Stabilità esterna e risposta a regime

Dal sistema aperto al sistema chiuso

La stabilità interna guarda dentro il sistema, cioè lo stato. Se il sistema è una scatola chiusa si vedono solo l'ingresso $u$ e l'uscita $y$. Senza stato non è chiaro che cosa significhi «equilibrio», ma ha senso chiedere se l'uscita resta limitata mentre il sistema è sollecitato: è la stabilità esterna.

Definizione

Un ingresso che diverge fa divergere l'uscita anche in un sistema buono: la colpa è dell'ingresso. Per isolare il sistema si prendono solo ingressi limitati:

Il sistema è stabile esternamente (BIBO, bounded input, bounded output) se a ogni ingresso limitato corrisponde un'uscita limitata.

Non c'è un punto da cui allontanarsi, quindi non si distingue fra stabilità semplice e asintotica. Provare tutti gli ingressi è impossibile: servono condizioni sul sistema, ricavate solo nel caso lineare.

Le condizioni

Aprendo la scatola, l'uscita è

$$y(t)=\Psi(t-t_0)\,x_0+\int_{t_0}^{t}W(t-\tau)\,u(\tau)\,d\tau$$

Con $\|u(t)\|\le u_{\max}$, la norma di una somma è al più la somma delle norme e quella di un prodotto al più il prodotto delle norme:

$$\begin{aligned} \|y(t)\|&\le\|\Psi(t-t_0)\|\,\|x_0\|\\ &\quad+u_{\max}\int_{t_0}^{t}\|W(t-\tau)\|\,d\tau \end{aligned}$$

L'uscita è limitata se lo sono i due termini. Il primo lo è quando $\Psi$ è limitata, perché $x_0$ è fissato. Nel secondo $W$ sta sotto un integrale su un intervallo che cresce: che tenda a zero non basta, serve

$$\int_0^{+\infty}\|W(\theta)\|\,d\theta<\infty$$

Sia $\Lambda^{o}$ l'insieme degli autovalori dei modi osservabili, quelli presenti in $\Psi$, e $\Lambda^{oE}$ quello dei modi sia eccitabili sia osservabili, quelli presenti in $W$. Poiché sono combinazioni di esponenziali:

1. $\Psi$ è limitata se e solo se $\operatorname{Re}\lambda\le0$ per ogni $\lambda\in\Lambda^{o}$, con molteplicità algebrica e geometrica uguali se $\operatorname{Re}\lambda=0$.
2. $W$ ha integrale finito se e solo se $\operatorname{Re}\lambda<0$ per ogni $\lambda\in\Lambda^{oE}$.

Si ha $\Lambda^{oE}\subseteq\Lambda^{o}$, ma nessuna condizione implica l'altra: la stabilità esterna le richiede entrambe. Con $x_0=0$ il termine libero sparisce e resta solo la 2: è la stabilità esterna nello stato zero, che non va scambiata con la stabilità esterna.

Che cosa dice la funzione di trasferimento

I poli di $W(s)$ sono gli autovalori dei modi eccitabili e osservabili, quindi la sola $W(s)$ decide la stabilità esterna nello stato zero. Per esempio

$$W(s)=\frac{1}{(s+2)(s+3)}$$

ha poli $-2$ e $-3$: il sistema è stabile esternamente nello stato zero. Degli altri modi non si sa nulla, quindi non si conclude sulla stabilità interna, a meno che $W(s)$ sia data come descrizione completa: allora tutti i modi sono eccitabili e osservabili, e la stabilità è anche interna asintotica.

Relazioni fra le stabilità

• Interna asintotica implica esterna: con $\operatorname{Re}\lambda<0$ ovunque valgono entrambe le condizioni.
• Esterna implica esterna nello stato zero, perché ne contiene la condizione.
• Le inverse chiedono ipotesi: lo stato zero implica l'esterna se tutti i modi sono eccitabili, l'esterna implica l'interna asintotica se tutti i modi sono eccitabili e osservabili.
• L'interna semplice non basta: un modo eccitabile e osservabile con $\operatorname{Re}\lambda=0$ viola la condizione 2.

Perché una risposta a regime

Per calcolare l'uscita serve lo stato iniziale, che spesso non è noto o non serve misurare (di un motore nessuno conosce la temperatura di ogni cilindro). Si cerca un legame ingresso-uscita che dipenda il meno possibile da $x_0$.

Se i modi decadono, aspettando molto $\Psi(t-t_0)x_0$ diventa piccolo mentre l'ingresso continua ad agire. Ma $t\to+\infty$ non va: perde la dipendenza da $t$ e per una sinusoide il limite non esiste. Si tiene fisso $t$ e si manda $t_0\to-\infty$. La risposta a regime permanente è

$$y_r(t)=\lim_{t_0\to-\infty}y(t)$$

se il limite esiste, è finito e non dipende da $x_0$.

• Indipendenza da $x_0$: serve $\Psi(t-t_0)\to0$, cioè $\operatorname{Re}\lambda<0$ per tutti i modi osservabili.
• Esistenza: resta un integrale su un intervallo infinito. Con ingressi limitati o a crescita polinomiale converge se $\operatorname{Re}\lambda<0$ per i modi eccitabili e osservabili, condizione già contenuta nella precedente perché $\Lambda^{oE}\subseteq\Lambda^{o}$.

Quindi $\operatorname{Re}\lambda<0$ per ogni $\lambda\in\Lambda^{o}$ è necessaria e sufficiente. La stabilità interna asintotica è sufficiente ma non necessaria: un modo non osservabile può crescere dentro il sistema senza comparire in $y$.

Con $\theta=t-\tau$:

$$\begin{aligned} y_r(t)&=\int_{-\infty}^{t}W(t-\tau)\,u(\tau)\,d\tau\\ &=\int_0^{+\infty}W(\theta)\,u(t-\theta)\,d\theta \end{aligned}$$

Il prezzo è l'informazione: si perdono la risposta libera e la parte della forzata che si spegne. Va bene per far funzionare un sistema, non per sapere se un lago tracima, dove conta il livello iniziale.

Ingresso costante

Con $u(t)=U$:

$$y_r(t)=U\int_0^{+\infty}W(\theta)\,d\theta=U\,W(0)$$

perché l'integrale è la trasformata di $W$ in $s=0$, dove $e^{-s\theta}=1$.

Per la $W(s)$ di prima e $U=1$ i fratti semplici danno la risposta forzata

$$y_F(t)=\frac16-\frac12e^{-2t}+\frac13e^{-3t}$$

Gli esponenziali nascono dai poli del sistema e si spengono. Resta $1/6=W(0)$, che nasce dall'ingresso. Il valore dipende però dal sistema: con $(s+20)(s+30)$ sarebbe $1/600$.

Risposta al gradino, poli $-p$ e $-3$

$t$

• risposta forzata $y_F$
• regime $y_r=W(0)$
• intorno di $y_r$

$p$

2

tolleranza $\epsilon$

0,05

Ingressi polinomiali

Con $u(t)=t$ servono due integrali. Il secondo si ottiene derivando in $s$ la trasformata, perché $e^{-s\theta}$ porta fuori $-\theta$:

$$\begin{gathered} \int_0^{+\infty}W(\theta)\,d\theta=W(0)\\ \int_0^{+\infty}\theta\,W(\theta)\,d\theta=-W'(0) \end{gathered}$$

Quindi

$$\begin{aligned} y_r(t)&=\int_0^{+\infty}W(\theta)\,(t-\theta)\,d\theta\\ &=t\,W(0)+W'(0) \end{aligned}$$

L'uscita è ancora un polinomio di primo grado: i coefficienti dipendono dal sistema. Per $u(t)=t^k/k!$ si sviluppa $(t-\theta)^k$ con la formula del binomio e si ripete il ragionamento:

$$\begin{aligned} y_r(t)&=\sum_{i=0}^{k}\frac{t^{k-i}}{(k-i)!}\\ &\quad\cdot\frac{W^{(i)}(0)}{i!} \end{aligned}$$

Con $i$ da $0$ a $k$ la potenza di $t$ scende da $k$ a $0$ e l'ordine della derivata sale. I numeri $c_i=W^{(i)}(0)/i!$ sono i coefficienti dello sviluppo di Taylor $W(s)=\sum_i c_i\,s^i$ attorno a zero.

Ingresso esponenziale

Con $u(t)=e^{at}$ il fattore $e^{at}$ esce dall'integrale:

$$y_r(t)=e^{at}\int_0^{+\infty}W(\theta)\,e^{-a\theta}\,d\theta=W(a)\,e^{at}$$

purché l'integrale esista. Per $W(s)=1/(s+1)^2$ e $a=4$ il fattore è $W(4)=1/25$. L'esponente $a$ può essere complesso.

Ingresso sinusoidale

Si scrive

$$\sin\omega t=\frac{e^{\mathrm i\omega t}-e^{-\mathrm i\omega t}}{2\mathrm i}$$

e per linearità si sommano le risposte ai due esponenziali, con $a=\pm\mathrm i\omega$:

$$y_r(t)=\frac{W(\mathrm i\omega)\,e^{\mathrm i\omega t}-W(-\mathrm i\omega)\,e^{-\mathrm i\omega t}}{2\mathrm i}$$

Si pone $M=|W(\mathrm i\omega)|$ e $\varphi=\angle W(\mathrm i\omega)$. Poiché $W$ è la trasformata di una funzione reale, come per Fourier il modulo è pari e la fase è dispari: $|W(-\mathrm i\omega)|=M$ e $\angle W(-\mathrm i\omega)=-\varphi$. Dunque

$$\begin{aligned} y_r(t)&=M\,\frac{e^{\mathrm i(\omega t+\varphi)}-e^{-\mathrm i(\omega t+\varphi)}}{2\mathrm i}\\ &=M\sin(\omega t+\varphi) \end{aligned}$$

A regime l'uscita è una sinusoide con la stessa pulsazione, moltiplicata in ampiezza per $M$ e sfasata di $\varphi$. Entrambi dipendono da $\omega$ e dal sistema, non da $x_0$. Il valore $W(\mathrm i\omega)$ si chiama risposta armonica.

Per $W(s)=1/(s+1)$ e $u(t)=\sin2t$ si ha $W(2\mathrm i)=1/(1+2\mathrm i)$, quindi $M=1/\sqrt5$ e $\varphi=-\arctan2$.

Ingresso sinusoidale, $W(s)=1/(s+1)$

$t$

• ingresso
• risposta forzata
• regime $y_r$

$\omega$

2

Transitorio e tempo di assestamento

Il limite $t_0\to-\infty$ è uno strumento matematico. In pratica si parte da un istante finito, per esempio $t_0=0$, e si aspetta che la risposta si avvicini al regime.

Non serve aspettare all'infinito: si sceglie un intorno del regime, stretto quanto chiede il problema (per esempio l'1%), e il tempo di assestamento $T_a$ è l'istante dopo il quale la risposta resta dentro:

$$|y_F(t)-y_r|\le\varepsilon\,|y_r|\qquad t\ge T_a$$

Il valore di $T_a$ lo decide il sistema, cioè la rapidità con cui si spengono gli esponenziali dei suoi poli.

Tutto ciò che non è regime è il transitorio:

$$y_t(t)=y(t)-y_r(t)$$

Contiene la risposta libera, che dipende da $x_0$, e la parte della forzata che si spegne. Non se ne studia l'andamento esatto, ma due caratteristiche globali.

Sovraelongazione. È quanto la risposta forzata supera il valore di regime, in rapporto a quel valore:

$$\hat S=\frac{\max_t y_F(t)-y_r}{y_r}$$

Il rapporto rende confrontabili obiettivi di ampiezza diversa. Il cappello distingue $\hat S$ dalla variabile $s$ di Laplace.

Poli $-1\pm \mathrm{i}\mathrm{Im}\lambda$

massimo$t$

• risposta forzata $y_F$
• regime $y_r$

$\mathrm{Im}\lambda$

2

Tempo di salita. È il tempo che la risposta impiega per passare dal 10% al 90% del regime: più è piccolo, più il sistema è veloce. Non si misura fino al regime, perché una risposta di esponenziali decrescenti vi si avvicina senza raggiungerlo. Il 90% si raggiunge sempre.

Risposta $1-e^{-pt}$

10%90%$t$

• risposta forzata $y_F$
• regime $y_r$

$p$

1

Non esiste una formula valida per ogni sistema: quelle note valgono per un modello particolare, per esempio una sola coppia di poli complessi coniugati, e con uno zero o un polo in più non valgono più.