Ritardi e trasformata Z

Un ingresso limitato che fa divergere l'uscita

Con stato iniziale nullo $Y(s)=W(s)\,U(s)$, e la risposta impulsiva è l'antitrasformata di $W(s)$. Sia

$$W(s)=\frac{s-1}{s(s+1)}=-\frac1s+\frac2{s+1}$$

I residui sono $\lim_{s\to0}s\,W(s)=-1$ e $\lim_{s\to-1}(s+1)\,W(s)=2$, quindi $W(t)=(-1+2e^{-t})\,\delta_{-1}(t)$: una costante più un esponenziale che si spegne, limitata. Con l'ingresso costante $u(t)=2\,\delta_{-1}(t)$, cioè $U(s)=2/s$, il polo in $0$ diventa doppio:

$$\begin{aligned} Y(s)&=\frac{2(s-1)}{s^2(s+1)}\\ &=\frac{R_{12}}{s^2}+\frac{R_{11}}{s}+\frac{R_{21}}{s+1} \end{aligned}$$

Con $G(s)=s^2\,Y(s)=2(s-1)/(s+1)$:

$$\begin{aligned} R_{12}&=G(0)=-2\\ R_{11}&=G'(0)=4\\ R_{21}&=\lim_{s\to-1}(s+1)\,Y(s)=-4 \end{aligned}$$ $$y(t)=\bigl(4-2t-4e^{-t}\bigr)\,\delta_{-1}(t)$$

Risposta impulsiva limitata e ingresso limitato non bastano a dare un'uscita limitata. Il termine $-2t$ viene da $R_{12}/s^2$: il polo in $0$ è doppio perché è sia di $W(s)$ sia di $U(s)$.

Ingresso costante e uscita che diverge

$t$

• ingresso $u(t)=2$
• risposta impulsiva $W(t)$
• uscita $y(t)$

Un ingresso che parte in ritardo

Un ingresso costante che comincia in $t=1$ è $u(t)=2\,\delta_{-1}(t-1)$, e per la regola del ritardo $U(s)=2e^{-s}/s$. Per un sistema più semplice, con $W(s)=1/(s+1)$:

$$Y(s)=e^{-s}\,\frac{2}{s(s+1)}$$

Il fattore $e^{-s}$ non è una funzione razionale, quindi $Y(s)$ nel suo insieme non ha uno sviluppo in fratti semplici. Si lascia da parte il fattore, come se non ci fosse, e non lo si include nel calcolo dei residui. Si antitrasforma la parte razionale e solo alla fine si ritarda il risultato:

$$\frac{2}{s(s+1)}=\frac2s-\frac2{s+1}$$

che ha antitrasformata $(2-2e^{-t})\,\delta_{-1}(t)$. Ritardata di $1$:

$$y(t)=\bigl(2-2e^{-(t-1)}\bigr)\,\delta_{-1}(t-1)$$

Il gradino ritardato moltiplica l'espressione intera: scritto su un solo termine, l'altro sembrerebbe valere anche prima di $t=1$. Si mette su tutti i termini, o su nessuno.

Un ingresso rettangolare

Un ingresso di ampiezza $3$ attivo fra $t=1$ e $t=2$ è la differenza di due gradini ritardati. In $s$ non c'è più la divisione del tempo in tratti, e la funzione si scrive intera:

$$\begin{aligned} u(t)&=3\,\delta_{-1}(t-1)-3\,\delta_{-1}(t-2)\\ U(s)&=3\,\frac{e^{-s}-e^{-2s}}{s} \end{aligned}$$

Con $W(s)=1/(s+1)$ compaiono due ritardi diversi, ma la stessa funzione razionale:

$$Y(s)=\frac{3}{s(s+1)}\,\bigl(e^{-s}-e^{-2s}\bigr)$$

Si studia un pezzo solo. $3/(s(s+1))$ ha antitrasformata $3(1-e^{-t})\,\delta_{-1}(t)$, la risposta a un gradino di ampiezza $3$. La si ritarda di $1$ e si sottrae la stessa ritardata di $2$:

$$\begin{aligned} y(t)&=y_1(t)+y_2(t)\\ y_1(t)&=3\bigl(1-e^{-(t-1)}\bigr)\,\delta_{-1}(t-1)\\ y_2(t)&=-3\bigl(1-e^{-(t-2)}\bigr)\,\delta_{-1}(t-2) \end{aligned}$$

Rettangolo e risposta

Ingresso

$t$

• $u(t)$

Uscita

$t$

• $y_1(t)$
• $y_2(t)$
• $y(t)=y_1(t)+y_2(t)$

$d$

1

Leggere l'uscita negli intervalli

In un dato istante contano solo i termini già partiti. Scritta per intervalli, la risposta è

$$y(t)=\begin{cases} 0 & t<1\\ y_1(t) & 1\le t<2\\ y_1(t)+y_2(t) & t\ge2 \end{cases}$$

I gradini ritardati dentro i termini fanno questa scelta da soli. Per $t\ge2$ i due termini si sommano e $y(t)=3(1-e^{-1})\,e^{-(t-2)}$, che tende a $0$. Il valore dell'intera risposta si legge dopo il ritardo maggiore, quando tutti i termini sono partiti.

Il ritardo puro non è razionale

Un sistema che restituisce l'ingresso dopo $T$ ha $y(t)=u(t-T)$, quindi $W(s)=e^{-sT}$. Per un sistema lineare stazionario a dimensione finita $W(s)=C(sI-A)^{-1}B+D$ è invece razionale, e $e^{-sT}$ non lo è: il ritardo puro non si ottiene da un modello di stato con matrici finite. Non gli mancano linearità, stazionarietà o causalità, ma la dimensione finita: per restituire l'ingresso dopo $T$ dovrebbe ricordarne tutto l'andamento nell'ultimo intervallo di durata $T$.

Nei calcoli si tratta come un ritardo qualunque, e non cambia se sta nell'ingresso o nel sistema: compare comunque il fattore $e^{-sT}$.

Quando serve una funzione razionale, $e^{-sT}$ si sostituisce con un'approssimazione razionale, detta di Padé. Resta un'approssimazione: non è il ritardo.

La risposta forzata a tempo discreto

Un sistema a tempo discreto è $x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)$, $y(t)=Cx(t)+Du(t)$, con $t$ intero. La risposta forzata è una somma, come a tempo continuo è un integrale:

$$x(t)=A^tx_0+\sum_{\tau=0}^{t-1}A^{t-1-\tau}B\,u(\tau)$$

Le matrici della forma esplicita sono $\Phi(t)=A^t$, $H(t)=A^{t-1}B$, $W(t)=CA^{t-1}B$ per $t\ge1$ e $W(0)=D$, la risposta impulsiva. Per un ingresso dato, per esempio il gradino, bisogna calcolare la somma. Come con Laplace, si passa a un dominio in cui la somma diventa un prodotto. La trasformata deve essere lineare e invertibile in modo univoco: a ogni $f(t)$ una sola trasformata, e a ogni trasformata una sola $f(t)$.

La trasformata Z

Per una funzione $f(t)$ del tempo intero, nulla prima di $0$:

$$F(z)=\mathcal Z[f(t)]=\sum_{t=0}^{\infty}f(t)\,z^{-t}$$

con $z$ complesso. Somiglia a Laplace: la somma al posto dell'integrale, la potenza $z^{-t}$ al posto di $e^{-st}$. Esiste per $|z|>\rho_f$, con $\rho_f$ il raggio di convergenza. La variabile temporale discreta si indica qui con $t$, altri testi usano $k$, e la forma non cambia.

La trasformata è lineare, perché la somma lo è: $\mathcal Z[\alpha f+\beta g]=\alpha F(z)+\beta G(z)$.

Anticipo e ritardo

Con $\theta=t+1$, la somma riparte da $\theta=1$:

$$\begin{aligned} \mathcal Z[f(t+1)]&=\sum_{t=0}^{\infty}f(t+1)\,z^{-t}\\ &=z\sum_{\theta=1}^{\infty}f(\theta)\,z^{-\theta}\\ &=z\bigl(F(z)-f(0)\bigr) \end{aligned}$$

L'anticipo moltiplica per $z$ e toglie il valore iniziale, come $\mathcal L[\dot f]=sF(s)-f(0)$. Il ritardo di un passo, per $f$ nulla prima di $0$, moltiplica per $z^{-1}$:

$$\mathcal Z[f(t-1)]=z^{-1}F(z)$$

Un ritardo di $T$ passi dà $z^{-T}$. Anticipo e ritardo sono operazioni opposte, e le loro trasformate lo restano.

Il sistema nel dominio z

Trasformando $x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)$ si ha $zX(z)-zx_0=AX(z)+BU(z)$, e con $y=Cx+Du$:

$$\begin{aligned} X(z)&=(zI-A)^{-1}z\,x_0\\ &\quad+(zI-A)^{-1}B\,U(z)\\ Y(z)&=C(zI-A)^{-1}z\,x_0\\ &\quad+\bigl[C(zI-A)^{-1}B+D\bigr]U(z) \end{aligned}$$

Confrontando con la trasformata della forma esplicita, il termine con $x_0$ è la risposta libera, e quello con $U(z)$ la forzata. Poiché la trasformata è invertibile, le due scritture coincidono termine a termine:

$$\Phi(z)=\mathcal Z[A^t]=(zI-A)^{-1}z$$

Anche per $A^t$ c'è quindi una strada senza autovettori: si antitrasforma $(zI-A)^{-1}z$. Per la risposta forzata, $H(t)=A^{t-1}B$ è $A^tB$ ritardata di un passo, quindi il fattore $z^{-1}$ del ritardo cancella lo $z$ di $\Phi(z)$:

$$H(z)=z^{-1}\,\Phi(z)\,B=(zI-A)^{-1}B$$

La somma di convoluzione diventa il prodotto $H(z)\,U(z)$, e la funzione di trasferimento ha la stessa struttura di quella continua, con $z$ al posto di $s$:

$$W(z)=C(zI-A)^{-1}B+D$$

Impulso e gradino

L'impulso discreto $\delta(t)$ vale $1$ per $t=0$ e $0$ altrove. Nella somma resta il solo termine $t=0$, che vale $z^0=1$:

$$\mathcal Z[\delta(t)]=1$$

Come a tempo continuo, un impulso in ingresso dà in uscita $W(z)$, la trasformata della risposta impulsiva.

Il gradino $\delta_{-1}(t)$ vale $1$ per ogni $t\ge0$, e la sua trasformata è una serie geometrica di ragione $z^{-1}$:

$$\begin{aligned} \mathcal Z[\delta_{-1}(t)]&=\sum_{t=0}^{\infty}z^{-t}\\ &=\frac{1}{1-z^{-1}}=\frac{z}{z-1} \end{aligned}$$

La serie converge se e solo se $|z^{-1}|<1$, cioè $|z|>1$. Qui $\rho_f=1$.

Somme parziali della serie del gradino

$t$

• somma parziale ${\sum }_{\tau =0}^t{z}^{-\tau }$
• termine $z^{-t}$
• limite $z/(z-1)$

$z$

1,25

Due differenze con Laplace. Al posto dell'ascissa di convergenza c'è un raggio: la convergenza dipende dal modulo di $z$, non dalla fase. E il gradino $1/s$, strettamente proprio, diventa $z/(z-1)$: razionale, ma con numeratore e denominatore dello stesso grado, quindi non strettamente proprio.