Lezione 13 · Canale 1 · giovedì 22 ottobre 2026

Equilibrio e stabilità dei sistemi dinamici

Sistemi Dinamici

L'idea

Finora si è calcolata l'evoluzione dello stato in ogni istante. Qui la domanda è un'altra. Esistono stati in cui il sistema, messo lì, resta lì? E se lo si mette poco più in là, che cosa fa?

Il modello è un sistema non lineare stazionario a tempo continuo:

\dot x(t)=f\bigl(x(t),u(t)\bigr)

Stazionario significa che $f$ non dipende dal tempo. Il tempo continuo permette di disegnare le traiettorie; gli stessi concetti valgono a tempo discreto, che si tratta a parte.

Punto di equilibrio

Uno stato che, senza ingresso, resta fermo ha derivata nulla. Un punto di equilibrio $x_e$ è dunque uno stato con

f(x_e,0)=0

Lo stato si può tenere fermo anche con un ingresso $u_e(t)$ che bilancia ciò che lo muoverebbe, come una spinta che regge una pallina sul fianco di una montagna:

f\bigl(x_e,u_e(t)\bigr)=0

Il trattamento non cambia, perché l'ingresso fissato si include in $f$ : si considera l'equilibrio senza ingresso. Risolvere $f(x_e,0)=0$ è in generale un problema non lineare, con nessuna soluzione, un numero finito di soluzioni o infinite.

Stabilità semplice e asintotica

Lo stato iniziale non si imposta mai con precisione perfetta. Conta dunque che cosa fa il sistema se parte vicino a $x_e$ , ma non su $x_e$ . Le possibilità sono tre: la traiettoria resta vicina, resta vicina e converge a $x_e$ , oppure si allontana. L'immagine è una pallina in una valle a V: spostata di poco, scende di nuovo sul fondo.

Stabilità semplice ( $x_e$ localmente stabile). Per ogni $\varepsilon>0$ esiste $\delta(\varepsilon)>0$ tale che

\|x_0-x_e\|\le\delta(\varepsilon)\ \Longrightarrow\ \|x(t)-x_e\|\le\varepsilon\quad\forall t\ge0

Una traiettoria che parte dentro l'intorno di raggio $\delta(\varepsilon)$ non esce dall'intorno di raggio $\varepsilon$ . Più è stretto il secondo, più deve esserlo il primo, perciò $\delta$ dipende da $\varepsilon$ . La proprietà è locale: non dice nulla di ciò che accade lontano. Si scrive la norma perché $x$ è un vettore; vale una norma qualsiasi, per esempio quella euclidea.

Stabilità asintotica ( $x_e$ localmente asintoticamente stabile). Vale la stabilità semplice e, per gli stati iniziali abbastanza vicini,

\lim_{t\to\infty}\|x(t)-x_e\|=0

Instabilità. Tutto il resto è instabile: se la stabilità semplice non vale, $x_e$ è instabile, e non vale nemmeno quella asintotica, che la richiede.

La figura mostra i tre casi con un sistema piano con autovalori $\alpha\pm\mathrm i$ e l'equilibrio nell'origine: il segno di $\alpha$ decide fra i tre casi.

Sistema piano con autovalori $α \pm i$ , equilibrio nell'origine

Piano di stato

x_{0}

x_{e}

x_{1}

x_{2}

traiettoria $x (t)$
intorno di raggio $ε$
intorno di raggio $δ (ε)$

Distanza dall'equilibrio

t

$∥ x (t) - x_{e} ∥$
$ε$
$δ (ε)$

α

−0,3

Con

α < 0

la traiettoria, partita dentro l'intorno di raggio

δ (ε)

, resta dentro quello di raggio

ε

e converge; con

α = 0

resta vicina senza convergere; con

α > 0

esce. Si muove

α

Le definizioni non permettono di verificare la stabilità: servirebbe provare tutti gli stati iniziali di un intorno. Servono condizioni, e si parte dal caso lineare, dove l'evoluzione libera è nota.

Equilibri di un sistema lineare

Per $\dot x=Ax+Bu$ , senza ingresso, la condizione di equilibrio è

Ax_e=0

L'origine è la soluzione ovvia, perché l'evoluzione libera che parte da $0$ resta in $0$ . Se $A$ ha rango pieno è l'unico equilibrio. Altrimenti le soluzioni sono infinite e formano un sottospazio, perché quelle di un sistema omogeneo sono chiuse per combinazioni lineari. Ha dimensione $n-\operatorname{rk}(A)$ : con $\operatorname{rk}(A)=n-1$ è una retta per l'origine. Un sistema lineare ha dunque un equilibrio oppure infiniti, mai due o tre.

Stabilità di un sistema lineare

Sia $x_e$ un equilibrio qualsiasi. L'evoluzione libera da $x_0$ è $x(t)=\Phi(t)x_0$ e l'equilibrio resta fermo: $x_e=\Phi(t)x_e$ . Sottraendo,

x(t)-x_e=\Phi(t)\,(x_0-x_e)

La norma di un prodotto non supera il prodotto delle norme, quindi

\|x(t)-x_e\|\le\|\Phi(t)\|\,\|x_0-x_e\|

Stabilità semplice. Se $\|\Phi(t)\|\le\Phi_0$ per ogni $t\ge0$ , con $\Phi_0$ costante, si sceglie $\delta(\varepsilon)=\varepsilon/\Phi_0$ e la definizione è soddisfatta, perché $\|x(t)-x_e\|\le\Phi_0\,\delta(\varepsilon)=\varepsilon$ . Se $\Phi$ non è limitata, per ogni $\delta$ c'è un istante in cui uno stato iniziale entro $\delta$ finisce oltre $\varepsilon$ dall'equilibrio. La condizione necessaria e sufficiente è dunque

\|\Phi(t)\|\le\Phi_0\quad\forall t\ge0

$\Phi$ contiene i modi naturali, quindi è limitata se lo sono tutte le loro leggi temporali. Un modo $e^{\lambda t}$ con $\operatorname{Re}(\lambda)>0$ cresce, con $\operatorname{Re}(\lambda)<0$ decade, con $\operatorname{Re}(\lambda)=0$ resta limitato. Se però la molteplicità algebrica $m_a$ supera quella geometrica $m_g$ , compaiono anche modi $t^ke^{\lambda t}$ con $k\ge1$ , che con $\operatorname{Re}(\lambda)=0$ crescono. Sia $\Lambda=\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ l'insieme degli autovalori di $A$ . La stabilità semplice richiede allora:

$\operatorname{Re}(\Lambda)\le0$ , cioè $\operatorname{Re}(\lambda_i)\le0$ per ogni $i$ ;
$m_a=m_g$ per gli autovalori con $\operatorname{Re}(\lambda_i)=0$ .

Stabilità asintotica. $\|x(t)-x_e\|\to0$ per ogni stato iniziale se e solo se $\|\Phi(t)\|\to0$ , cioè se tutti i modi decadono. La maggiorazione dà il «se»; il «solo se» vale perché $x_0-x_e$ è arbitrario:

\lim_{t\to\infty}\|\Phi(t)\|=0\iff\operatorname{Re}(\Lambda)<0

Le due condizioni non contengono $x_e$ : riguardano soltanto il sistema. Se un equilibrio è stabile semplicemente lo sono tutti, se non lo è uno non lo è nessuno. Per questo nel caso lineare si parla di stabilità del sistema. È una stabilità interna, perché guarda lo stato senza ingresso.

Equilibri isolati

Un equilibrio può essere asintoticamente stabile solo se è isolato, cioè se ha un intorno senza altri equilibri. Se in ogni intorno cade un altro equilibrio, uno stato iniziale scelto lì resta fermo per sempre e non converge a $x_e$ . Vale al più la stabilità semplice.

Sottospazio di equilibri nel piano di stato

x_{e}

x_{0}

x_{1}

x_{2}

equilibri: $A x = 0$
intorno di $x_{e}$

0,5

Per quanto si stringa l'intorno, contiene un altro equilibrio: lo stato che parte da lì resta fermo, quindi non converge a

x_{e}

Per un sistema lineare gli equilibri sono la sola origine oppure un sottospazio, i cui punti non sono isolati. L'origine è isolata se e solo se $\operatorname{rk}(A)=n$ , cioè se $0$ non è un autovalore: con $\lambda=0$ il rango si abbassa. Con un sottospazio di equilibri non c'è dunque stabilità asintotica. Con l'origine come unico equilibrio è possibile, e dipende dagli autovalori.

Un sistema non lineare può avere più equilibri isolati, ciascuno con la propria stabilità: il pendolo ne ha due, uno in basso e uno in alto, che si comportano in modo diverso. Nel caso non lineare la stabilità è dunque una proprietà del singolo equilibrio, e si studia equilibrio per equilibrio.

Linearizzazione

Per un equilibrio non lineare la definizione non si può verificare. Si torna al caso lineare, perché vicino a $x_e$ le traiettorie del sistema non lineare e di un sistema lineare scelto bene sono simili. Si sviluppa $f$ al primo ordine intorno a $(x_e,0)$ :

\begin{aligned} \dot x\approx{}&f(x_e,0)+A\,(x-x_e)\\ &+B\,u \end{aligned}

Il primo termine è nullo, perché $x_e$ è un equilibrio. I termini di ordine superiore contengono $(x-x_e)^2$ e simili: sono irrilevanti per $\|x-x_e\|\le\rho$ con $\rho$ piccolo. L'approssimazione è locale e migliora al restringersi dell'intorno. $A$ e $B$ sono le derivate di $f$ rispetto a stato e ingresso, calcolate nell'equilibrio:

\begin{gathered} A=\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_e,0)}\\[0.6em] B=\left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{(x_e,0)} \end{gathered}

Con $n$ componenti di stato e $p$ ingressi, $A$ è $n\times n$ e $B$ è $n\times p$ . La riga $i$ contiene le derivate di $f_i$ .

A=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \vdots&&\vdots\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{pmatrix}

B=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial u_1}&\cdots&\frac{\partial f_1}{\partial u_p}\\ \vdots&&\vdots\\ \frac{\partial f_n}{\partial u_1}&\cdots&\frac{\partial f_n}{\partial u_p} \end{pmatrix}

Calcolate in $(x_e,0)$ sono matrici numeriche. La matrice $A$ si indica spesso con $J$ e si chiama Jacobiano.

Si mette $x_e$ come origine con il cambio di coordinate

\begin{gathered} z=x-x_e\\ \dot z\approx Az+Bu \end{gathered}

Vale $\dot z=\dot x$ perché $x_e$ è costante. Ora l'approssimazione è un sistema lineare con l'origine come equilibrio.

Cosa si può concludere. Il metodo si chiama approssimazione lineare e si applica a ogni equilibrio. Sia $\Lambda$ l'insieme degli autovalori di $A$ .

Se $\operatorname{Re}(\Lambda)<0$ , $x_e$ è localmente asintoticamente stabile.
Se $\operatorname{Re}(\lambda_i)>0$ per qualche $i$ , $x_e$ è instabile.
Se $\operatorname{Re}(\Lambda)\le0$ e almeno un autovalore ha parte reale nulla, il test non basta.

Nel terzo caso il termine lineare di quell'autovalore non produce né crescita né decadimento esponenziale. I termini di ordine superiore sono trascurabili rispetto a un numero diverso da zero, ma non rispetto a zero, quindi possono decidere loro. Servono altri metodi.

La stabilità semplice serve poco nelle applicazioni, perché restare vicini al valore voluto non vuol dire raggiungerlo. Conta soprattutto la stabilità asintotica, che il criterio sa stabilire.

Formulario

Equilibrio

f(x_e,0)=0

Stabilità semplice

\begin{aligned} \|x_0-x_e\|&\le\delta(\varepsilon)\\ \Rightarrow\ \|x(t)-x_e\|&\le\varepsilon\\ &\forall t\ge0 \end{aligned}

Asintotica, oltre alla semplice

\lim_{t\to\infty}\|x(t)-x_e\|=0

Sistema lineare, equilibri

Ax_e=0

Origine isolata

\operatorname{rk}(A)=n

Evoluzione dall'equilibrio

x(t)-x_e=\Phi(t)(x_0-x_e)

Autovalori di $A$

\Lambda=\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}

Semplice, sistema lineare, con $\Phi_0$ costante

\|\Phi(t)\|\le\Phi_0\quad\forall t\ge0

\operatorname{Re}(\Lambda)\le0

Se $\operatorname{Re}(\lambda_i)=0$ serve anche $m_a=m_g$ .

Asintotica, sistema lineare

\lim_{t\to\infty}\|\Phi(t)\|=0

\operatorname{Re}(\Lambda)<0

Linearizzazione

\begin{gathered} A=\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_e,0)}\\[0.6em] B=\left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{(x_e,0)} \end{gathered}

\begin{gathered} z=x-x_e\\ \dot z\approx Az+Bu \end{gathered}

Asintoticamente stabile se

\operatorname{Re}(\Lambda)<0

Instabile se

\operatorname{Re}(\lambda_i)>0\ \text{per qualche }i

Se $\operatorname{Re}(\Lambda)\le0$ con una parte reale nulla, il test non basta.