Stabilità globale e criterio di Lyapunov

L'idea

L'approssimazione lineare studia un equilibrio solo da vicino, e tace quando ha autovalori a parte reale nulla. Il criterio di Lyapunov lavora sul sistema non lineare stesso, con una funzione che fa la parte dell'energia, e può dire qualcosa anche lontano dall'equilibrio.

Stabilità asintotica globale

La stabilità locale chiede che chi parte vicino a $x_e$ resti vicino. Quella globale chiede di più: un equilibrio $x_e$ è globalmente asintoticamente stabile se è stabile e

$$\lim_{t\to+\infty}\|x(t)-x_e\|=0\quad\text{per ogni }x_0\in\mathbb R^n$$

Dovunque si parta, si arriva in $x_e$. Allora $x_e$ è l'unico equilibrio: partendo da un altro equilibrio si resterebbe lì.

Sistemi lineari. Gli equilibri sono uno solo o infiniti, quindi la stabilità globale è possibile solo con l'origine da sola. Se l'origine è asintoticamente stabile, tutti i modi di $\Phi(t)$ convergono, e $x(t)=\Phi(t)x_0\to0$ qualunque sia $x_0$: per un sistema lineare l'asintotica è sempre anche globale.

Per un sistema non lineare l'approssimazione lineare non serve: vale solo vicino all'equilibrio.

L'energia come guida

Una pallina in fondo a una buca, o un pendolo fermo in basso, ha energia nulla; spostandolo, l'energia cresce. Senza forze esterne l'energia non può aumentare: senza attrito il pendolo oscilla per sempre, con l'attrito l'energia cala e il moto si ferma in basso. Lyapunov usa questa idea senza bisogno di un'energia fisica.

Funzione definita positiva. $V:\mathbb R^n\to\mathbb R$ è definita positiva in un intorno $I_{x_e}$ di $x_e$ se

$$V(x_e)=0,\qquad V(x)>0\ \ \text{per } x\in I_{x_e},\ x\ne x_e$$

È semidefinita positiva se vale solo $V(x)\ge0$. È definita (o semidefinita) negativa se lo è $-V$ positiva.

Derivata lungo il moto. È la variazione di $V$ mentre lo stato evolve secondo $\dot x=f(x)$:

$$\dot V(x)=\frac{\partial V}{\partial x}\,\dot x=\sum_{i=1}^n\frac{\partial V}{\partial x_i}f_i(x)$$

$V$ non dipende dal tempo: il tempo entra attraverso $\dot x$, cioè attraverso il sistema.

Il criterio di Lyapunov

Sia $V$ definita positiva in un intorno $I_{x_e}$ dell'equilibrio $x_e$.

1. $\dot V$ definita negativa in $I_{x_e}$: $x_e$ è localmente asintoticamente stabile.
2. $\dot V$ semidefinita negativa in $I_{x_e}$: $x_e$ è stabile.
3. $\dot V$ definita positiva in $I_{x_e}$: $x_e$ è instabile.

Il criterio vale per ogni sistema non lineare, ma non dice come trovare $V$. Se una $V$ provata non soddisfa nessuna delle tre condizioni, non si conclude nulla: si prova un'altra $V$. L'energia del sistema è spesso una buona prima scelta.

L'energia di un pendolo vicino al basso

Piano di stato

$x_1$$x_2$

• livello iniziale di $V$
• $x(t)$

La funzione lungo il moto

$t$

• $V(x(t))$

attrito $c$

0,3

La figura usa il pendolo linearizzato $\dot x_1=x_2$, $\dot x_2=-x_1-cx_2$ con $V=\tfrac12(x_1^2+x_2^2)$, per cui $\dot V=-cx_2^2$.

Una candidata quadratica

Una scelta generica è una forma quadratica, una specie di energia in tutte le variabili:

$$V(x)=(x-x_e)^\top M\,(x-x_e)$$

con $M$ simmetrica e definita positiva; spesso basta $M=I$, cioè $V(x)=\|x-x_e\|^2$. Va centrata nell'equilibrio studiato: con $x_e\ne0$ la forma $x^\top Mx$ non si annulla in $x_e$.

Criterio di Sylvester. $M$ simmetrica è definita positiva se e solo se i suoi minori principali (le sottomatrici delle prime $i$ righe e colonne) hanno determinante positivo. Per $n=2$: $m_{11}>0$ e $\det M>0$.

Il livello $V=1$ con $M$ simmetrica

$x_1$$x_2$

• $x^{\top }Mx=1$

$m_{12}=m_{21}=m$

0,5

Stabilità globale con Lyapunov

$V$ è radialmente illimitata se $V(x)\to+\infty$ quando $\|x-x_e\|\to+\infty$. Se $V$ è definita positiva in tutto $\mathbb R^n$ e radialmente illimitata, e $\dot V$ è definita negativa in tutto $\mathbb R^n$, allora $x_e$ è globalmente asintoticamente stabile. Non basta l'intorno: le condizioni devono valere ovunque. Una forma quadratica con $M$ definita positiva cresce come $\|x-x_e\|^2$, quindi è radialmente illimitata.

Il criterio per i sistemi lineari

Per $\dot x=Ax$ il criterio diventa un conto algebrico.

L'origine è asintoticamente stabile se e solo se, per ogni $P$ simmetrica definita positiva, l'equazione di Lyapunov $A^\top Q+QA=-P$ ha un'unica soluzione $Q$ simmetrica e definita positiva.

Se $Q$ esiste, c'è stabilità asintotica. Con $V=x^\top Qx$, definita positiva:

$$\begin{aligned} \dot V&=\dot x^\top Qx+x^\top Q\dot x\\ &=x^\top(A^\top Q+QA)x=-x^\top Px \end{aligned}$$

che è definita negativa perché $P$ è definita positiva.

Se c'è stabilità asintotica, $Q$ esiste. Si prende

$$Q=\int_0^{+\infty}e^{A^\top t}\,P\,e^{At}\,dt$$

L'integrale converge perché tutti i modi di $e^{At}$ tendono a zero.

• Simmetrica: trasponendo l'integrando si ottiene lo stesso, perché $P^\top=P$.
• Definita positiva: con $v(t)=e^{At}x$ si ha $x^\top Qx=\int_0^{+\infty}v^\top Pv\,dt>0$ per $x\ne0$, perché $e^{At}$ è invertibile.
• Soluzione: l'integrando di $A^\top Q+QA$ è una derivata,

$$\frac{d}{dt}\Big(e^{A^\top t}Pe^{At}\Big)=A^\top e^{A^\top t}Pe^{At}+e^{A^\top t}Pe^{At}A$$

quindi

$$A^\top Q+QA=\Big[e^{A^\top t}Pe^{At}\Big]_0^{+\infty}=0-P=-P$$

L'unicità della soluzione vale, senza dimostrazione qui.

In pratica. Si sceglie $P=I$, si risolve l'equazione e si controlla $Q$ con Sylvester. Con $Q$ simmetrica le incognite sono $n(n+1)/2$: tre per $n=2$, sei per $n=3$. Se la soluzione non è simmetrica e definita positiva, l'origine non è asintoticamente stabile: qui, a differenza del caso non lineare, il fallimento è una risposta.

Esercizio: il pendolo e la sua energia

Il pendolo semplice senza attrito, $ml^2\ddot\theta=-mgl\sin\theta$, con $x_1=\theta$ e $x_2=\dot\theta$, diventa

$$\dot x_1=x_2,\qquad \dot x_2=-\frac gl\sin x_1$$

Si usa come $V$ l'energia, cinetica più potenziale:

$$V(x)=\tfrac12 ml^2x_2^2+mgl\,(1-\cos x_1)$$

$V$ vale $0$ nel punto in basso ed è positiva altrove per $|x_1|<2\pi$: è definita positiva. Lungo il moto

$$\begin{aligned} \dot V&=mgl\sin x_1\,x_2+ml^2x_2\Big(-\frac gl\sin x_1\Big)\\ &=0 \end{aligned}$$

$\dot V$ è semidefinita negativa: l'equilibrio in basso è stabile. L'approssimazione lineare, con autovalori $\pm j\sqrt{g/l}$, non lo decide; Lyapunov sì.