Risposta armonica e diagrammi di Bode

Perché studiare tutte le pulsazioni

A regime un ingresso $\sin\omega t$ dà un'uscita sinusoidale con la stessa pulsazione, moltiplicata in ampiezza per $M$ e sfasata di $\varphi$:

$$\begin{aligned} y_r(t)&=M\sin(\omega t+\varphi)\\ M&=|W(\mathrm i\omega)|\\ \varphi&=\angle W(\mathrm i\omega) \end{aligned}$$

Le sinusoidi bastano per molti ingressi. Uno periodico si scrive come serie di Fourier, cioè come somma di sinusoidi, e per linearità si sommano le risposte ai singoli termini. Un ingresso sviluppabile in serie di Taylor è invece una somma di termini polinomiali, e si procede allo stesso modo.

Ma $M$ e $\varphi$ dipendono da $\omega$. Una nave è colpita da onde di pulsazioni diverse, un edificio da un terremoto: a certe pulsazioni l'oscillazione in uscita è attenuata, ad altre amplificata, e un'onda piccola può produrne una molto grande. Per saperlo si studiano modulo e fase di $W(\mathrm i\omega)$ al variare di $\omega$.

Quando la risposta armonica esiste

$W(s)$ si scrive per ogni sistema, ma $W(\mathrm i\omega)$ è una risposta armonica solo se il sistema ammette la risposta a regime permanente. Altrimenti la sostituzione $s=\mathrm i\omega$ si può fare, ma il risultato non dice nulla sul regime. Per $W(s)=1/(s-1)$, con un polo instabile, la sostituzione si scrive senza problemi e non descrive nessuna sinusoide a regime.

Il motivo sta nella trasformata, che esiste solo in un semipiano $\operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(\alpha_f)$, con $\alpha_f$ ascissa di convergenza. $W$ è una somma di esponenziali, ognuno con la sua ascissa, e il semipiano comune comincia dalla più grande: la parte reale del polo più a destra. Se tutti i poli hanno parte reale negativa, l'asse immaginario sta nel semipiano e $W(\mathrm i\omega)$ ha senso. Per $1/(s-1)$ il semipiano è $\operatorname{Re}(s)>1$: l'asse resta fuori e in $s=\mathrm i\omega$ la trasformata non esiste.

Dove esiste $W(s)=1/(s-p)$

$p$ReIm

• convergenza $\mathrm{Re}(s)>p$
• asse immaginario

polo $p$

1

La condizione sul sistema è quella del regime permanente: $\operatorname{Re}\lambda<0$ per ogni modo osservabile, e la stabilità interna asintotica è sufficiente. La stabilità è quindi la precondizione della risposta armonica.

Modulo e fase

Con $\omega$ reale, $W(\mathrm i\omega)$ è una funzione complessa di variabile reale: per disegnarla servono due grafici, parte reale e parte immaginaria oppure modulo e fase. Si scelgono modulo e fase, perché sono proprio ciò che entra nella risposta armonica: il modulo dice come cambia l'ampiezza, la fase di quanto si sposta l'uscita. Con $|W|>1$ la sinusoide è amplificata, con $|W|<1$ attenuata.

$W(s)$ è un rapporto di polinomi, che si fattorizzano. Le radici sono reali o in coppie complesse coniugate, ciascuna con la sua molteplicità, quindi i fattori sono di quattro tipi:

• una costante $K$;
• il fattore $\mathrm i\omega$, per la radice nell'origine, che si tiene a parte perché ha una forma diversa dagli altri (il suo termine noto è $0$);
• un fattore $\mathrm i\omega-z_i$ per ogni zero reale non nullo, e $\mathrm i\omega-p_i$ per ogni polo reale non nullo;
• un fattore per ogni coppia complessa coniugata.

Un fattore ripetuto compare tante volte quant'è la molteplicità. Se $W$ è ridotta, $s$ sta o al numeratore o al denominatore, mai in entrambi. Qui si studiano la costante e il fattore $\mathrm i\omega$.

Il logaritmo e i decibel

Il modulo di un prodotto è il prodotto dei moduli, quindi basterebbe disegnare il modulo di ogni fattore. Ma moltiplicare e dividere curve su un grafico è scomodo. Il logaritmo trasforma i prodotti in somme e i quozienti in differenze. È anche crescente, quindi dove il modulo cresce cresce anche il suo logaritmo. Vale $0$ per modulo $1$, è positivo per un modulo maggiore di $1$ e negativo per uno minore: a colpo d'occhio si vede se la sinusoide è amplificata o attenuata.

Per una potenza si usa $10\log_{10}$. Il modulo è un'ampiezza e la potenza va col suo quadrato, quindi per il modulo si usa $20\log_{10}$, cioè il decibel, con $M=|W(\mathrm i\omega)|$ come sopra:

$$M_{\mathrm{dB}}=20\log_{10}M$$

Per i numeri complessi $m\,e^{\mathrm i\varphi}$ e $n\,e^{\mathrm i\theta}$ i moduli si moltiplicano e le fasi si sommano nel prodotto, i moduli si dividono e le fasi si sottraggono nel quoziente. Le fasi hanno già la forma giusta, i moduli la prendono in decibel. Con $W=W_1W_2/W_3$:

$$\begin{aligned} M_{\mathrm{dB}}&=M_{1\mathrm{dB}}+M_{2\mathrm{dB}}-M_{3\mathrm{dB}}\\ \varphi&=\varphi_1+\varphi_2-\varphi_3 \end{aligned}$$

Basta allora disegnare modulo in decibel e fase di ogni fattore e sommare.

La forma di Bode

La stessa $W$ si può fattorizzare in modi diversi, e ogni modo dà pezzi diversi con la stessa somma. Per disegnare tutti gli stessi pezzi si porta fuori il termine noto di ogni fattore, in modo che il fattore valga $1$ per $\omega=0$ (lo stesso per un polo $p$):

$$\mathrm i\omega-z=-z\Bigl(1-\frac{\mathrm i\omega}{z}\Bigr)$$

Il fattore nell'origine non si normalizza e resta com'è. Conviene scrivere prima la costante e poi i fattori: se in ognuno compare $1$, la forma è giusta. Per esempio

$$\frac{s+1}{(s+2)^2}=\frac14\,\frac{1+s}{\bigl(1+\tfrac s2\bigr)^2}$$

Il guadagno è la costante $K$ della forma di Bode. Senza fattori nell'origine, tutti gli altri valgono $1$ per $s=0$ e $K=W(0)$, il valore che moltiplica un ingresso costante a regime. Con $s$ al numeratore $W(0)=0$. Con $s$ al denominatore non esiste il regime per un ingresso costante e non si parla di guadagno.

Costante e fattore $\mathrm i\omega$

Costante. Il modulo $20\log_{10}|K|$ non dipende da $\omega$: sta sopra $0$ dB se $|K|>1$ e sotto se $|K|<1$. La fase è $0$ per $K>0$. Per $K<0$ è $\pi$ a meno di multipli di $2\pi$, equivalente a $-\pi$, e si sceglie $-\pi$.

Fattore $\mathrm i\omega$. Per $\omega>0$ il modulo è $\omega$, quindi $M_{\mathrm{dB}}=20\log_{10}\omega$: un logaritmo, scomodo da sommare agli altri contributi. Se come ascissa si prende $x=\log_{10}\omega$, diventa la retta $20x$.

Il fattore $\mathrm{i}\omega$ in decibel

Pulsazione in scala lineare

$\omega$dB

• $20{\log }_{10}\omega$

Pulsazione in scala logaritmica

${\log }_{10}\omega$dB

• $20x$, con $x={\log }_{10}\omega$

Con $x$ sull'asse, $x=0$ corrisponde a $\omega=1$, $x=1$ a $\omega=10$, $x=-1$ a $\omega=0{,}1$. Nei grafici non si scrive $x$ ma direttamente $\omega$, sulle potenze di $10$. Il piano è semilogaritmico: le ordinate in decibel sono lineari, le ascisse sono logaritmiche, e ogni tratto da $\omega$ a $10\omega$, una decade, ha la stessa lunghezza. La retta passa per $0$ dB in $\omega=1$ e sale di $20$ dB per ogni decade.

Le $\omega$ negative non compaiono, perché $\omega=0$ sta all'infinito. Non servono: il modulo è pari e la fase è dispari, quindi i valori per $\omega<0$ si leggono da quelli positivi. La fase di $\mathrm i\omega$ è costante, perché per $\omega>0$ il punto sta sull'asse immaginario positivo:

$$\angle(\mathrm i\omega)=\frac{\pi}{2}$$

Anche la fase si disegna con l'ascissa logaritmica, così modulo e fase si leggono alla stessa pulsazione. È una comodità di lettura, non serve per calcolare.

Esempio con un fattore ripetuto

$$W(s)=\frac{10}{s^2}$$

Con i poli nell'origine questa $W$ non ammette risposta a regime, ma si disegna lo stesso: come fattore di un sistema più complesso e stabile, il suo contributo si somma a quello degli altri. È già in forma di Bode, con una costante e due fattori $\mathrm i\omega$ al denominatore:

• la costante $10$ dà $20\log_{10}10=20$ dB e fase $0$;
• il fattore $\mathrm i\omega$, due volte al denominatore: si disegna una sola curva, già moltiplicata per la molteplicità $2$ e col segno cambiato, perché va sottratta. È la retta per $0$ dB in $\omega=1$ che scende di $40$ dB per decade, con fase $-2\cdot\pi/2=-\pi$.

Sommando i contributi:

$$\begin{aligned} M_{\mathrm{dB}}&=20-40\log_{10}\omega\\ \varphi&=-\pi \end{aligned}$$

Il modulo è la retta di $-40$ dB per decade alzata di $20$ dB: vale $20$ dB in $\omega=1$ e $-20$ dB in $\omega=10$. Sommare rette è facile: si sommano i termini noti e le pendenze.

Modulo e fase di $K/s^2$

Modulo

${\log }_{10}\omega$dB

• costante $K$
• due fattori $1/(\mathrm{i}\omega )$
• somma

Fase

${\log }_{10}\omega$$\phi /\pi$

• costante $K$
• fattori e somma

$K$

10