivata direzionale di una funzione differenziabile Se f : Rn → R è differenziabile in x, per ogni d ∈ Rn esiste la derivata direzionale di f in x lungo d e Df (x, d) = lim t→0+ f (x + t d) − f (x) t = ∇f (x)Td. Dimostrazione da fare Dimostrazione Per d = 0 entrambi i membri valgono 0. Sia d̸ = 0 e t > 0. Il vettore che compare nella definizione di differenziabilità è il gradiente ∇f (x). 1. Con l’incremento t d, per la differenziabilità f (x + t d) = f (x) + t ∇f (x)Td + r(t d), con r(t d)/∥t d∥ → 0 per t → 0+. 2. Poiché ∥t d∥ = t ∥d∥, il rapporto è f (x + t d) − f (x) t = ∇f (x)Td + ∥d∥ r(t d) ∥t d∥ . 3. Il secondo termine tende a 0 per t → 0+, quindi il limite esiste ed è ∇f (x)Td. □ Corollario 3.11 – Funzioni di classe C1 Sia f : D → R, con D sottoinsieme aperto di Rn. Se f è di classe C1 su D, cioè f ∈ C1(D), allora f è differenziabile su D, ovvero è differenziabile per ogni x ∈ D. Solo enunciato Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 11

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Differenziazione di un vettore di funzioni Proposizione 3.20 – Differenziabilità di una funzione vettoriale e matrice jacobiana Siano g : Rn → Rm e x ∈ Rn. Si ricorda che g è differenziabile in x se esiste una matrice G(x) ∈ Rm×n tale che lim ∥d∥→0 ∥g(x + d) − g(x) − G(x) d∥ ∥d∥ = 0, e che G(x) è la derivata di Fréchet di g in x. Si ha: (i) se g è differenziabile in x, allora g è continua in x, esiste la matrice jacobiana J(x) e J(x) coincide con la derivata di Fréchet di g in x; (ii) se esiste la matrice jacobiana J(x) di g in x e J è continua rispetto a x, allora g è differenziabile in x e la derivata di Fréchet di g in x coincide con J(x). Solo enunciato Derivate del secondo ordine di una funzione reale Proposizione 3.25 – Funzioni due volte differenziabili e matrice hessiana Siano f : Rn → R e x ∈ Rn. Si ricorda che f è due volte differenziabile in x se f è differenziabile in x ed esiste una matrice H(x) ∈ Rn×n tale che f (x + d) = f (x) + ∇f (x)Td + 1 2 dTH(x) d + β(x, d) con lim ∥d∥→0 β(x, d) ∥d∥2 = 0, e che H(x) è la derivata seconda di Fréchet di f in x. Si ha: (i) se f è due volte differenziabile in x, allora il gradiente ∇f esiste ed è continuo in x, la matrice hessiana ∇2f (x) esiste ed è simmetrica e coincide con la derivata seconda di Fréchet di f in x; (ii) se esiste la matrice hessiana ∇2f (x) in x e ∇2f è continua rispetto a x, allora f è due volte differenziabile in x, ∇2f (x) è necessariamente simmetrica e la derivata seconda di Fréchet di f in x coincide con ∇2f (x). Solo enunciato Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 12

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Teorema della media e formula di Taylor Teorema 3.1 – Teorema della media Sia f : Rn → R una funzione differenziabile in Rn. Fissato x ∈ Rn, per ogni d ∈ Rn si può scrivere f (x + d) = f (x) + ∇f (z)Td, in cui z ∈ Rn è un punto opportuno (dipendente da x e d) tale che z = x + ζ d, con ζ ∈ (0, 1). In particolare, per x, y ∈ Rn, f (y) = f (x) + ∇f (z)T(y − x), z = x + ζ (y − x), ζ ∈ (0, 1). Solo enunciato Teorema 3.2 – Teorema della media in forma integrale Sia f : Rn → R una funzione differenziabile in Rn. Fissato x ∈ Rn, per ogni d ∈ Rn si può scrivere f (x + d) = f (x) + Z 1 0 ∇f (x + t d)Td dt. Analogamente, per x, y ∈ Rn, f (y) = f (x) + Z 1 0 ∇f x + t (y − x)T(y − x) dt. Solo enunciato Teorema 3.3 – Teorema di Taylor Sia f : Rn → R una funzione due volte differenziabile in Rn. Fissato x ∈ Rn, per ogni d ∈ Rn si può scrivere f (x + d) = f (x) + ∇f (x)Td + 1 2 dT∇2f (w) d, in cui w ∈ Rn è un punto opportuno (dipendente da x e d) tale che w = x + ξ d, con ξ ∈ (0, 1). In particolare, per x, y ∈ Rn, f (y) = f (x)+∇f (x)T(y −x)+ 1 2 (y −x)T∇2f (w) (y −x), w = x+ξ (y −x), ξ ∈ (0, 1). Solo enunciato Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 13

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4 Convessità di insiemi e funzioni Elementi di geometria di Rn Proposizione 4.2 – Condizione necessaria e sufficiente per sottospazi lineari Un insieme non vuoto S ⊆ Rn è un sottospazio lineare se e solo se S = {x ∈ Rn : Ax = 0}, dove A è un’opportuna matrice m × n, con m ≤ n, e 0 ∈ Rm è l’origine di Rm. Solo enunciato Proposizione 4.3 – Dimensione di un sottospazio lineare Sia S un sottospazio lineare, S = {x ∈ Rn : Ax = 0}. La dimensione di S è n − rk A. Solo enunciato Insiemi convessi Proposizione 4.8 – Convessità di un semispazio Siano a ∈ Rn e β ∈ R. Gli insiemi {x ∈ Rn : aTx ≤ β}, {x ∈ Rn : aTx ≥ β}, {x ∈ Rn : aTx < β}, {x ∈ Rn : aTx > β} sono convessi. Dimostrazione da fare Dimostrazione Sia S = {x : aTx ≤ β}. Siano x, y ∈ S e λ ∈ [0, 1], e sia z = (1 − λ) x + λ y un punto qualsiasi del segmento [x, y]. 1. Per la linearità del prodotto scalare aTz = (1 − λ) aTx + λ aTy. 2. Poiché 1 − λ ≥ 0, λ ≥ 0, aTx ≤ β e aTy ≤ β, si ha aTz ≤ (1 − λ) β + λ β = β, cioè z ∈ S. Per {x : aTx ≥ β} si invertono le disuguaglianze. Per quelli con disuguaglianza stretta, per esempio aTx < β, si ha β − aTz = (1 − λ)(β − aTx) + λ(β − aTy) > 0, perché 1 − λ e λ non sono entrambi nulli e β − aTx, β − aTy sono positivi. □ Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 14

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Proposizione 4.9 – Intersezione di insiemi convessi L’intersezione di una famiglia qualsiasi, anche infinita, {Ci, i ∈ I} di insiemi convessi è un insieme convesso. Dimostrazione da fare Dimostrazione Sia C = T i∈I Ci. 1. Siano x, y ∈ C e λ ∈ [0, 1]. Allora x, y ∈ Ci per ogni i ∈ I. 2. Ogni Ci è convesso, quindi z = (1 − λ) x + λ y ∈ Ci per ogni i. 3. Allora z sta in tutti i Ci, cioè z ∈ C. □ Proposizione 4.10 – Convessità di un iperpiano Un iperpiano H = {x ∈ Rn : aTx = β}, con a ∈ Rn e β ∈ R, è un insieme convesso. Dimostrazione da fare Dimostrazione Un iperpiano è l’intersezione di due semispazi, H = {x : aTx ≥ β} ∩ {x : aTx ≤ β}. I due semispazi sono convessi per la Proposizione 4.8, quindi H è convesso per la Proposizione 4.9. □ Proposizione 4.11 – Convessità di un poliedro Un poliedro in Rn P = {x ∈ Rn : aT i x ≤ bi, i = 1, . . . , m1} ∩ {x ∈ Rn : aT i x ≥ bi, i = m1 + 1, . . . , m2} ∩ {x ∈ Rn : aT i x = bi, i = m2 + 1, . . . , m3} è un insieme convesso. Solo enunciato Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 15

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Proposizione 4.12 – Convessità di una sfera Siano ∥·∥ una norma qualsiasi di Rn, ̄x ∈ Rn e ρ > 0. Le sfere aperta e chiusa Bρ( ̄x) = {x ∈ Rn : ∥x − ̄x∥ < ρ}, Bρ( ̄x) = {x ∈ Rn : ∥x − ̄x∥ ≤ ρ} sono insiemi convessi. Dimostrazione da fare Dimostrazione Siano x, y due punti della sfera e λ ∈ [0, 1]. 1. Aggiungendo e togliendo λ ̄x, (1 − λ) x + λ y − ̄x = (1 − λ)(x − ̄x) + λ(y − ̄x). 2. Per la disuguaglianza triangolare e l’omogeneità della norma, con 1 − λ ≥ 0 e λ ≥ 0, ∥(1 − λ) x + λ y − ̄x∥ ≤ (1 − λ)∥x − ̄x∥ + λ∥y − ̄x∥. 3. Per la sfera chiusa il secondo membro è al più (1 − λ)ρ + λρ = ρ. Per la sfera aperta ∥x − ̄x∥ < ρ e ∥y − ̄x∥ < ρ, e 1 − λ e λ non sono entrambi nulli, quindi il secondo membro è minore di ρ. Il punto (1 − λ) x + λ y sta quindi nella sfera. □ Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 16

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Funzioni convesse e funzioni concave Proposizione 4.14 – Le norme sono convesse Una qualsiasi norma ∥·∥ in Rn è una funzione convessa su Rn. Dimostrazione da fare Dimostrazione Siano x, y ∈ Rn e λ ∈ [0, 1]. Per la disuguaglianza triangolare e l’omogeneità della norma ∥(1 − λ) x + λ y∥ ≤ |1 − λ| ∥x∥ + |λ| ∥y∥ = (1 − λ)∥x∥ + λ∥y∥, dove i valori assoluti si tolgono perché 1 − λ ≥ 0 e λ ≥ 0. È la definizione di convessità per f (x) = ∥x∥. □ Proposizione 4.16 – Funzioni affini Una funzione affine f (x) = cTx + d, con c ∈ Rn e d ∈ R, è sia convessa sia concava su Rn. Dimostrazione da fare Dimostrazione Siano x, y ∈ Rn e λ ∈ [0, 1]. Allora f (1 − λ) x + λ y = (1 − λ) cTx + λ cTy + d = (1 − λ) cTx + λ cTy + λ d + (1 − λ) d = (1 − λ) f (x) + λ f (y). Vale l’uguaglianza, quindi valgono sia ≤ sia ≥ e f è sia convessa sia concava. □ Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 17

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Convessità e concavità di funzioni differenziabili Proposizione 4.17 – Condizione del primo ordine di convessità Sia C ⊆ Rn un insieme convesso aperto, sia f : C → R e si supponga che ∇f sia continuo su C. Allora f è convessa su C se e solo se, per tutte le coppie di punti x, y ∈ C, si ha f (y) ≥ f (x) + ∇f (x)T(y − x). Dimostrazione da fare Dimostrazione Necessità. Sia f convessa e siano x, y ∈ C. 1. Per λ ∈ (0, 1], poiché x + λ(y − x) = (1 − λ) x + λ y, la convessità dà f (x + λ(y − x)) ≤ f (x) + λf (y) − f (x). 2. Si porta f (x) a sinistra e si divide per λ > 0: f (x + λ(y − x)) − f (x) λ ≤ f (y) − f (x). 3. f è differenziabile in x per il Corollario 3.11, quindi per λ → 0+ il primo membro tende alla derivata direzionale lungo y − x, che vale ∇f (x)T(y − x) (derivata direzionale di una funzione differenziabile). Il secondo membro non dipende da λ, quindi ∇f (x)T(y − x) ≤ f (y) − f (x). Sufficienza. Siano x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] e z = (1 − λ) x + λ y, che sta in C perché C è convesso. 1. L’ipotesi applicata alle coppie (z, x) e (z, y) dà f (x) ≥ f (z) + ∇f (z)T(x − z) e f (y) ≥ f (z) + ∇f (z)T(y − z). 2. Si moltiplica la prima per 1 − λ ≥ 0, la seconda per λ ≥ 0 e si somma: (1 − λ)f (x) + λf (y) ≥ f (z) + ∇f (z)T(1 − λ) x + λ y − z = f (z), perché (1 − λ) x + λ y − z = 0. È la definizione di convessità. □ Proposizione 4.18 – Condizione del primo ordine di stretta convessità Sia C ⊆ Rn un insieme convesso aperto, sia f : C → R e si supponga che ∇f sia continuo su C. Allora f è strettamente convessa su C se e solo se, per tutte le coppie di punti x, y ∈ C con x̸ = y, si ha f (y) > f (x) + ∇f (x)T(y − x). Solo enunciato Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 18

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Proposizione 4.19 – Condizione del secondo ordine di convessità Sia C ⊆ Rn un insieme convesso aperto, sia f : C → R e si supponga che la matrice hessiana ∇2f sia continua su C. Allora f è convessa su C se e solo se, per ogni x ∈ C, la matrice ∇2f (x) è semidefinita positiva. Solo enunciato Proposizione 4.20 – Convessità di una funzione quadratica Sia Q una matrice simmetrica n × n e sia f : Rn → R definita da f (x) = 1 2 xTQ x + cTx. Allora f è convessa se e solo se Q è semidefinita positiva. Dimostrazione da fare Dimostrazione Poiché Q è simmetrica, ∇f (x) = Q x + c e ∇2f (x) = Q in ogni punto, quindi ∇2f è continua. Basta applicare la Proposizione 4.19 con C = Rn. □ Proposizione 4.21 – Condizione sufficiente di convessità stretta Sia C ⊆ Rn un insieme convesso aperto, sia f : C → R e si supponga che la matrice hessiana ∇2f sia continua e definita positiva su C. Allora f è strettamente convessa su C. Dimostrazione da fare Dimostrazione Siano x, y ∈ C con x̸ = y. 1. ∇2f esiste ed è continua, quindi f è due volte differenziabile su C (Proposizione 3.25(ii)). Il Teorema 3.3 (Taylor) vale anche per f definita e due volte differenziabile su un aperto che contiene il segmento di estremi x e y, qui C: con w = x + ξ (y − x) e ξ ∈ (0, 1), f (y) = f (x) + ∇f (x)T(y − x) + 1 2 (y − x)T∇2f (w) (y − x). 2. w ∈ C perché C è convesso, quindi ∇2f (w) è definita positiva e, poiché y − x̸ = 0, (y − x)T∇2f (w) (y − x) > 0. 3. Allora f (y) > f (x) + ∇f (x)T(y − x) per ogni x̸ = y. Inoltre f è due volte differenziabile in ogni punto di C, quindi ∇f è continuo su C (Proposizione 3.25(i)). Per la Proposizione 4.18 f è strettamente convessa. □ Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 19

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Proposizione 4.22 – Convessità stretta di una funzione quadratica Sia Q una matrice simmetrica n × n e sia f : Rn → R definita da f (x) = 1 2 xTQ x + cTx. Allora f è strettamente convessa se e solo se Q è definita positiva. Solo enunciato Proposizione 4.23 – Condizione del primo ordine di concavità Sia C ⊆ Rn un insieme convesso aperto, sia f : C → R e si supponga che ∇f sia continuo su C. Allora f è concava su C se e solo se, per tutte le coppie di punti x, y ∈ C, si ha f (y) ≤ f (x) + ∇f (x)T(y − x). Solo enunciato Proposizione 4.24 – Condizione del primo ordine di stretta concavità Sia C ⊆ Rn un insieme convesso aperto, sia f : C → R e si supponga che ∇f sia continuo su C. Allora f è strettamente concava su C se e solo se, per tutte le coppie di punti x, y ∈ C con x̸ = y, si ha f (y) < f (x) + ∇f (x)T(y − x). Solo enunciato Proposizione 4.25 – Condizione del secondo ordine di concavità Sia C ⊆ Rn un insieme convesso aperto, sia f : C → R e si supponga che la matrice hessiana ∇2f sia continua su C. Allora f è concava su C se e solo se, per ogni x ∈ C, la matrice ∇2f (x) è semidefinita negativa. Solo enunciato Proposizione 4.26 – Condizione sufficiente di concavità stretta Sia C ⊆ Rn un insieme convesso aperto, sia f : C → R e si supponga che la matrice hessiana ∇2f sia continua e definita negativa su C. Allora f è strettamente concava su C. Solo enunciato Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 20

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Insiemi convessi definiti mediante equazioni e disequazioni Proposizione 4.27 – Insieme definito da una disequazione convessa Sia g : Rn → R una funzione convessa. Allora l’insieme S = {x ∈ Rn : g(x) ≤ 0} è convesso. Dimostrazione da fare Dimostrazione Siano x, y ∈ S e λ ∈ [0, 1]. Per la convessità di g g(1 − λ) x + λ y ≤ (1 − λ) g(x) + λ g(y) ≤ 0, dove la seconda disuguaglianza segue da g(x) ≤ 0, g(y) ≤ 0, 1 − λ ≥ 0 e λ ≥ 0. Il punto (1 − λ) x + λ y appartiene quindi a S. □ Proposizione 4.28 – Insieme definito da più disequazioni convesse Siano g1, . . . , gm : Rn → R funzioni convesse. Allora l’insieme S = {x ∈ Rn : gi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m} è convesso. Dimostrazione da fare Dimostrazione Per la Proposizione 4.27, per ogni i ∈ {1, . . . , m} l’insieme Si = {x ∈ Rn : gi(x) ≤ 0} è convesso. S è l’intersezione degli insiemi convessi Si, quindi è convesso per la Proposizione 4.9. □ Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 21

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Proposizione 4.29 – Insieme definito da disequazioni convesse ed equazioni affini Siano g1, . . . , gm : Rn → R funzioni convesse e h1, . . . , hp : Rn → R funzioni affini, hj (x) = aT j x + dj per j = 1, . . . , p. Allora l’insieme S = {x ∈ Rn : gi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m; hj (x) = 0, j = 1, . . . , p} è convesso. Dimostrazione da fare Dimostrazione Per la Proposizione 4.27, per ogni i = 1, . . . , m l’insieme Si = {x : gi(x) ≤ 0} è convesso. Per ogni j = 1, . . . , p l’iperpiano Hj = {x : aT j x + dj = 0} è convesso per la Proposizione 4.10. S è l’intersezione degli insiemi convessi Si e Hj , quindi è convesso per la Proposizione 4.9. □ Appendice: elementi di algebra lineare Proposizione 4.31 – Matrici simmetriche e autovalori Sia Q una matrice reale e simmetrica n × n. Allora: 1. Q è definita positiva se e solo se tutti gli autovalori di Q sono positivi; 2. Q è semidefinita positiva se e solo se tutti gli autovalori di Q sono non negativi; 3. Q è definita negativa se e solo se tutti gli autovalori di Q sono negativi; 4. Q è semidefinita negativa se e solo se tutti gli autovalori di Q sono non positivi; 5. Q è indefinita se e solo se ha sia autovalori negativi sia autovalori positivi. Solo enunciato Proposizione 4.32 – Condizioni necessarie sugli elementi diagonali Sia Q una matrice reale e simmetrica n × n. Allora: (i) se Q è definita positiva (negativa), tutti gli elementi diagonali di Q sono necessariamente positivi (negativi); (ii) se Q è semidefinita positiva (negativa), tutti gli elementi diagonali di Q sono necessariamente non negativi (non positivi); (iii) se Q è semidefinita positiva oppure semidefinita negativa e qii = 0, deve essere necessariamente qij = 0, j = 1, . . . , n; qhi = 0, h = 1, . . . , n. Solo enunciato Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 22

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Proposizione 4.33 – Semidefinitezza e minori principali Sia Q una matrice reale e simmetrica n × n. Allora Q è semidefinita positiva se e solo se tutti i minori principali di Q, cioè i determinanti delle sottomatrici ottenute scegliendo gli stessi indici di riga e di colonna, sono non negativi. Solo enunciato Proposizione 4.34 – Criterio di Sylvester Sia Q una matrice reale e simmetrica n × n, e siano ∆i, per i = 1, . . . , n, i minori principali di ordine i, cioè i determinanti delle sottomatrici formate dalle prime i righe e dalle prime i colonne di Q. Allora: 1. Q è definita positiva se e solo se ∆i > 0, i = 1, . . . , n; 2. Q è definita negativa se e solo se (−1)i∆i > 0, i = 1, . . . , n. Solo enunciato 5 Massimi e minimi di funzioni di più variabili Coincidenza di minimi locali e globali nel caso convesso Proposizione 5.5 – Punti di minimo nel caso convesso Sia S ⊆ Rn un insieme convesso e sia f una funzione convessa su S. Allora ogni punto di minimo locale di f su S è anche punto di minimo globale; inoltre l’insieme dei punti di minimo globale di f su S è un insieme convesso. Solo enunciato Proposizione 5.6 – Unicità del punto di minimo Sia S ⊆ Rn un insieme convesso e sia f una funzione strettamente convessa su S. Se x∗ è un punto di minimo locale di f su S, allora x∗ è anche l’unico punto di minimo locale e l’unico punto di minimo globale di f su S. Solo enunciato Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 23

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Condizioni di esistenza della soluzione Proposizione 5.7 – Teorema di Weierstrass Sia f : Rn → R una funzione continua e sia S ⊆ Rn un insieme non vuoto e compatto. Allora esistono un punto di minimo globale e un punto di massimo globale di f in S. Dimostrazione da fare Dimostrazione Basta dimostrare l’esistenza del minimo, perché un punto di massimo di f è un punto di minimo della funzione continua −f . Sia L = infx∈S f (x), con L = −∞ se f non è limitata inferiormente su S. 1. Per la definizione di estremo inferiore esiste una successione {xk} con xk ∈ S e f (xk) → L. 2. S è compatto, quindi, per il Corollario 2.26, esistono una sottosuccessione {xk}k∈K e un punto x∗ ∈ S con limk∈K, k→∞ xk = x∗. 3. f è continua in x∗: dato ε > 0 esiste δ > 0 con |f (x) − f (x∗)| < ε se ∥x − x∗∥ < δ, e ∥xk − x∗∥ < δ per k ∈ K abbastanza grande. Quindi f (xk) → f (x∗) per k ∈ K, k → ∞. 4. Per k ∈ K vale anche f (xk) → L, perché è una sottosuccessione di una successione che tende a L. Per l’unicità del limite f (x∗) = L. 5. Allora L è finito, perché f (x∗) è un numero reale, ed è un minorante dei valori di f su S: f (x∗) = L ≤ f (x) per ogni x ∈ S. Quindi x∗ è un punto di minimo globale. □ Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 24

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Condizioni di ottimalità nel caso di problemi non vincolati: direzioni di discesa Un vettore d ∈ Rn, d̸ = 0, è una direzione di discesa per f in x se esiste ̄t > 0 tale che f (x + t d) < f (x) per ogni t ∈ (0, ̄t ]. Proposizione 5.9 – Condizione di discesa del primo ordine Sia f : Rn → R continuamente differenziabile nell’intorno di un punto x ∈ Rn e sia d ∈ Rn un vettore non nullo. Allora, se ∇f (x)Td < 0, la direzione d è una direzione di discesa per f in x. Inversamente, se f è continuamente differenziabile e convessa in una sfera aperta Bρ(x) di centro x e se d è una direzione di discesa in x, deve essere ∇f (x)Td < 0. Dimostrazione da fare Dimostrazione Se ∇f (x)Td < 0, allora d è di discesa. 1. f è differenziabile in x (Corollario 3.11), quindi per la derivata direzionale di una funzione differenziabile limt→0+ f (x + t d) − f (x) t = ∇f (x)Td < 0. 2. Per la permanenza del segno esiste ̄t > 0 tale che f (x + t d) − f (x) t < 0 per ogni t ∈ (0, ̄t ]. Poiché t > 0, il numeratore è negativo, cioè f (x + t d) < f (x), e d è una direzione di discesa. Se d è di discesa, allora ∇f (x)Td < 0. 1. Per t > 0 abbastanza piccolo f (x + t d) < f (x) e, riducendo t, anche t ∥d∥ < ρ, cioè x + t d ∈ Bρ(x). 2. La sfera Bρ(x) è aperta e convessa (Proposizione 4.12) e f è su di essa continuamente differenziabile e convessa, quindi per la Proposizione 4.17 f (x + t d) ≥ f (x) + t ∇f (x)Td. 3. Insieme alla discesa, f (x) + t ∇f (x)Td ≤ f (x + t d) < f (x), quindi t ∇f (x)Td < 0. Poiché t > 0, ∇f (x)Td < 0. □ Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 25

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Proposizione – L’antigradiente è una direzione di discesa Sia f : Rn → R differenziabile in x ∈ Rn con ∇f (x)̸ = 0. Allora d = −∇f (x), detta antigradiente, è una direzione di discesa per f in x. Dimostrazione da fare Dimostrazione Si ha d̸ = 0 e ∇f (x)Td = −∇f (x)T∇f (x) = −∥∇f (x)∥2 < 0. Per la derivata direzionale di una funzione differenziabile limt→0+ f (x + t d) − f (x) t = ∇f (x)Td < 0, quindi per la permanenza del segno esiste ̄t > 0 tale che f (x + t d) < f (x) per ogni t ∈ (0, ̄t ], cioè d è una direzione di discesa. □ Proposizione 5.11 – Condizione di discesa del secondo ordine Sia f : Rn → R due volte continuamente differenziabile nell’intorno di un punto x ∈ Rn e sia d ∈ Rn un vettore non nullo. Si supponga che ∇f (x)Td = 0 e dT∇2f (x) d < 0, cioè che d sia una direzione a curvatura negativa in x. Allora d è una direzione di discesa per f in x. Dimostrazione da fare Dimostrazione 1. ∇2f è continua vicino a x, quindi f è due volte differenziabile in x (Proposizione 3.25(ii)). Per t > 0 f (x + t d) = f (x) + t ∇f (x)Td + 1 2 t2 dT∇2f (x) d + β(x, t d), con β(x, t d)/t2 → 0 per t → 0+, perché ∥t d∥2 = t2∥d∥2. 2. Poiché ∇f (x)Td = 0, dividendo per t2 > 0 f (x + t d) − f (x) t2 = 1 2 dT∇2f (x) d + β(x, t d) t2 . 3. Il primo addendo è negativo e non dipende da t, mentre il secondo tende a 0. Per t abbastanza piccolo il secondo membro è quindi negativo. 4. Allora f (x + t d) < f (x) per ogni t > 0 abbastanza piccolo, quindi d è una direzione di discesa. □ Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 26

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Condizioni di minimo locale Proposizione 5.12 – Condizione necessaria di minimo locale Sia x∗ ∈ Rn un punto di minimo locale del problema minx∈Rn f (x). Allora non può esistere una direzione di discesa per f in x∗. Dimostrazione da fare Dimostrazione Per assurdo, sia d una direzione di discesa in x∗, con il suo ̄t, e sia Bρ(x∗) la sfera della definizione di minimo locale. 1. Si sceglie ˆt con 0 < ˆt < ̄t e ˆt ∥d∥ < ρ. 2. Allora x∗ + ˆt d ∈ Bρ(x∗) e, per la discesa, f (x∗ + ˆt d) < f (x∗). 3. Questo contraddice f (x∗) ≤ f (x) per ogni x ∈ Bρ(x∗). □ Proposizione 5.13 – Condizione necessaria del primo ordine Sia f : Rn → R continuamente differenziabile nell’intorno di un punto x∗ ∈ Rn. Se x∗ è un punto di minimo locale non vincolato di f , allora x∗ è un punto stazionario di f , cioè ∇f (x∗) = 0. Dimostrazione da fare Dimostrazione Per assurdo, sia ∇f (x∗)̸ = 0. La direzione d = −∇f (x∗) soddisfa ∇f (x∗)Td = −∥∇f (x∗)∥2 < 0, quindi è una direzione di discesa in x∗ per la Proposizione 5.9. Questo contraddice la Proposizione 5.12. □ Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 27

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Proposizione 5.14 – Condizione necessaria del secondo ordine Sia f : Rn → R due volte continuamente differenziabile nell’intorno di un punto x∗ ∈ Rn. Se x∗ è un punto di minimo locale non vincolato di f , allora (a) ∇f (x∗) = 0; (b) yT∇2f (x∗) y ≥ 0 per ogni y ∈ Rn, cioè ∇2f (x∗) è semidefinita positiva. Dimostrazione da fare Dimostrazione La (a) segue dalla Proposizione 5.13. Se non valesse la (b), esisterebbe y con yT∇2f (x∗) y < 0. Poiché ∇f (x∗)Ty = 0 per la (a), per la Proposizione 5.11 y sarebbe una direzione di discesa per f in x∗, contro la Proposizione 5.12. □ Proposizione 5.15 – Condizione sufficiente: convessità locale Sia f : Rn → R due volte continuamente differenziabile in un intorno di x∗ ∈ Rn. Se (a) ∇f (x∗) = 0; (b) esiste una sfera Bρ(x∗) in cui la matrice hessiana è semidefinita positiva, cioè yT∇2f (x) y ≥ 0 per ogni x ∈ Bρ(x∗) e per ogni y ∈ Rn, allora x∗ è un punto di minimo locale non vincolato di f . Solo enunciato Proposizione 5.16 – Condizione sufficiente del secondo ordine Sia f : Rn → R due volte continuamente differenziabile in un intorno di x∗ ∈ Rn. Si supponga che (a) ∇f (x∗) = 0; (b) la matrice hessiana sia definita positiva in x∗, cioè yT∇2f (x∗) y > 0 per ogni y ∈ Rn, y̸ = 0. Allora x∗ è un punto di minimo locale stretto e inoltre esistono ρ > 0 e μ > 0 tali che f (x∗) ≤ f (x) − μ 2 ∥x − x∗∥2 per ogni x con ∥x − x∗∥ < ρ. Solo enunciato Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 28

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Condizioni di minimo globale nel caso convesso Proposizione 5.17 – Condizione di minimo globale: caso convesso Sia f : Rn → R continuamente differenziabile su Rn e convessa. Allora x∗ è un punto di minimo globale di f su Rn se e solo se ∇f (x∗) = 0. Dimostrazione da fare Dimostrazione 1. Necessità. Un punto di minimo globale è di minimo locale, quindi ∇f (x∗) = 0 per la Proposizione 5.13. 2. Sufficienza. Rn è aperto e convesso e f è continuamente differenziabile e convessa, quindi la Proposizione 4.17 dà, per ogni x ∈ Rn, f (x) ≥ f (x∗) + ∇f (x∗)T(x − x∗) = f (x∗). Quindi x∗ è di minimo globale. □ Proposizione 5.17, seconda parte – Caso strettamente convesso Sia f : Rn → R continuamente differenziabile su Rn e strettamente convessa. Se ∇f (x∗) = 0, allora x∗ è l’unico punto stazionario di f e costituisce anche l’unico punto di minimo globale di f . Solo enunciato Proposizione 5.18 – Minimizzazione di una funzione quadratica Sia q(x) = 1 2 xTQ x + cTx, con Q simmetrica e c ∈ Rn. Allora: (a) q ammette un punto di minimo se e solo se Q è semidefinita positiva ed esiste x∗ tale che Q x∗ + c = 0; (b) q ammette un unico punto di minimo globale se e solo se Q è definita positiva. Solo enunciato Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 29

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Condizioni di massimo locale Proposizione 5.19 – Massimo locale: condizione necessaria del primo ordine Sia f : Rn → R continuamente differenziabile nell’intorno di un punto x∗ ∈ Rn. Se x∗ è un punto di massimo locale non vincolato di f , allora x∗ è un punto stazionario di f , cioè ∇f (x∗) = 0. Solo enunciato Proposizione 5.20 – Massimo locale: condizione necessaria del secondo ordine Sia f : Rn → R due volte continuamente differenziabile nell’intorno di un punto x∗ ∈ Rn. Se x∗ è un punto di massimo locale non vincolato di f , allora (a) ∇f (x∗) = 0; (b) yT∇2f (x∗) y ≤ 0 per ogni y ∈ Rn, cioè ∇2f (x∗) è semidefinita negativa. Solo enunciato Proposizione 5.21 – Massimo locale: condizione sufficiente (concavità locale) Sia f : Rn → R due volte continuamente differenziabile in un intorno di x∗ ∈ Rn. Se (a) ∇f (x∗) = 0; (b) esiste una sfera Bρ(x∗) in cui la matrice hessiana è semidefinita negativa, cioè yT∇2f (x) y ≤ 0 per ogni x ∈ Bρ(x∗) e per ogni y ∈ Rn, allora x∗ è un punto di massimo locale non vincolato di f . Solo enunciato Proposizione 5.22 – Massimo locale: condizione sufficiente del secondo ordine Sia f : Rn → R due volte continuamente differenziabile in un intorno di x∗ ∈ Rn. Si supponga che (a) ∇f (x∗) = 0; (b) la matrice hessiana sia definita negativa in x∗, cioè yT∇2f (x∗) y < 0 per ogni y ∈ Rn, y̸ = 0. Allora x∗ è un punto di massimo locale stretto e inoltre esistono ρ > 0 e μ > 0 tali che f (x∗) ≥ f (x) + μ 2 ∥x − x∗∥2 per ogni x con ∥x − x∗∥ < ρ. Solo enunciato Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 30

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Condizioni di massimo globale nel caso di funzione concava Proposizione 5.23 – Massimo globale: caso concavo Sia f : Rn → R continuamente differenziabile su Rn e concava. Allora x∗ è un punto di massimo globale di f su Rn se e solo se ∇f (x∗) = 0. Inoltre, se f è strettamente concava su Rn e ∇f (x∗) = 0, allora x∗ è l’unico punto stazionario di f e costituisce anche l’unico punto di massimo globale di f . Solo enunciato Proposizione 5.24 – Massimizzazione di una funzione quadratica Sia q(x) = 1 2 xTQ x + cTx, con Q simmetrica e c ∈ Rn. Allora: (a) q ammette un punto di massimo se e solo se Q è semidefinita negativa ed esiste x∗ tale che Q x∗ + c = 0; (b) q ammette un unico punto di massimo globale se e solo se Q è definita negativa. Solo enunciato Riepilogo Dimostrazioni da fare Proposizione 1.36 – Caratterizzazione degli insiemi chiusi · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3 Teorema 2.25 – Bolzano-Weierstrass per successioni · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5 Teorema 2.27 – Bolzano-Weierstrass per insiemi (anche Teorema 1.5) · · · · · · · · · · · · · · · · · 6 Lemma 2.31 – Le funzioni coordinate sono continue · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7 Lemma 2.33 – Lipschitz implica continua · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7 Proposizione 3.5 – Derivata parziale e derivate direzionali · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9 Proposizione 3.7 – Differenziabile implica continua · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 Proposizione – Derivata direzionale di una funzione differenziabile · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 Proposizione 4.8 – Convessità di un semispazio · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 Proposizione 4.9 – Intersezione di insiemi convessi · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15 Proposizione 4.10 – Convessità di un iperpiano · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15 Proposizione 4.12 – Convessità di una sfera · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16 Proposizione 4.14 – Le norme sono convesse · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 17 Proposizione 4.16 – Funzioni affini · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 17 Proposizione 4.17 – Condizione del primo ordine di convessità · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 18 Proposizione 4.20 – Convessità di una funzione quadratica · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 19 Proposizione 4.21 – Condizione sufficiente di convessità stretta · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 19 Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 31

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Proposizione 4.27 – Insieme definito da una disequazione convessa · · · · · · · · · · · · · · · · · · 21 Proposizione 4.28 – Insieme definito da più disequazioni convesse · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 21 Proposizione 4.29 – Insieme definito da disequazioni convesse ed equazioni affini · · · · · · · · · · 22 Proposizione 5.7 – Teorema di Weierstrass · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 24 Proposizione 5.9 – Condizione di discesa del primo ordine · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 25 Proposizione – L’antigradiente è una direzione di discesa · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 26 Proposizione 5.11 – Condizione di discesa del secondo ordine · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 26 Proposizione 5.12 – Condizione necessaria di minimo locale · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 27 Proposizione 5.13 – Condizione necessaria del primo ordine · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 27 Proposizione 5.14 – Condizione necessaria del secondo ordine · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 28 Proposizione 5.17 – Condizione di minimo globale: caso convesso · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 29 Solo enunciato Teorema 1.1 – Esistenza degli estremi superiore e inferiore · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 Teorema 1.2 – Caratterizzazione dell’estremo superiore · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 Teorema 1.3 – Caratterizzazione dell’estremo inferiore · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 Proposizione 1.16 – Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 Proprietà 1.30 – Unione e intersezione di insiemi aperti · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3 Proprietà 1.31 – Intersezione e unione di insiemi chiusi · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3 Proposizione 2.10 – Limite di una funzione vettoriale e limiti delle componenti · · · · · · · · · · · 4 Proposizione 2.14 – Successioni limitate e componenti · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4 Teorema 2.24 – Successioni limitate in R · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4 Corollario 2.26 – Successioni in un compatto · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5 Teorema 2.28 – Teorema ponte · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6 Teorema 2.35 – Heine-Cantor · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8 Teorema 2.37 – Limite mediante restrizioni · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8 Proposizione 2.39 – Funzioni lineari · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8 Proposizione 2.40 – Rappresentazione simmetrica di una forma quadratica · · · · · · · · · · · · · 8 Proposizione 3.1 – Derivabile e differenziabile · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9 Proposizione 3.8 – Condizione necessaria e condizione sufficiente di differenziabilità · · · · · · · · 10 Corollario 3.11 – Funzioni di classe C1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 Proposizione 3.20 – Differenziabilità di una funzione vettoriale e matrice jacobiana · · · · · · · · 12 Proposizione 3.25 – Funzioni due volte differenziabili e matrice hessiana · · · · · · · · · · · · · · · 12 Teorema 3.1 – Teorema della media · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 Teorema 3.2 – Teorema della media in forma integrale · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 Teorema 3.3 – Teorema di Taylor · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 Proposizione 4.2 – Condizione necessaria e sufficiente per sottospazi lineari · · · · · · · · · · · · · 14 Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 32

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Proposizione 4.3 – Dimensione di un sottospazio lineare · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 Proposizione 4.11 – Convessità di un poliedro · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15 Proposizione 4.18 – Condizione del primo ordine di stretta convessità · · · · · · · · · · · · · · · · · 18 Proposizione 4.19 – Condizione del secondo ordine di convessità · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 19 Proposizione 4.22 – Convessità stretta di una funzione quadratica · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 20 Proposizione 4.23 – Condizione del primo ordine di concavità · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 20 Proposizione 4.24 – Condizione del primo ordine di stretta concavità · · · · · · · · · · · · · · · · · 20 Proposizione 4.25 – Condizione del secondo ordine di concavità · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 20 Proposizione 4.26 – Condizione sufficiente di concavità stretta · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 20 Proposizione 4.31 – Matrici simmetriche e autovalori · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 22 Proposizione 4.32 – Condizioni necessarie sugli elementi diagonali · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 22 Proposizione 4.33 – Semidefinitezza e minori principali · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 23 Proposizione 4.34 – Criterio di Sylvester · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 23 Proposizione 5.5 – Punti di minimo nel caso convesso · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 23 Proposizione 5.6 – Unicità del punto di minimo · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 23 Proposizione 5.15 – Condizione sufficiente: convessità locale · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 28 Proposizione 5.16 – Condizione sufficiente del secondo ordine · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 28 Proposizione 5.17, seconda parte – Caso strettamente convesso · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 29 Proposizione 5.18 – Minimizzazione di una funzione quadratica · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 29 Proposizione 5.19 – Massimo locale: condizione necessaria del primo ordine · · · · · · · · · · · · · 30 Proposizione 5.20 – Massimo locale: condizione necessaria del secondo ordine · · · · · · · · · · · · 30 Proposizione 5.21 – Massimo locale: condizione sufficiente (concavità locale) · · · · · · · · · · · · 30 Proposizione 5.22 – Massimo locale: condizione sufficiente del secondo ordine · · · · · · · · · · · · 30 Proposizione 5.23 – Massimo globale: caso concavo · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 31 Proposizione 5.24 – Massimizzazione di una funzione quadratica · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 31 Canale 1 · Prof. Marco Sciandrone 33

Entrambi

Teoria del primo esoneroC1

Apertura del capitolo