Capitolo 1 · C1

Sistemi dinamici e rappresentazione esplicita

Sistema orientato, Sistema dinamico, Causalità, Stato e separazione, Stazionarietà, Linearità, Tempo continuo, discreto e campionato, Evoluzione libera e forzata, Trasformazione d’uscita, Matrice di transizione, Impulso di Dirac e matrice W, Risposte impulsive, Causalità e memoria

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1 Il concetto di sistema Definizione – Sistema Un sistema è un insieme di almeno due elementi, collegati tra loro, che concorrono a un funzionamento comune. Gli elementi non sono necessariamente oggetti fisici, e possono essere entità astratte (per esempio il tasso di sconto in un sistema economico). Ciascun elemento può essere a sua volta considerato un sistema. S La definizione è generica perché lo è l’approccio. Si lavora con modelli matematici, e le tecniche sviluppate per un modello valgono per tutti i sistemi che esso rappresenta, elettrici, meccanici, economici o biologici. 2 Orientamento: cause ed effetti Definizione – Sistema orientato; ingressi e uscite Un sistema è orientato quando nella sua descrizione sono distinte • gli ingressi u (le cause): grandezze che influenzano il sistema, • le uscite y (gli effetti): grandezze influenzate dal sistema e che interessa osservare. Ingressi e uscite possono essere più d’uno. Il modello descrive il legame causale tra ingressi e uscite. Sistema S u1 u2 y1 y2 cause (IN) effetti (OUT) Che cosa sia causa e che cosa effetto dipende dal punto di vista, quindi l’orientamento si sceglie e non è dato dal sistema. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 1

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Esempio – Condensatore Per un condensatore di capacità C corrente e tensione sono legate da i(t) = C dv(t) dt . Questa è una relazione tra i e v, e da sola non dice chi è la causa. L’orientamento nasce dalle relazioni con l’esterno: se si collega un generatore di corrente, la corrente i diventa l’ingresso e la tensione v, che ne è influenzata, l’uscita. Orientare obbliga a descrivere ingressi, uscite e la relazione tra loro, con i rispettivi domini. Lo strumento per farlo in modo univoco è la matematica. Il legame tra ciò che entra e ciò che esce è una funzione o, più in generale, un funzionale. 3 Sistemi dinamici Definizione – Sistema dinamico Un sistema è dinamico se le sue condizioni in un certo istante t non dipendono solo da ciò che accade in quell’istante (l’ingresso al tempo t), ma anche dalla storia precedente del sistema. Entra quindi in gioco il tempo t. Esempio – Il secchio All’istante t si versa un litro d’acqua in un secchio. Quanta acqua c’è nel secchio? Dipende da quanta ce n’era prima. Per rispondere bisogna conoscere la storia, quindi il sistema è dinamico. Osservazione – Dinamico non significa «che si muove» Un sistema dinamico può stare fermo, e uno non dinamico può muoversi, perché dinamico è una caratteristica dell’effetto delle cause, non del movimento. Il dondolo si muove, ma se lo si descrive con l’angolo dell’asse la posizione di un seggiolino determina subito quella dell’altro, quindi con questa descrizione non è dinamico. Nota – I due istanti rilevanti In un esperimento su un sistema dinamico gli istanti da considerare sono due: • l’istante di osservazione t, in cui si guarda il sistema, • l’istante iniziale t0, a partire dal quale si hanno informazioni certe su che cosa sta influenzando il sistema e su come lo sta influenzando. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 2

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Se da t0 si versa nel secchio un litro all’ora, dopo un’ora la quantità d’acqua resta ignota finché non si sa quanta ce n’era in t0. 4 Descrizione ingresso-uscita e causalità Definizione – Causalità Un sistema è causale se l’uscita all’istante t dipende dai valori dell’ingresso fino all’istante t e non da quelli futuri, cioè il futuro non determina il presente. Tutti i sistemi fisici conosciuti sono causali. D’ora in poi il sistema studiato è astratto, orientato, dinamico e causale. Definizione – Restrizione di una funzione Data una funzione del tempo u(·) e un intervallo I, si indica con u I la sua restrizione a I, cioè il segmento di funzione {u(τ ), τ ∈ I}. Per esempio u [t0,t) è l’andamento dell’ingresso da t0 (incluso) a t (escluso). Poiché il sistema è dinamico e causale, l’uscita in t è un funzionale di tutto l’ingresso passato: y(t) = F t, u (−∞,t) . Fra gli argomenti compare anche t, perché della forma di F non si sa nulla. Con più ingressi e più uscite, ogni uscita yi è un funzionale di questo tipo, non per forza di tutti gli ingressi. 5 Lo stato Definizione – Stato Lo stato x(t0) è una grandezza che racchiude, all’istante t0, tutta l’informazione della storia u (−∞,t0) che serve a descrivere il comportamento successivo: u (−∞,t0) −→ x(t0). Dice come sta il sistema in t0, mentre come ci è arrivato non interessa. Per il secchio lo stato è la quantità d’acqua presente quando si arriva, e non importa se è entrata una goccia al giorno per cent’anni o un litro tutto insieme. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 3

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Osservazione – Sufficiente, non completo Dallo stato non si risale alla storia che lo ha prodotto, e per esempio dalla quantità d’acqua non si ricostruisce come è stata versata. Lo stato contiene le informazioni sufficienti per il seguito, non tutte le informazioni. Con questa scelta, dato t0 si assume che x(t0) prenda il posto di u (−∞,t0), e la descrizione diventa y(t) = F t, t0, x(t0), u [t0,t) . (1) L’ingresso è stato spezzato, e la parte prima di t0 è sostituita dallo stato. 5.1 Sufficienza dello stato: la proprietà di separazione La (1) è un’ipotesi, che vale spesso ma non sempre, e si verifica con la proprietà seguente. Definizione – Proprietà di separazione Vale la proprietà di separazione se fermarsi in un istante intermedio t1 e ripartire dallo stato raggiunto x(t1) dà la stessa uscita dell’esperimento intero, qualunque siano t1, lo stato iniziale e l’ingresso: F t, t1, x(t1), u [t1,t) = F t, t0, x(t0), u [t0,t) . In questo caso x è una buona scelta di stato. τ t0 t1 t x(t0), u [t0,t) ⇒ y(t) x(t0), u [t0,t1) ⇒ x(t1) x(t1), u [t1,t) ⇒ y′(t) I due esperimenti usano lo stesso ingresso: 1. intero: da x(t0) con u [t0,t) si calcola y(t) (in alto nella figura), 2. spezzato: da x(t0) con u [t0,t1) si arriva a x(t1), poi ci si dimentica di come ci si è arrivati e da x(t1), con u [t1,t), si calcola y′(t) (in basso). La proprietà chiede y′(t) = y(t). Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 4

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Osservazione Non basta che l’uguaglianza valga per un particolare t1 (potrebbe essere un caso fortunato), perché deve valere sempre. La proprietà non garantisce che lo stato esista, ma dice che se la funzione che rappresenta il sistema la soddisfa, lo stato è sufficiente e il dettaglio del passato non serve. 6 Rappresentazione con lo stato Definizione – Rappresentazione con lo stato Un sistema dinamico causale è descritto da una rappresentazione con lo stato x(t) = φt, t0, x(t0), u [t0,t) (funzione di transizione dello stato) y(t) = ηt, x(t), u(t) (trasformazione d’uscita) • φ descrive come evolve lo stato, con la stessa struttura della (1), • η dà l’uscita all’istante t dallo stato e dall’ingresso nello stesso istante. x u y φ η L’esperimento spezzato ha bisogno di x(t1), che la (1) non fornisce, e per questo la rappresentazione si divide in due. La storia la prende x, e da x si ricava y. Osservazione – Perché η non contiene la storia Noto lo stato in t, l’uscita in t dipende da x(t) e da ciò che è successo tra t e t, cioè da niente. La dipendenza esplicita da t resta, perché della forma di η non si sa ancora nulla. In termini di φ la proprietà di separazione dice che comporre due evoluzioni con lo stesso ingresso dà ancora un’evoluzione: per t0 ≤ t1 ≤ t φt, t0, x(t0), u [t0,t) = φ t, t1, φt1, t0, x(t0), u [t0,t1) | {z } x(t1) , u [t1,t) . Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 5

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6.1 L’intervallo aperto in t e gli effetti istantanei L’ingresso all’istante t non influenza lo stato all’istante t, e per questo in φ l’intervallo [t0, t) è aperto in t. Il sistema è dinamico, e quando arriva un ingresso le grandezze non cambiano istantaneamente. Un eventuale legame diretto tra ingresso e uscita si mette in η, che è una relazione istantanea, e non nella dinamica. L’alternativa, chiudere l’intervallo in φ, cambierebbe quasi solo le notazioni. Osservazione – I legami istantanei sono rari Nei sistemi fisici un effetto davvero istantaneo è quasi impossibile. La lampadina non si accende istantaneamente, e nella carica di un condensatore la tensione non fa un gradino. Il legame diretto compare nei modelli come semplificazione. Le componenti molto più veloci delle altre si trattano come istantanee e si mettono in η, invece di descriverne la dinamica. 7 Stazionarietà Un sistema è stazionario se lo stesso esperimento, fatto in qualunque momento, dà lo stesso risultato. La proprietà riguarda la dipendenza esplicita di φ ed η dal tempo, cioè da t e t0 scritti fra gli argomenti, non quella attraverso x(t), u(t), u [t0,t). 7.1 L’esperimento traslato nel tempo L’esperimento originale va da t0 a t, parte da x(t0) con ingresso u [t0,t). Lo stesso esperimento spostato di ∆: • inizia in t0 + ∆ e finisce in t + ∆ (stessa durata), • parte dallo stesso stato iniziale x(t0), non da «x(t0 + ∆)», perché altrimenti non sarebbe lo stesso esperimento, • usa lo stesso ingresso, traslato, cioè non il pezzo di u su [t0 + ∆, t + ∆), ma il vecchio pezzo spostato in avanti di ∆. Definizione – Ingresso traslato Dato l’ingresso u(·) e ∆ ∈ R, l’ingresso traslato di ∆ è u∆(τ ) := u(τ − ∆). Il suo pezzo su [t0 + ∆, t + ∆) coincide, punto per punto, con il pezzo di u su [t0, t) spostato in avanti di ∆. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 6

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τ u t0 t t0 + ∆ t + ∆ traslazione di ∆ u∆ u In arancione il pezzo di ingresso dell’esperimento originale, in blu lo stesso pezzo traslato di ∆. Il tratto di u (nero) su [t0 + ∆, t + ∆) non va usato. Definizione – Sistema stazionario Una rappresentazione con lo stato è stazionaria se, per ogni ∆ ∈ R (e per ogni t0 ≤ t, x(t0), u), l’esperimento traslato dà lo stesso risultato dell’originale: φt + ∆, t0 + ∆, x(t0), u∆ [t0+∆, t+∆) = φt, t0, x(t0), u [t0,t) , ηt + ∆, x, u = ηt, x, u. Nella seconda si mettono lo stesso stato e lo stesso valore d’ingresso in un altro istante. L’uguaglianza deve valere per ogni ∆, quindi un sistema che si ripete uguale solo dopo un periodo non è stazionario. 7.2 Conseguenza: conta solo la durata Definizione – Rappresentazione stazionaria Per un sistema stazionario la rappresentazione con lo stato si scrive x(t) = φt − t0, x(t0), u [t0,t) , y(t) = ηx(t), u(t). Non contano l’istante d’inizio e quello d’osservazione, ma la durata dell’esperimento t − t0, e così φ passa da quattro argomenti a tre. Si ottiene scegliendo nella definizione un ∆ particolare, lecito perché la proprietà vale per ogni ∆: • per φ, ∆ = −t0 riporta l’esperimento a partire da 0: x(t) = φt − t0, 0, x(t0), u−t0 [0, t−t0) ; • per η, ∆ = −t dà y(t) = η0, x(t), u(t). Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 7

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Nota – Abuso di notazione A rigore, dopo la scelta ∆ = −t0 l’ingresso in φ è il pezzo di u riportato su [0, t − t0). Si continua a scrivere u [t0,t), sottintendendo che conta solo l’andamento sull’intervallo, non la sua posizione sull’asse dei tempi. 7.3 Stazionarietà e scelta del modello La stazionarietà dipende anche da come si costruisce il modello. Esempio – Aereo e carburante Scrivendo per un aereo l’equazione del moto F = M a, la massa M non è costante, perché l’aereo consuma carburante, quindi lo stesso esperimento di accelerazione, ripetuto più tardi, dà risultati diversi e il modello non è stazionario. Diventa stazionario se la quantità di carburante è una delle grandezze descritte, perché a parità di carburante lo stesso esperimento dà lo stesso risultato. Molti sistemi non stazionari, su un intervallo di tempo limitato, variano così poco da essere di fatto stazionari. Nel corso i sistemi sono sempre stazionari. 8 Linearità Definizione – Rappresentazione lineare La rappresentazione stazionaria è lineare se, per ogni scelta di stati iniziali x1(t0), x2(t0), di ingressi u1, u2, di coefficienti α, β e di istanti t0 ≤ t, φt − t0, αx1(t0) + βx2(t0), αu1 [t0,t) + βu2 [t0,t) = α x1(t) + β x2(t), ηαx1(t) + βx2(t), αu1(t) + βu2(t) = α ηx1(t), u1(t) + β ηx2(t), u2(t), dove xi(t) = φt − t0, xi(t0), ui [t0,t) . In parole: la combinazione di esperimenti è un esperimento, e la risposta alla combinazione è la combinazione delle risposte. È la definizione di funzione lineare, f (αx1 + βx2) = αf (x1) + βf (x2), estesa al principio di sovrapposizione degli effetti. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 8

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Osservazione – Si combinano stato e ingresso insieme Le cause sono tutto ciò che determina l’effetto: dove si trova il sistema (lo stato iniziale) e ciò che gli si applica (l’ingresso). La linearità si valuta sull’intero dominio, quindi si cambiano entrambi gli argomenti con la stessa combinazione, e non uno solo lasciando fermo l’altro. Come ogni ipotesi va verificata, perché molti sistemi non sono lineari. 8.1 Evoluzione libera ed evoluzione forzata Definizione – Evoluzione libera e forzata Dati uno stato iniziale x(t0) e un ingresso u: • l’evoluzione libera parte da x(t0) con ingresso nullo: φL t − t0, x(t0) := φt − t0, x(t0), 0; • l’evoluzione forzata applica u partendo dallo stato nullo: φF t − t0, u [t0,t) := φt − t0, 0, u [t0,t) . Esempio – Il secchio Arrivare con tre litri nel secchio e versarci acqua si studia in due pezzi: • evoluzione libera: il secchio parte da tre litri e non si fa niente (se ha un buco, si svuota da solo), • evoluzione forzata: il secchio parte vuoto e lo si riempie. Proposizione – Libera più forzata Se la rappresentazione è lineare, per ogni x(t0) e ogni ingresso x(t) = φL t − t0, x(t0) + φF t − t0, u [t0,t) . Allo stesso modo, con ηL x(t) := ηx(t), 0 e ηF u(t) := η0, u(t), y(t) = ηL x(t) + ηF u(t). Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 9

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Dimostrazione Si applica la definizione di linearità, con α = β = 1, ai due esperimenti seguenti: esperimento libero esperimento forzato somma stato iniziale x(t0) 0 x(t0) ingresso 0 u [t0,t) u [t0,t) stato in t φL φF φL + φF Per la linearità l’esperimento della colonna «somma» ha come risultato la somma dei risultati. Ma è l’esperimento completo, che dà x(t), quindi x(t) = φL + φF . Per l’uscita si ragiona allo stesso modo con x(t), 0 e 0, u(t). □ La proprietà di separazione compone due evoluzioni in cascata, una dopo l’altra, mentre la linearità le mette in parallelo, sullo stesso intervallo, e le somma. Osservazione – Linearità senza stazionarietà La separazione si ottiene dalla sola linearità, con la stessa scelta. Per un sistema lineare ma non stazionario restano t e t0 separati: x(t) = φL t, t0, x(t0) + φF t, t0, u [t0,t) , y(t) = ηL t, x(t) + ηF t, u(t), con φL(t, t0, x(t0)) := φ(t, t0, x(t0), 0) e le altre definite allo stesso modo. 8.2 Spazi lineari per stato, ingresso e uscita Definizione – Spazio di stato e spazi di ingresso e uscita Per combinare linearmente stati, ingressi e uscite, questi devono stare in spazi lineari: • lo stato sta nello spazio di stato, di dimensione n: x(t) ∈ X ⊆ Rn, cioè lo stato ha n componenti, • i segmenti di ingresso stanno in uno spazio lineare di funzioni: u [t0,t) ∈ U[t0,t), funzioni su [t0, t) a valori in Rp, • u(t) ∈ U ⊆ Rp (p ingressi) e y(t) ∈ Y ⊆ Rq (q uscite). stato x(t) ∈ Rn u(t) ∈ Rp y(t) ∈ Rq Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 10

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Gli ingressi e le uscite «tanti» del sistema orientato sono le componenti dei vettori u(t) e y(t), e per esempio con quattro ingressi u(t) ha quattro componenti. Non vanno confusi u [t0,t), un segmento di funzione, e u(t), il suo valore in un istante. L’uscita contiene solo gli effetti che interessa vedere. Di un’automobile che parcheggia, per esempio, interessa la posizione, e non tutte le grandezze che la descrivono. Per questo l’uscita è tipicamente «più piccola» dello stato, e spesso p e q valgono 1. 9 Tempo continuo, discreto e campionato Definizione – Tempo continuo, discreto, campionato • Tempo continuo, t ∈ R: il sistema evolve e si può conoscere in ogni istante. • Tempo discreto, t ∈ Z: il sistema si aggiorna solo in istanti distinti. Fra un istante e il successivo non evolve, e lì non è nemmeno definito. • Campionato: il sistema è continuo, ma lo si osserva solo in istanti scelti da chi osserva, di solito a passo fisso T (t = kT ). Fra due osservazioni continua a evolvere. Esempio – La media dei voti L’ingresso è il voto di un esame, l’uscita è la media. La media cambia solo quando si sostiene un esame. Gli esami cadono a intervalli irregolari, ma non conta, perché gli istanti di aggiornamento si numerano 1, 2, 3, . . . e il tempo del sistema è l’indice dell’esame, non l’ora dell’orologio. t continuo: t ∈ R t discreto: t ∈ Z t campionato: t = kT Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 11

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10 La trasformazione d’uscita: y = Cx + Du Proposizione – Trasformazione d’uscita di un sistema lineare stazionario A tempo continuo e a tempo discreto ηL x(t) = C x(t), ηF u(t) = D u(t), y(t) = C x(t) + D u(t) con C matrice q × n (dallo stato all’uscita) e D matrice q × p (legame diretto dall’ingresso all’uscita), entrambe costanti. Dimostrazione 1. Linearità. ηL è lineare e manda un vettore di Rn in uno di Rq. L’unica funzione lineare fra vettori è il prodotto per una matrice (come y = kx nel caso scalare), quindi ηL(x) = C x, con C di q × n. Allo stesso modo ηF (u) = D u, con D di q × p. 2. Stazionarietà. η non dipende da t, quindi C e D sono costanti. 3. Istantaneità. η lega valori nello stesso istante e non guarda che cosa succede fra un istante e l’altro, quindi il risultato vale allo stesso modo a tempo continuo e a tempo discreto. Siccome servono solo linearità e stazionarietà, y = Cx + Du vale per tutti i sistemi lineari e stazionari. □ Osservazione – Se il sistema fosse lineare ma non stazionario La linearità spezzerebbe ancora η(t, x, u) = η(t, x, 0) + η(t, 0, u), ma il t non sparirebbe, perché in ogni istante la funzione lineare, cioè la matrice, sarebbe un’altra, y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t). 11 L’evoluzione libera: la matrice di transizione Definizione – Matrice di transizione Per un sistema lineare e stazionario φL t − t0, x(t0) = Φ(t − t0) x(t0), con Φ(·) matrice n×n funzione della sola durata t−t0, detta matrice di transizione dello stato. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 12

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φL è lineare nello stato iniziale, quindi è una matrice per x(t0). La matrice non è costante, perché lo stato raggiunto cambia con la durata dell’esperimento. Che dipenda da t−t0 non contraddice la stazionarietà, perché t − t0 non è un istante, ma quanto tempo è passato. 12 L’evoluzione forzata a tempo discreto Proposizione – Evoluzione dello stato a tempo discreto x(t) = Φ(t − t0) x(t0) + t−1X τ =t0 H(t − τ ) u(τ ) con H(·) matrice n×p. Il primo termine è l’evoluzione libera, la somma è l’evoluzione forzata φF . A tempo discreto il segmento di ingresso è una sequenza finita di valori: u [t0,t) = u(t0), u(t0 + 1), . . . , u(t − 1). L’ultimo valore è u(t − 1) perché l’intervallo è aperto in t, e quindi u(t) non entra nello stato all’istante t. 12.1 Derivazione 1. Scomposizione. Si scrive la sequenza come somma di sequenze con un solo valore non nullo: u [t0,t) = u(t0), 0, . . . , 0 + 0, u(t0 + 1), 0, . . . , 0 + · · · + 0, . . . , 0, u(t − 1). 2. Linearità. La risposta alla sequenza completa è la somma delle risposte alle sequenze elementari. Per causalità ciascuna non dipende dai valori che arrivano dopo. 3. Un solo valore. La risposta a una sequenza elementare è lineare in un solo vettore, quindi è una matrice per quel vettore, che dipende da quanto quel valore agisce. t0 t−1 = + + + I contributi dei singoli valori sono: • u(t0) arriva in t0, agisce per una durata t − t0 e dà H(t − t0) u(t0), • u(t0 + 1) arriva in t0 + 1, agisce per t − (t0 + 1) e dà Ht − (t0 + 1) u(t0 + 1), Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 13

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• l’ultimo, u(t − 1), agisce per una durata 1 e dà H(1) u(t − 1). Sommando e chiamando τ l’istante di arrivo di ciascun valore si ottiene la somma della proposizione. Nota – Errore tipico Il contributo di u(t0 +1) non è H(t−t0) u(t0 +1), perché scritto così il valore sarebbe arrivato in t0, mentre fino a t0 + 1 non c’era. Il contributo di ciascun valore dipende solo dalla distanza t−τ fra l’istante in cui l’ingresso è applicato e quello in cui si osserva lo stato, non da τ , ed è proprio questo che esprime la stazionarietà. Tutta l’evoluzione forzata sta in una sola funzione, H(·). 13 L’evoluzione forzata a tempo continuo Proposizione – Evoluzione dello stato a tempo continuo x(t) = Φ(t − t0) x(t0) + Z t t0 H(t − τ ) u(τ ) dτ con Φ(·) matrice n × n e H(·) matrice n × p. Si ragiona come nel caso discreto, con la somma che diventa un integrale. Ogni u(τ ) agisce per un tempo dτ e contribuisce con H(t − τ ) u(τ ) dτ . L’integrale è lineare nell’ingresso, come deve essere φF , e non dipende dal valore in un solo punto, quindi che l’intervallo sia aperto o chiuso in t non cambia nulla. Osservazione – Perché cambia solo la forma dello stato y = Cx + Du è la stessa nei due casi perché è istantanea. φF invece è una funzione di un segmento di funzione, che a tempo discreto è una sequenza e a tempo continuo una curva, e così nel primo caso si somma e nel secondo si integra. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 14

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Osservazione – Si può porre t0 = 0 In un sistema stazionario lo stesso esperimento dà lo stesso risultato in qualunque momento, quindi si può far partire il cronometro all’inizio, t0 = 0. Con x0 := x(0) x(t) = Φ(t) x0 + Z t 0 H(t − τ ) u(τ ) dτ : sparisce t0, ma la variabile di integrazione resta. In un sistema tempo-variante non si può fare, perché l’istante di inizio conta. Anche con t0 qualsiasi lo stato iniziale x(t0) si abbrevia spesso in x0, e quale sia l’istante iniziale si legge dagli estremi dell’integrale. 14 La forma esplicita dell’uscita Definizione – Matrice Ψ Ψ(t − t0) := C Φ(t − t0), matrice q × n. È l’evoluzione libera vista dall’uscita, cioè porta lo stato iniziale x(t0) direttamente in y(t). Definizione – Rappresentazione esplicita Sostituendo x(t) in y = Cx + Du e portando C dentro la somma o l’integrale: discreto: y(t) = Ψ(t − t0) x(t0) + t−1X τ =t0 C H(t − τ ) u(τ ) + D u(t), continuo: y(t) = Ψ(t − t0) x(t0) + Z t t0 C H(t − τ ) u(τ ) dτ + D u(t). Queste espressioni e quelle di x(t) sono la rappresentazione in forma esplicita, che dà lo stato e l’uscita a partire dallo stato iniziale e dall’ingresso. Per calcolare l’uscita non serve passare dallo stato, perché basta la sua forma esplicita. L’Esercizio 1 la usa con i numeri. 14.1 Il contributo diretto dell’ingresso Rispetto allo stato, nell’uscita avanza il termine D u(t), perché il legame diretto fra ingresso e uscita sta nella trasformazione d’uscita (Sezione 6). L’ingresso arriva quindi all’uscita per due strade: Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 15

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• attraverso lo stato, con i valori da t0 a t − 1 (a tempo discreto), ciascuno pesato con C H(t − τ ), • direttamente, con il solo valore in t, pesato con D. dinamica Φ, H C + D u x y 14.2 Tempo discreto: la matrice W Definizione – Matrice W a tempo discreto W (k) := (C H(k), k = 1, 2, . . . , t − t0, D, k = 0, y(t) = Ψ(t − t0) x(t0) + tX τ =t0 W (t − τ ) u(τ ) con W matrice q × p. Rispetto alla rappresentazione esplicita la somma si è allungata di un termine, e invece di fermarsi a t − 1 arriva a t. Il termine in più, τ = t, è a distanza zero e vale W (0) u(t) = D u(t), cioè il legame diretto, che così entra nella somma. tX τ =t0 W (t − τ ) u(τ ) = t−1X τ =t0 C H(t − τ ) u(τ ) | {z } attraverso lo stato + D u(t) | {z } τ =t Una sola funzione della distanza, W , pesa quindi entrambe le strade. La somma arriva a t perché l’uscita dipende dall’ingresso fino a t incluso, lo stato solo fino a t − 1. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 16

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15 L’impulso di Dirac e la matrice W a tempo continuo Definizione – Impulso di Dirac L’impulso (di Dirac) δ(·) non è una funzione in senso ordinario. Centrato in T , δ(τ − T ) è nullo ovunque tranne in τ = T , dove «vale infinito», e ha area 1: Z b a δ(τ − T ) dτ = (1 se T ∈ [a, b], 0 altrimenti. Proposizione – Proprietà di campionamento f (τ ) δ(τ − T ) = f (T ) δ(τ − T ), Z b a f (τ ) δ(τ − T ) dτ = f (T ) per T ∈ [a, b]. Un impulso centrato in un estremo dell’intervallo si considera contenuto nell’intervallo, quindi la proprietà vale anche per T = a e T = b. τ f (τ ) δ(τ − T ) f (T ) Ta b 15.1 Tempo continuo: la matrice W Definizione – Matrice W a tempo continuo W (t) := C H(t) + D δ(t), con W matrice q × p. A tempo discreto aggiungere D u(t) alla somma è immediato. A tempo continuo ogni istante pesa per un dτ infinitesimo, e l’impulso è l’unico modo formale di prendere, dentro un integrale, il solo valore in t. Si procede così: 1. con la proprietà di campionamento, usando τ come variabile dell’asse dei tempi (t è l’istante in cui si calcola l’uscita): D u(t) = Z t t0 D δ(t − τ ) u(τ ) dτ ; Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 17

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2. ora anche il legame diretto è un integrale da t0 a t di «qualcosa per u(τ )», e si raccoglie u(τ ): Z t t0 C H(t − τ ) u(τ ) dτ + D u(t) = Z t t0 C H(t − τ ) + D δ(t − τ ) | {z } W (t−τ ) u(τ ) dτ = Z t t0 W (t − τ ) u(τ ) dτ. Proposizione – Rappresentazione esplicita a tempo continuo x(t) = Φ(t − t0) x(t0) + Z t t0 H(t − τ ) u(τ ) dτ, y(t) = Ψ(t − t0) x(t0) + Z t t0 W (t − τ ) u(τ ) dτ. con Φ di n × n, H di n × p, Ψ = C Φ di q × n e W = C H + D δ di q × p. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 18

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tempo discreto tempo continuo x(t) Φ(t − t0) x(t0) + Pt−1 τ =t0 H(t − τ ) u(τ ) Φ(t − t0) x(t0) + R t t0 H(t − τ ) u(τ ) dτ y(t) Ψ(t − t0) x(t0) + Pt τ =t0 W (t − τ ) u(τ ) Ψ(t − t0) x(t0) + R t t0 W (t − τ ) u(τ ) dτ W W (k) = C H(k) per k ≥ 1, W (0) = D W (t) = C H(t) + D δ(t) legame diretto termine τ = t: W (0) u(t) = D u(t) D δ(t − τ ) dentro l’integrale Osservazione – Il legame diretto si riconosce in W C H(t) può essere una funzione qualsiasi (esponenziali, seni, . . . ), mentre D δ(t) è un impulso e si riconosce senza calcoli. Se in W non c’è l’impulso, D = 0 e l’uscita in t dipende dall’ingresso solo prima di t. Altrimenti dipende anche da u(t). 16 Le risposte impulsive Con ej si indica il vettore di Rp che ha 1 al posto j e 0 altrove. Proposizione – Risposta a un impulso Dallo stato nullo, con t0 = 0, x0 = 0 e l’impulso sul solo ingresso j, u(τ ) = ej δ(τ ): x(t) = H(t) ej , y(t) = W (t) ej , cioè lo stato e l’uscita sono le colonne j di H e di W . Per dimostrarlo basta la proprietà di campionamento, con l’impulso nell’estremo τ = 0, e per lo stato si procede allo stesso modo: y(t) = Z t 0 W (t − τ ) ej δ(τ ) dτ = W (t) ej . Definizione – Matrici delle risposte impulsive W è la matrice delle risposte impulsive in uscita, H quella nello stato. La loro colonna j è la risposta forzata a un impulso sul solo ingresso j. Con un solo ingresso si parla di risposta impulsiva in uscita e nello stato. Il nome dice come si ottengono, perché l’uscita forzata è una grandezza che si misura e con un impulso in ingresso coincide con W . Così W si isola e si misura sul sistema. L’Esercizio 2 ne chiede definizione e significato. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 19

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Con più uscite (q > 1) la colonna W (t) ej ha q componenti. L’integrale si calcola componente per componente, e ogni componente è la risposta di un’uscita. Con più ingressi (p > 1) non basta un solo esperimento: esperimento ingresso u(τ ) uscita forzata impulso sul solo ingresso j ej δ(τ ) W (t) ej , la colonna j un impulso su ogni ingresso (e1 + · · · + ep) δ(τ ) somma delle colonne di W Con tutti gli impulsi insieme le colonne si sommano e non si distinguono più. Servono p esperimenti, uno per ingresso, ciascuno dei quali dà una colonna. Così si costruisce tutta W , e allo stesso modo H. 17 I vincoli su Φ e H Proposizione – Vincoli della rappresentazione con lo stato Per ogni t0 ≤ τ ≤ t1 ≤ t: 1. istante iniziale: Φ(0) = I; 2. proprietà di semigruppo: Φ(t − t0) = Φ(t − t1) Φ(t1 − t0); 3. composizione di H: H(t − τ ) = Φ(t − t1) H(t1 − τ ). Il primo vincolo viene dall’osservare subito il sistema. Con t = t0 l’integrale è su un intervallo nullo, e x(t0) = Φ(0) x(t0) per ogni x(t0). Gli altri due vengono dalla proprietà di separazione. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 20

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Dimostrazione 1. Esperimento spezzato. Per la proprietà di separazione (Sezione 5) ci si ferma in t1 e si riparte da x(t1): x(t1) = Φ(t1 − t0) x(t0) + Z t1 t0 H(t1 − τ ) u(τ ) dτ, x(t) = Φ(t − t1) x(t1) + Z t t1 H(t − τ ) u(τ ) dτ. 2. Sostituzione. Si mette la prima nella seconda e si porta Φ(t − t1), che non dipende da τ , dentro l’integrale: x(t) = Φ(t − t1) Φ(t1 − t0) x(t0) + Z t1 t0 Φ(t − t1) H(t1 − τ ) u(τ ) dτ + Z t t1 H(t − τ ) u(τ ) dτ. 3. Confronto. Il risultato deve coincidere con l’esperimento intero, Φ(t−t0) x(t0) più l’integrale di H(t − τ ) u(τ ) spezzato in t1, per ogni stato iniziale e ogni ingresso. Con u = 0 si ottiene la 2. Con x(t0) = 0 gli integrali da t1 a t sono uguali, e da t0 a t1 deve valere Φ(t − t1) H(t1 − τ ) = H(t − τ ), che è la 3. □ Φ e H sono ancora incognite, ma non possono essere funzioni qualsiasi, perché una scelta che non rispetta questi vincoli non descrive un sistema con lo stato. Per l’uscita non serve un conto a parte, perché segue dallo stato con y = Cx + Du. 18 Causalità e memoria Proposizione – Risposte impulsive di un sistema causale In un sistema causale la risposta è nulla finché l’impulso non arriva: H(s) = 0, W (s) = 0 per s < 0. Perciò prolungare l’integrale oltre t non cambia il risultato: per ogni tf > t Z tf t0 W (t − τ ) u(τ ) dτ = Z t t0 W (t − τ ) u(τ ) dτ, e lo stesso vale con H. Per τ > t l’argomento t − τ è negativo, quindi W (t − τ ) = 0 e gli ingressi futuri sono moltiplicati per zero. La causalità non dipende dagli estremi scelti per l’integrale, ma sta nelle risposte impulsive. Con più ingressi e più uscite vale per ogni elemento di H e di W . Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 21

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s W (s) nulla per s < 0 risposta a un impulso in s = 0 τ u(τ ) W (t − τ ) tt0 W (t − τ ) = 0 per τ > t (in grigio) Nell’integrale l’ingresso di s unità di tempo prima, u(t − s), entra con il peso W (s), e così la risposta impulsiva dice quanto conta il passato. Osservazione – Memoria • Se W (s) → 0 al crescere di s, gli ingressi lontani pesano quasi nulla, e spostare t0 ancora più indietro non cambia quasi l’uscita. • Più lunga è la coda di W , più lunga è la memoria del sistema. • Il peso dipende dalla forma di W , e gli istanti passati in cui W è grande contano di più. Riepilogo • Sistema dinamico orientato: ingressi u (cause) e uscite y (effetti), secondo un punto di vista, e le condizioni in t dipendono dalla storia. • Causale: l’uscita in t non dipende dall’ingresso futuro. • Stato x(t0): riassume di u (−∞,t0) ciò che serve al seguito, ed è sufficiente se vale la separazione ∀t1. • Stazionario e lineare: lo stesso esperimento traslato dà lo stesso risultato, e la combinazione di esperimenti (stato e ingresso) è un esperimento. • Libera e forzata: x(t) = φL t − t0, x(t0) + φF t − t0, u [t0,t) , y = ηL + ηF = Cx + Du. • Forma esplicita: t ∈ R o t ∈ Z, x(t) = Φ(t − t0) x(t0) più Pt−1 τ =t0 H(t − τ ) u(τ ) o R t t0 H(t − τ ) u(τ ) dτ , e Ψ = CΦ. • Matrice W : W (k) = C H(k) per k ≥ 1, W (0) = D, W (t) = C H(t) + D δ(t), e la sua colonna j è l’uscita forzata dall’impulso sull’ingresso j. • Vincoli e memoria: Φ(0) = I, Φ(t − t0) = Φ(t − t1) Φ(t1 − t0), H(t − τ ) = Φ(t − t1) H(t1 − τ ), e H(s) = W (s) = 0 per s < 0. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 22

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19 Esercizi Esercizio 1 – Il secchio Nel secchio ci sono tre litri d’acqua, e si aggiunge un litro al minuto per cinque minuti. Stato e uscita sono la quantità d’acqua (in litri), l’ingresso è la portata versata (in litri al minuto), e il secchio non ha perdite. Quanta acqua c’è alla fine? Soluzione a pagina 24 → Esercizio 2 – Appello del 08/06/2020, Prof.ssa Claudia Califano e Prof. Paolo Di Giamberardino, esercizio 5, adattato w(t): definizione e significato fisico. Soluzione a pagina 24 → Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 23

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20 Soluzioni Soluzione dell’Esercizio 1 – Il secchio Senza ingresso la quantità resta quella iniziale, e ogni litro versato resta nel secchio, quindi Φ(t) = 1, H(t) = 1, C = 1, D = 0. Con t0 = 0 y(5) = 1 · 3 + Z 5 0 1 · 1 dτ = 3 + 5 = 8 litri. ← Torna all’Esercizio 1, pagina 23 Soluzione dell’Esercizio 2 – Appello del 08/06/2020, Prof.ssa Claudia Califano e Prof. Paolo Di Giamberardino, esercizio 5, adattato Con un ingresso e un’uscita la matrice W è una funzione scalare, w(t). Definizione. Da y = Cx + Du e dall’evoluzione dello stato, w(t) := C H(t) + D δ(t), y(t) = Ψ(t − t0) x(t0) + Z t t0 w(t − τ ) u(τ ) dτ : w è la funzione che pesa l’ingresso nell’uscita forzata. Il termine D δ(t) porta dentro l’integrale il legame diretto D u(t). Significato fisico. 1. È una risposta. Dallo stato nullo, con t0 = 0 e u(τ ) = δ(τ ), la proprietà di campionamento dà y(t) = R t 0 w(t − τ ) δ(τ ) dτ = w(t), quindi w è la risposta impulsiva, e si misura con un solo esperimento. Con p ingressi servono p esperimenti, uno per colonna di W . 2. Descrive tutto il comportamento forzato. Nota w, l’uscita forzata a qualunque ingresso è l’integrale R t t0 w(t − τ ) u(τ ) dτ , e così una sola risposta, quella all’impulso, permette di calcolare tutte le altre. 3. Dice quanto conta il passato. w(s) è il peso dell’ingresso di s unità di tempo prima. È nulla per s < 0, perché il sistema è causale, e la lunghezza della sua coda misura la memoria del sistema. Un impulso in w indica un legame diretto (D̸ = 0). ← Torna all’Esercizio 2, pagina 23 Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 24

Entrambi

1 Sistemi dinamici e rappresentazione esplicitaC1

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