Capitolo 9 · C2

Stabilità

Punti di equilibrio, Stabilità semplice, asintotica, esponenziale, Proprietà locali e globali, Stabilità di un moto, Stabilità interna e autovalori, Regola di Cartesio

15 pagine (13 numerate). Aggiornato il 14 ottobre 2026.

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1 Punti di equilibrio Definizione – Coppia di equilibrio Per il sistema ̇x(t) = f x(t), u(t), con ingresso costante ue, lo stato xe è di equilibrio se, trovandosi in xe, il sistema vi resta: f (xe, ue) = 0 Di solito si studia ue = 0. L’equazione f (xe, ue) = 0 può avere un numero qualunque di soluzioni: • ̇x = x2 + 1 non ha equilibri, perché x2 + 1 = 0 non ha radici reali; • ̇x = −x ha il solo equilibrio xe = 0; • il pendolo del Capitolo 1 ha gli equilibri θ = kπ: fisicamente due, in basso e in alto. I due equilibri del pendolo reagiscono in modo opposto a una piccola perturbazione, come un colpo di vento. In basso la massa oscilla e torna dov’era. In alto cade. La stabilità è la proprietà che distingue i due casi. 2 Stabilità semplice Definizione – Stabilità L’equilibrio xe è stabile se, per quanto piccolo si fissi il raggio ε > 0, esiste un raggio δε > 0 tale che ogni moto che parte entro δε da xe resta entro ε: ∥x(t0) − xe∥ < δε =⇒ ∥x(t) − xe∥ < ε ∀ t ≥ t0. Altrimenti xe è instabile. Instabile significa che esiste almeno un ε per cui nessun δ funziona: da stati iniziali vicini quanto si vuole a xe qualche moto esce dal cerchio di raggio ε. In breve, la stabilità chiede che a perturbazioni piccole corrispondano spostamenti piccoli. In Rn tutte le norme sono equivalenti, quindi la definizione non dipende dalla norma scelta. Anche δε ≤ ε, altrimenti lo stato iniziale stesso uscirebbe dal cerchio grande. Canale 2 · Prof.ssa Claudia Califano 1

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xe ε δε x(t0) (a) stabilità xe ε δε x(t0) (b) stabilità asintotica Figura 1: Il moto parte entro δε da xe e resta entro ε. (a) Senza tendere a xe. (b) Tendendo a xe. 3 Stabilità asintotica ed esponenziale Definizione – Stabilità asintotica L’equilibrio xe è asintoticamente stabile se è stabile e i moti che partono abbastanza vicino tendono a xe: esiste δa > 0 tale che ∥x(t0) − xe∥ < δa =⇒ lim t→∞ ∥x(t) − xe∥ = 0. Definizione – Stabilità esponenziale L’equilibrio xe è esponenzialmente stabile se i moti vicini tendono a xe almeno come un esponenziale: esiste λ > 0 e per ogni ε > 0 esiste δε > 0 tale che ∥x(t0) − xe∥ < δε =⇒ ∥x(t) − xe∥ ≤ ε e−λ(t−t0) ∀ t ≥ t0. Ogni definizione aggiunge una richiesta alla precedente. Il pendolo le illustra: Stabilità Il moto vicino a xe Pendolo in basso semplice resta in un intorno arbitrario senza attrito: oscilla per sempre asintotica resta vicino e tende a xe con attrito: si ferma in basso esponenziale tende a xe almeno come e−λt La stabilità asintotica richiede che xe sia un equilibrio isolato. Se in ogni intorno di xe c’è un altro equilibrio, il moto che parte da lì vi resta e non tende a xe. Canale 2 · Prof.ssa Claudia Califano 2

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Esempio – Stessa approssimazione lineare, stabilità diverse Per ̇x = αx3 l’origine è l’unico equilibrio, e l’approssimazione lineare (Capitolo 1) è ̇x = 0 per ogni α. Con t0 = 0: • α = −1: x(t) = x0 p1 + 2x2 0t. Il modulo decresce e tende a 0, quindi l’origine è asintoticamente stabile. Va a zero come 1/√t, più lentamente di ogni esponenziale, quindi non è esponenzialmente stabile. • α = 1: x(t) = x0 p1 − 2x2 0t, che diverge per t → 1/(2x2 0) da ogni x0̸ = 0, quindi l’origine è instabile. L’approssimazione lineare, uguale nei due casi, non decide la stabilità. 4 Proprietà locali e globali Definizione – Stabilità asintotica globale L’equilibrio xe è globalmente asintoticamente stabile se è stabile e ogni moto tende a xe, da qualunque stato iniziale: lim t→∞ ∥x(t) − xe∥ = 0 ∀ x(t0) ∈ Rn. Le definizioni delle Sezioni 2 e 3 sono locali: riguardano i moti che partono vicino a xe, e un sistema con più equilibri le ha intorno a ciascuno, come il pendolo. Un equilibrio globalmente asintoticamente stabile è l’unico equilibrio, perché un moto che parte da un altro equilibrio vi resta. 5 Stabilità di un moto Definizione – Stabilità di un moto Fissato l’ingresso u(t), sia x(t) il moto di riferimento e xp(t) quello da uno stato iniziale perturbato. Lo scostamento ξ = xp − x soddisfa ̇ξ(t) = f x(t) + ξ(t), u(t) − f x(t), u(t) = gt, ξ(t). Il moto x(t) è stabile (asintoticamente, . . . ) se lo è l’equilibrio ξ = 0 di questo sistema. Canale 2 · Prof.ssa Claudia Califano 3

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ξ = 0 è un equilibrio perché g(t, 0) = 0. Così la stabilità di un moto diventa la stabilità di un equilibrio. In generale però il sistema di ξ non è stazionario, perché g contiene il moto di riferimento x(t). 6 Equilibri dei sistemi lineari Proposizione – Equilibri di ̇x = Ax Gli equilibri sono le soluzioni di Axe = 0, cioè Ker A: • se det A̸ = 0 (nessun autovalore nullo), l’origine è l’unico equilibrio; • se det A = 0, gli equilibri formano il sottospazio Ker A, una retta, un piano, . . . , e nessuno è isolato. La dimensione di Ker A è la molteplicità geometrica dell’autovalore 0. Per esempio, se la prima colonna di A è nulla, Ae1 = 0 e ogni punto dell’asse x1 è di equilibrio, qualunque sia il resto di A. 7 Stabilità interna dei sistemi lineari Teorema – Stabilità e matrice di transizione Un equilibrio xe di ̇x = Ax è stabile se e solo se eAt è limitata: esiste k > 0 con eA(t−t0) ≤ k ∀ t ≥ t0. La condizione dipende solo da A, quindi vale per tutti gli equilibri o per nessuno. Dimostrazione 1. Da Axe = 0 segue eA(t−t0)xe = xe, quindi ∥x(t) − xe∥ = eA(t−t0)x(t0) − xe ≤ eA(t−t0) ∥x(t0) − xe∥. 2. Sufficiente. Con ∥eA(t−t0)∥ ≤ k e δε = ε/k il secondo membro è minore di ε. 3. Necessaria. Se un elemento (i, j) di eA(t−t0) non è limitato, lo stato iniziale x(t0) = xe + δ 2 ej , vicino quanto si vuole a xe, dà una componente xi(t) − xe,i non limitata. □ Canale 2 · Prof.ssa Claudia Califano 4

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Definizione – Stabilità interna La stabilità degli equilibri di ̇x = Ax si chiama stabilità interna del sistema: riguarda tutti i modi naturali, eccitabili e osservabili o no. Le leggi temporali di eAt sono quelle dei modi naturali (Capitolo 4, osservazione «Parte reale nulla e molteplicità»). Da qui il criterio sugli autovalori. Teorema – Stabilità interna e autovalori Per ̇x = Ax: 1. asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori hanno Re λi < 0 2. stabile se e solo se tutti hanno Re λi ≤ 0 e quelli con Re λi = 0 hanno molteplicità algebrica uguale alla geometrica; 3. instabile se un autovalore ha Re λi > 0, oppure Re λi = 0 con molteplicità algebrica maggiore della geometrica. Dimostrazione 1. Con Re λ < 0 ogni legge theλt tende a zero, anche con i fattori polinomiali dei blocchi di Jordan. Con Re λ > 0 diverge. 2. Con Re λ = 0 la legge eλt è limitata. Se le molteplicità differiscono compare anche t eλt, che diverge. 3. Per il teorema precedente la stabilità equivale a leggi tutte limitate. La convergenza di x(t) a xe = 0 da ogni stato vicino equivale a leggi tutte convergenti, cioè Re λi < 0 per ogni i. □ Re λ Im λ stabilità asintotica instabilità asse immaginario: molteplicità uguali: semplice molteplicità diverse: instabilità Figura 2: La posizione degli autovalori nel piano complesso decide la stabilità interna. Canale 2 · Prof.ssa Claudia Califano 5

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Basta un autovalore con Re λ > 0, cioè un solo modo divergente, per l’instabilità. Gli Esercizi 2, 3 e 4 applicano il criterio a sistemi del terzo ordine. Proposizione – La stabilità asintotica è globale ed esponenziale Se tutti gli autovalori di A hanno Re λi < 0: • l’origine è l’unico equilibrio ed è globalmente asintoticamente stabile; • la convergenza è esponenziale. Dimostrazione 1. Nessun autovalore è nullo, quindi det A̸ = 0 e l’origine è l’unico equilibrio. 2. Sia δa il raggio della stabilità asintotica. Dato x(t0) qualunque, si sceglie h > 0 con h∥x(t0)∥ < δa. Lo stato z = hx soddisfa ̇z = h ̇x = Az, la stessa equazione. Quindi z(t) → 0, e anche x(t) = z(t)/h → 0. 3. Sia 0 < λ < mini | Re λi|. Ogni legge theλit moltiplicata per eλt tende ancora a zero, quindi è limitata. Allora ∥eAt∥ ≤ M e−λt per un M > 0. □ Osservazione – Autovalore nullo Con un autovalore nullo gli equilibri formano Ker A e nessuno è isolato, quindi il sistema è semplicemente stabile o instabile, mai asintoticamente stabile. Un equilibrio unico non basta però per la stabilità asintotica. Con autovalori ±jω semplici, det A = ω2̸ = 0 e l’origine è unica ma solo semplicemente stabile. Proposizione – Stabilità dei moti di un sistema lineare Per ̇x = Ax + Bu lo scostamento fra due moti con lo stesso ingresso soddisfa ̇ξ = Aξ. Ogni moto ha quindi la stabilità dell’origine di ̇x = Ax, cioè la stabilità interna. Dimostrazione ̇ξ = ̇xp − ̇x = Axp + Bu − (Ax + Bu) = A(xp − x) = Aξ. □ Canale 2 · Prof.ssa Claudia Califano 6

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8 Esempi Esempio – Stabilità di sistemi del secondo ordine Per matrici triangolari gli autovalori stanno sulla diagonale; con un autovalore doppio la molteplicità geometrica è 2 − rk(A − λI). A Autovalori Leggi in eAt Stabilità −1 2 0 −3 −1, −3 e−t, e−3t asintotica −1 1 0 −1 −1 doppio, un autovettore e−t, t e−t asintotica ( 0 1 −1 0 ) ±j cos t, sin t semplice ( 0 0 0 0 ) 0 doppio, due autovettori 1 semplice ( 0 1 0 0 ) 0 doppio, un autovettore 1, t instabile ( 1 0 0 −2 ) 1, −2 et, e−2t instabile ( 1 1 0 1 ) 1 doppio, un autovettore et, t et instabile Le tre matrici con un blocco di Jordan differiscono solo per Re λ, e il fattore t decide soltanto per λ = 0. 9 Il segno degli autovalori: regola di Cartesio Per la stabilità basta il segno della parte reale degli autovalori, non il loro valore. Proposizione – Regola di Cartesio per il secondo grado Nel polinomio λ2 + a1λ + a0, con a1̸ = 0 e a0̸ = 0, una variazione è un cambio di segno fra coefficienti consecutivi e una permanenza un segno ripetuto. Allora: • le radici con parte reale positiva sono tante quante le variazioni; • se a1 > 0 e a0 > 0, le radici hanno entrambe parte reale negativa. Canale 2 · Prof.ssa Claudia Califano 7

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Dimostrazione Le radici hanno somma −a1 e prodotto a0. 1. Con a0 < 0 (una variazione) sono reali di segno opposto: una positiva. 2. Con a0 > 0 sono reali dello stesso segno o complesse coniugate, con parte reale di segno uguale a quello di −a1: negativa se a1 > 0 (zero variazioni), positiva se a1 < 0 (due variazioni). □ Esempio – Il massa-molla-smorzatore Il carrello del Capitolo 1 ha polinomio λ2 + b M λ + K M , con M > 0 e K > 0: • con attrito, b > 0: zero variazioni, quindi è asintoticamente stabile. Il carrello spostato torna all’equilibrio, con o senza oscillazioni; • senza attrito, b = 0: autovalori ±jpK/M semplici, quindi è semplicemente stabile e oscilla per sempre. Un sistema meccanico che dissipa energia è stabile. Una costante elastica K < 0 darebbe una variazione e l’instabilità, ma non è fisica. L’Esercizio 1 studia il caso M = 1, b = 4, K = 5. Per un polinomio di grado maggiore le variazioni non bastano. Il criterio di Routh generalizza la regola: dice in quale semipiano stanno le radici, senza calcolarle. Riepilogo • Equilibrio: f (xe, ue) = 0; per ̇x = Ax, Ker A. • Stabilità: ∀ε ∃δε: partendo entro δε si resta entro ε. • Asintotica: stabile e x(t) → xe; richiede un equilibrio isolato. • Esponenziale: ∥x(t) − xe∥ ≤ ε e−λ(t−t0); globale: da ogni stato iniziale. • Moto: lo scostamento ξ = xp − x ha l’equilibrio ξ = 0; nel lineare ̇ξ = Aξ. • Stabilità interna: asintotica se Re λi < 0; semplice se Re λi ≤ 0 con molteplicità uguali sull’asse immaginario. • Lineare: la stabilità asintotica è globale ed esponenziale; con un autovalore nullo è impossibile. • Cartesio: per λ2 + a1λ + a0, radici a parte reale positiva quante le variazioni di segno. Canale 2 · Prof.ssa Claudia Califano 8

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10 Esercizi Esercizio 1 – Un massa-molla-smorzatore Per il sistema ̇x1 = x2, ̇x2 = −5x1 − 4x2 + u, y = x1 (a) tracciare lo schema di simulazione; (b) studiare la stabilità interna; (c) calcolare l’uscita in evoluzione libera da x0 = ( 1 1 ) e descrivere la traiettoria nello stato. Soluzione a pagina 11 → Esercizio 2 – Esonero del 13/11/2023 (variante B), Canale 2, Prof.ssa Claudia Califano, esercizio 1, adattato Si consideri il sistema descritto da ̇x(t) =    2 1 1 −1 2 1 0 0 −1    x(t) +    1 1 0    u(t), y(t) = 0 0 1 x(t). Studiare la stabilità interna. Soluzione a pagina 12 → Esercizio 3 – Esonero del 13/11/2023 (variante B), Canale 2, Prof.ssa Claudia Califano, esercizio 2 Determinare una rappresentazione con lo spazio di stato di un sistema descritto dall’equazione differenziale y(3)(t) + 2y(2)(t) + k ̇y(t) + 2ky(t) = u(t). Per il sistema determinato studiare la stabilità del sistema al variare del parametro k. Soluzione a pagina 12 → Canale 2 · Prof.ssa Claudia Califano 9

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Esercizio 4 – Appello del 08/01/2025, Canale 2, Prof.ssa Claudia Califano, esercizio 1, adattato Si consideri il sistema ̇x(t) =    −3 −1 1 0 1 5 0 −1 −1    x(t) +    1 5 2    u(t), y(t) = 1 0 1 x(t). Studiare la stabilità interna del sistema dato. Soluzione a pagina 12 → Canale 2 · Prof.ssa Claudia Califano 10

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11 Soluzioni Soluzione dell’Esercizio 1 – Un massa-molla-smorzatore (a) Due integratori in cascata: il primo riceve ̇x2 e dà x2 = ̇x1, il secondo dà x1 = y. Il sommatore davanti al primo riceve u, −5x1 e −4x2. u Z Z y −4 −5 ̇x2 x2 = ̇x1 x1 (b) A = ( 0 1 −5 −4 ) è in forma compagna: λ2 + 4λ + 5. Zero variazioni, quindi parte reale negativa: le radici sono −2 ± j (α = −2, ω = 1). Il sistema è asintoticamente stabile. (c) Per λ = −2 + j, da (A − λI)u = 0 la prima riga dà (2 − j) a + b = 0. Con a = 1, u = 1 −2+j , quindi ua = 1 −2 ! , ub = 0 1 ! . Controllo: Aua = ( −2 3 ) = αua − ωub e Aub = ( 1 −4 ) = ωua + αub. Da x0 = caua + cbub: ca = 1 e −2 + cb = 1, quindi cb = 3. Con la proposizione «Evoluzione libera con una coppia complessa» del Capitolo 4, m = √10, sin φ = 1/√10, cos φ = 3/√10, cioè φ = arctan 1 3 , e xl(t) = √10 e−2tsin(t + φ) ua + cos(t + φ) ub . L’uscita è la prima componente, e ub ha la prima componente nulla: yl(t) = √10 e−2t sin t + arctan 1 3 = e−2t(cos t + 3 sin t). La traiettoria è una spirale che converge all’origine. Da x0 la velocità è Ax0 = ( 1 −9 ), quindi il verso è orario. Con e−2t in un giro, cioè 2π, il raggio si riduce di e−4π: la spirale si stringe quasi subito. ← Torna all’Esercizio 1, pagina 9 Canale 2 · Prof.ssa Claudia Califano 11

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Soluzione dell’Esercizio 2 – Esonero del 13/11/2023 (variante B), Canale 2, Prof.ssa Claudia Califano, esercizio 1, adattato A è triangolare superiore a blocchi. Il blocco ( 2 1 −1 2 ), della forma ( α ω −ω α ), ha autovalori 2 ± j, e l’ultimo elemento dà −1. La coppia 2 ± j ha parte reale positiva, quindi il sistema è instabile: il suo modo pseudoperiodico è una spirale divergente. Basta un solo modo divergente, anche se −1 dà un modo convergente. ← Torna all’Esercizio 2, pagina 9 Soluzione dell’Esercizio 3 – Esonero del 13/11/2023 (variante B), Canale 2, Prof.ssa Claudia Califano, esercizio 2 Rappresentazione. Con x1 = y, x2 = ̇y, x3 = ̈y: A =    0 1 0 0 0 1 −2k −k −2    , B =    0 0 1    , C = 1 0 0 , D = 0. Autovalori. Dall’ultima riga della forma compagna, det(λI − A) = λ3 + 2λ2 + kλ + 2k = (λ + 2)(λ2 + k). Un autovalore è sempre −2; gli altri sono le radici di λ2 + k. Stabilità. • k > 0: ±j√k, semplici sull’asse immaginario. Molteplicità uguali, quindi stabilità semplice. • k < 0: ±√−k, e √−k > 0, quindi instabile. • k = 0: 0 doppio. A ha le ultime due righe indipendenti, rk A = 2, quindi un solo autovettore: molteplicità geometrica 1 < 2, quindi instabile. Per nessun k il sistema è asintoticamente stabile. ← Torna all’Esercizio 3, pagina 9 Soluzione dell’Esercizio 4 – Appello del 08/01/2025, Canale 2, Prof.ssa Claudia Califano, esercizio 1, adattato La prima colonna di A è −3 0 0 , quindi A è triangolare a blocchi: un autovalore è −3, gli altri sono quelli di ( 1 5 −1 −1 ), radici di (λ − 1)(λ + 1) + 5 = λ2 + 4, cioè ±2j. Nessun autovalore ha parte reale positiva. La coppia ±2j sta sull’asse immaginario ed è semplice, quindi le molteplicità coincidono: il sistema è semplicemente stabi- Canale 2 · Prof.ssa Claudia Califano 12

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le, non asintoticamente. Il modo di −3 converge, quello di ±2j oscilla con ampiezza costante. ← Torna all’Esercizio 4, pagina 10 Canale 2 · Prof.ssa Claudia Califano 13

Entrambi

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