Glossario

Sistemi Dinamici · Canale 1 · 29 voci

1Sistemi dinamici e rappresentazione esplicita

x (t)

StatoVettore ·

R^{n}

Ciò che il sistema ricorda del passato: insieme all'ingresso basta a prevederne il futuro.

x ˙ (t) = A x (t) + B u (t)

Vedi anche $u (t)$ , $y (t)$ , $Φ (t)$ Leggi a pagina 3

u (t)

IngressoVettore ·

R^{p}

Ciò con cui l'esterno agisce sul sistema: la causa.

Vedi anche $x (t)$ , $y (t)$ Leggi a pagina 3

y (t)

UscitaVettore ·

R^{q}

Ciò che si misura del sistema: l'effetto.

y (t) = C x (t) + D u (t)

Vedi anche $x (t)$ , $u (t)$ Leggi a pagina 11

x_{L} (t)

Evoluzione liberaFunzione

Come si muove il sistema lasciato a sé: conta solo lo stato iniziale, l'ingresso è zero.

x_{L} (t) = e^{A (t - t_{0})} x_{0}

Vedi anche $Φ (t)$ , $e^{λ_{i} t}$ Leggi a pagina 9

Φ (t)

Matrice di transizioneMatrice ·

n \times n

Fa avanzare lo stato nel tempo quando l'ingresso è nullo.

x_{L} (t) = Φ (t - t_{0}) x_{0} Φ (t) = e^{A t}

Vedi anche $x_{L} (t)$ , $e^{A t}$ Leggi a pagina 12

H (t)

Risposta impulsiva dello statoMatrice ·

n \times p

Lo stato prodotto da un impulso in ingresso, partendo da stato nullo.

H (t) = e^{A t} B

Vedi anche $δ (t)$ , $W (t)$ Leggi a pagina 14

Ψ (t)

Evoluzione libera in uscitaMatrice ·

q \times n

Come lo stato iniziale si vede in uscita, con ingresso nullo.

Ψ (t) = C e^{A t}

Vedi anche $Φ (t)$ , $y (t)$ Leggi a pagina 15

W (t)

Risposta impulsivaMatrice ·

q \times p

L'uscita prodotta da un impulso in ingresso, partendo da stato nullo.

W (t) = C e^{A t} B + D δ (t)

Vedi anche $δ (t)$ , $W (s)$ Leggi a pagina 17

δ (t)

Impulso di DiracSegnale

Un colpo istantaneo in $t = 0$ , di area $1$ .

\int_{- \infty}^{+ \infty} δ (t) d t = 1

Vedi anche $W (t)$ Leggi a pagina 17

2Rappresentazione differenziale e modi naturali

e^{A t}

Esponenziale di matriceMatrice ·

n \times n

La soluzione di $x ˙ = A x$ : porta l'esponenziale $e^{a t}$ dai numeri alle matrici.

e^{A t} = k \geq 0 \sum \frac{( A t ) ^{k}}{k !}

Vedi anche $Φ (t)$ , $λ_{i}$ Leggi a pagina 4

λ_{i}

AutovaloreScalare

Il numero che decide se il suo modo si spegne, resta costante o esplode.

det (A - λ_{i} I) = 0

Vedi anche $e^{λ_{i} t}$ , stabilità asintoticaLeggi a pagina 6

u_{i}, v_{i}

Autovettori destro e sinistroVettori

Le direzioni proprie di $A$ : $u_{i}$ è una colonna di $U$ , $v_{i}$ la riga corrispondente di $U^{- 1}$ .

A u_{i} = λ_{i} u_{i} v_{i} u_{j} = δ_{ij}

Vedi anche $λ_{i}$ , modo osservabile, modo eccitabileLeggi a pagina 7

e^{λ_{i} t}

Modo naturaleConcetto

Un mattone dell'evoluzione libera: un esponenziale per ogni autovalore.

x_{L} (t) = i \sum c_{i} e^{λ_{i} t} u_{i}

Vedi anche $λ_{i}$ , $x_{L} (t)$ Leggi a pagina 9

Modo osservabileConcetto

Un modo che si vede in uscita.

C u_{i} \neq = 0

Vedi anche modo eccitabile, $y (t)$ Leggi a pagina 11

Modo eccitabileConcetto

Un modo che l'ingresso riesce a mettere in moto.

v_{i} B \neq = 0

Vedi anche modo osservabile, $u (t)$ Leggi a pagina 12

3Autovalori multipli e autovalori complessi

r_{i}

Molteplicità algebricaIntero

Quante volte $λ_{i}$ è radice del polinomio caratteristico.

det (A - λ I) = (- 1)^{n} i \prod (λ - λ_{i})^{r_{i}}

Vedi anche $g_{i}$ Leggi a pagina 1

g_{i}

Molteplicità geometricaIntero

Quanti autovettori indipendenti ha $λ_{i}$ : se $g_{i} < r_{i}$ , $A$ non è diagonalizzabile.

g_{i} = n - rk (A - λ_{i} I) 1 \leq g_{i} \leq r_{i}

Vedi anche $r_{i}$ , $R_{i}$ Leggi a pagina 1

R_{i}

Matrice residuaMatrice ·

n \times n

Il coefficiente di $e^{λ_{i} t}$ quando $λ_{i}$ è multiplo.

e^{A t} = i \sum e^{λ_{i} t} R_{i} R_{i} = U_{i} V_{i}

Vedi anche $g_{i}$ , $e^{A t}$ Leggi a pagina 2

J

Blocco realeMatrice ·

2 \times 2

Sostituisce una coppia complessa $α \pm iω$ con soli numeri reali.

J = (α - ω ω α)

Vedi anche modo pseudoperiodicoLeggi a pagina 7

Modo pseudoperiodicoConcetto

Un'oscillazione che si smorza o cresce: la firma di una coppia complessa.

m e^{α t} sin (ω t + φ)

Vedi anche $J$ , $e^{λ_{i} t}$ Leggi a pagina 11

4Tempo discreto e sistemi a tempo campionato

T

Periodo di campionamentoScalare

Il tempo che passa fra due campioni.

y_{d} (k) = y (k T)

Vedi anche $ZOH$ , $A_{d}$ Leggi a pagina 7

ZOH

Mantenitore di ordine zeroDispositivo

Tiene l'ingresso fermo fra un campione e il successivo.

u (t) = u_{d} (k) k T \leq t < (k + 1) T

Vedi anche $T$ Leggi a pagina 7

A_{d}

Matrice del sistema campionatoMatrice ·

n \times n

La $A$ del sistema discreto equivalente: un passo lungo $T$ .

A_{d} = e^{A T}

Vedi anche $T$ , $e^{A t}$ Leggi a pagina 8

5La trasformata di Laplace

L

Trasformata di LaplaceOperatore

Trasforma le derivate in prodotti per $s$ : le equazioni differenziali diventano algebriche.

F (s) = \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t

Vedi anche $W (s)$ , $Z$ Leggi a pagina 1

W (s)

Funzione di trasferimentoMatrice ·

q \times p

Il sistema nel dominio di $s$ : da stato nullo l'uscita è $W (s)$ per l'ingresso.

W (s) = C (s I - A)^{- 1} B + D

Vedi anche $W (t)$ , $p_{i}$ Leggi a pagina 3

6Antitrasformazione, poli e residui

p_{i}

PoloScalare

Un valore di $s$ dove $W (s)$ va all'infinito: ogni polo viene da un modo eccitabile e osservabile.

Vedi anche $W (s)$ , modo eccitabile, modo osservabileLeggi a pagina 10

7La trasformata Z

Z

Trasformata ZOperatore

La Laplace del tempo discreto: i ritardi diventano potenze di $z$ .

X (z) = k \geq 0 \sum x (k) z^{- k}

Vedi anche $L$ Leggi a pagina 1

8Stabilità

x_{e}

Punto di equilibrioVettore ·

R^{n}

Uno stato in cui il sistema resta fermo, con ingresso costante.

A x_{e} + B u_{e} = 0

Vedi anche stabilità asintoticaLeggi a pagina 1

Stabilità asintoticaConcetto

Dopo una piccola spinta il sistema torna all'equilibrio.

Re λ_{i} ∣ λ_{i} ∣ < 0 < 1 a tempo continuo a tempo discreto

Vedi anche $x_{e}$ , $λ_{i}$ Leggi a pagina 3