Energia, potenza e convoluzione dei segnali

Supporto, durata e valore medio

Per confrontare segnali servono grandezze che li riassumano: quanto durano, quanto valgono in media, quanta energia e quanta potenza portano.

Il supporto di $x(t)$ è l'insieme dei $t$ in cui $|x(t)|>0$ e la durata è la misura del supporto. Per una sequenza $x_n$ il supporto è l'insieme degli indici con $|x_n|>0$ e la durata è un numero intero. Se il segnale tende a zero senza annullarsi, si fissa una soglia sotto cui è trascurabile: in senso stretto la durata è infinita, in pratica dipende dalla soglia.

Fra le sequenze elementari, $\delta_n$ vale $1$ solo per $n=0$ e $u_n$ vale $1$ per $n\ge0$. La rettangolare ha durata $N$, la triangolare $2N-1$:

$$\begin{gathered} x_n=\begin{cases}1,&n=0,1,\dots,N-1\\0,&\text{altrimenti}\end{cases}\\[0.6em] x_n=\begin{cases}N-|n|,&-N<n<N\\0,&\text{altrimenti}\end{cases} \end{gathered}$$

Se la durata è finita, il valore medio si calcola sul supporto $[a,b]$, oppure sugli $N$ campioni del supporto:

$$\begin{gathered} \mu_x^I=\frac1{b-a}\int_a^b x(t)\,dt\\[0.6em] \mu_x^I=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}x_n \end{gathered}$$

Se è infinita, si fa il limite, quando esiste, su una finestra centrata nell'origine che si allarga:

$$\begin{gathered} \mu_x=\lim_{T\to+\infty}\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\,dt\\[0.6em] \mu_x=\lim_{N\to\infty}\frac1{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}x_n \end{gathered}$$

La finestra contiene $2N+1$ campioni. Dividere per $2N$ dà lo stesso limite.

Perché energia e potenza

Una comunicazione riesce se il segnale arriva al ricevitore abbastanza forte rispetto al rumore. Il rapporto segnale-rumore (SNR) è il rapporto fra la potenza del segnale utile $P_s$ e quella del rumore $P_r$, e si esprime in decibel:

$$\mathrm{SNR}_{\mathrm{dB}}=10\log_{10}\frac{P_s}{P_r}$$

La probabilità di errore $P_e$ è la probabilità che il ricevitore legga un messaggio diverso da quello inviato, per esempio $1$ al posto di $0$. Diminuisce quando l'SNR cresce. Se il rumore non si può ridurre, per sbagliare meno bisogna trasmettere con più potenza. Energia e potenza servono a descrivere le prestazioni di una comunicazione.

Energia e segnali di energia

L'energia è l'area sotto il quadrato del segnale:

$$\begin{gathered} E_x=\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2\,dt\\[0.6em] E_x=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x_n|^2 \end{gathered}$$

È reale e non negativa. Per un segnale reale il modulo si toglie, per uno complesso serve a ottenere un numero reale. Due classi di segnali:

$$\begin{gathered} \text{di energia:}\quad 0<E_x<+\infty\\[0.6em] \text{impulsivo:}\quad \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|\,dt<+\infty \end{gathered}$$

Le classi si sovrappongono ma non coincidono. Un segnale non nullo, limitato e di durata strettamente finita è di energia e impulsivo. Invece $x(t)=\operatorname{rect}(t)\,|t|^{-1/2}$ è impulsivo ma non di energia: l'area sotto $|x|$ è finita, vale $2\sqrt2$, mentre sotto $|x|^2$ c'è $1/|t|$ e l'area diverge.

Per $x(t)=\operatorname{rect}(t)$ il quadrato vale $1$ sul supporto, quindi l'energia è l'area del rettangolo. Per $x(t)=\operatorname{tri}(t)=1-|t|$ si integra una metà e si raddoppia:

$$\begin{gathered} E_{\operatorname{rect}}=\int_{-1/2}^{1/2}1\,dt=1\\[0.6em] E_{\operatorname{tri}}=2\int_0^1(1-t)^2\,dt=\frac23 \end{gathered}$$

L'esponenziale causale $x(t)=A\,e^{-\alpha t}u_{-1}(t)$, con $A$ reale e $\alpha>0$ perché l'integrale converga, vale $Ae^{-\alpha t}$ per $t\ge0$ e $0$ prima. La durata è infinita in senso stretto, ma l'energia è finita:

$$\begin{aligned} E_x&=\int_0^{+\infty}A^2e^{-2\alpha t}\,dt=\frac{A^2}{2\alpha}\\ \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|\,dt&=\int_0^{+\infty}|A|e^{-\alpha t}\,dt=\frac{|A|}\alpha \end{aligned}$$

Per $A\ne0$ è dunque di energia e impulsivo: un segnale di durata infinita può avere energia finita.

$x(t)=e^{-\alpha t}{u}_{-1}(t)$, con $A=1$

$t$

• $x(t)$
• $|x(t){|}^2$

$\alpha$

1

Potenza e segnali periodici

La potenza è l'energia in una finestra centrata nell'origine, divisa per l'ampiezza della finestra, che si allarga. È un'energia media per unità di tempo, cioè il valore medio di $|x(t)|^2$:

$$\begin{gathered} P_x=\lim_{T\to+\infty}\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}|x(t)|^2\,dt\\[0.6em] P_x=\lim_{N\to\infty}\frac1{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}|x_n|^2 \end{gathered}$$

Un segnale è di potenza se $0<P_x<+\infty$.

Per $x(t)=c$, con $c\ne0$, l'energia e l'integrale di $|x|$ sono infiniti: non è né di energia né impulsivo. La potenza invece è finita:

$$P_x=\lim_{T\to+\infty}\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}c^2\,dt=c^2$$

La durata infinita non basta a stabilire la classe: l'esponenziale causale ha durata infinita ed è di energia, la costante è di potenza. Anche il rumore additivo, in generale a durata infinita, si caratterizza con la potenza.

Un segnale periodico di periodo $T_0$ somma repliche di un segnale $g(t)$ traslate di $nT_0$. Ha durata infinita ed è di potenza: la media si fa su un solo periodo.

$$\begin{gathered} x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}g(t-nT_0)\\[0.6em] P_x=\frac1{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}|x(t)|^2\,dt \end{gathered}$$

Coseno. Per $x(t)=A\cos(2\pi f_0t+\varphi)$, con $T_0=1/f_0$, si usa $\cos^2\theta=(1+\cos2\theta)/2$. Il termine a frequenza doppia ha area nulla su un periodo:

$$\begin{aligned} P_x&=\frac{A^2}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\cos^2(2\pi f_0t+\varphi)\,dt\\ &=\frac{A^2}{2T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\bigl[1+\cos(4\pi f_0t+2\varphi)\bigr]dt\\ &=\frac{A^2}{2T_0}\,(T_0+0)=\frac{A^2}{2} \end{aligned}$$

Coseno, con $f_0=1/T_0$

$t/T_0$

• $x(t)$
• $P_x=A^2/2$
• $|x(t){|}^2$

$A$

1,2

$\phi$

0,8

Treno di impulsi rettangolari. Somma repliche di un rettangolo alto $1$ e largo $D\le T_0$, centrate nei multipli di $T_0$. In un periodo il segnale è non nullo per una durata $D$:

$$\begin{gathered} x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\operatorname{rect}\Bigl(\frac{t-nT_0}{D}\Bigr)\\[0.6em] P_x=\frac1{T_0}\int_{-D/2}^{D/2}1\,dt=\frac D{T_0} \end{gathered}$$

Il rapporto $D/T_0$ è il duty cycle: la frazione del periodo in cui il segnale è alto. Vale al più $1$, quando $D=T_0$, e coincide con la potenza.

Treno di impulsi rettangolari

$t$

• $x(t)$
• $P_x=D/T_0$

$D$

0,5

$T_0$

2

Scalature e traslazioni

Dalle definizioni si ricava, con $a\ne0$:

$$\begin{gathered} y=A\,x:\quad E_y=|A|^2E_x,\quad P_y=|A|^2P_x\\[0.6em] y(t)=x(t-t_0):\quad E_y=E_x,\quad P_y=P_x\\[0.6em] y(t)=x(at):\quad E_y=\frac{E_x}{|a|},\quad P_y=P_x \end{gathered}$$

Per le sequenze, $y_n=x_{n-M}$ lascia invariate energia e potenza. Traslare sposta l'area sotto $|x|^2$ senza cambiarla. Moltiplicare per $A$ moltiplica l'altezza di $|x|^2$ per $|A|^2$. Con $a=2$ il segnale dura la metà e l'area si dimezza. La potenza resta uguale, perché finestra e area si scalano dello stesso fattore.

$y(t)=Ax(a(t-t_0))$, con $x=\mathrm{rect}$

$t$

• $|x(t){|}^2$
• $|y(t){|}^2$

$A$

1

$a$

2

$t_0$

1

Esercizio. Energia di $z(t)=\operatorname{rect}(t-3)+2\operatorname{rect}(t/2-1)$. Il primo rettangolo ha altezza $1$ e supporto $[5/2,7/2]$. Nel secondo $t/2-1=(t-2)/2$: centro $2$, larghezza $2$, altezza $2$, supporto $[1,3]$. Dove i supporti si sovrappongono le ampiezze si sommano e poi si elevano al quadrato, quindi conviene disegnare prima $z$. I tre tratti hanno ampiezza $2$, $3$, $1$ e lunghezza $3/2$, $1/2$, $1/2$:

$$E_z=\frac32\cdot2^2+\frac12\cdot3^2+\frac12\cdot1^2=11$$

L'energia della somma non è la somma delle energie, $1+8=9$: la differenza, $2$, viene dalla sovrapposizione.

$z(t)=\mathrm{rect}(t-3)+2\mathrm{rect}(t/2-1)$

$t$

• $z(t)$
• $|z(t){|}^2$

Impulso matematico

L'impulso matematico è il limite di rettangoli sempre più stretti e più alti, con area $1$. Con $\operatorname{rect}_{\Delta t}(t)=\operatorname{rect}(t/\Delta t)$:

$$\delta(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac1{\Delta t}\operatorname{rect}_{\Delta t}(t)$$

La durata tende a zero e l'ampiezza in $t=0$ a $+\infty$. Si disegna con una freccia verso l'alto. Non è l'impulso discreto $\delta_n$: l'analogia è solo che l'area di $\delta(t)$ è $1$, come il campione di $\delta_n$ in $n=0$.

Da rettangolo a impulso

$t$

• $\frac{1}{\Delta t}{\mathrm{rect}}_{\Delta t}(t)$

$\Delta t$

1

È una funzione generalizzata: non si valuta punto per punto, ma sotto il segno di integrale, dove agisce su un segnale di test $x(t)$:

$$\begin{gathered} \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\,dt=1,\quad \int_{-\infty}^{+\infty}A\,\delta(t)\,dt=A\\[0.6em] \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\,\delta(t-t_0)\,dt=x(t_0) \end{gathered}$$

L'ultima è la proprietà di campionamento, per $x$ continuo in $t_0$: $\delta(t-t_0)$ preleva il valore di $x$ in $t_0$. È il modo di prelevare campioni da un segnale continuo. Per esempio, la rect si annulla in $t=1$:

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\operatorname{rect}(t)\,\delta(t-1)\,dt=\operatorname{rect}(1)=0$$

Proprietà di campionamento, con $x(t)=\mathrm{tri}(t)$

$x(t_0)$$t$

• $x(t)$
• $\delta (t-t_0)$

$t_0$

−1,5

Convoluzione

La convoluzione è una terza operazione fra segnali, dopo somma e prodotto punto per punto. Il risultato è ancora un segnale nella variabile $t$:

$$\varphi_{xy}(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\,y(t-\tau)\,d\tau=x(t)*y(t)$$

$\tau$ è la variabile di integrazione, $t$ un parametro che si fa variare su tutto $\mathbb R$. Per ogni $t$:

1. si disegnano $x(\tau)$ e $y(\tau)$;
2. si ribalta $y$ rispetto all'asse verticale: $y(-\tau)$;
3. si trasla di $t$, ottenendo $y(t-\tau)$: a destra se $t>0$, a sinistra se $t<0$;
4. si fa il prodotto $x(\tau)\,y(t-\tau)$;
5. se ne calcola l'area, che è il valore di $\varphi_{xy}$ in $t$.

Due rettangoli. $x$ vale $1$ in $[-4,4]$, $y$ vale $1$ in $[0,3]$. Dopo ribaltamento e traslazione il supporto di $y(t-\tau)$ è $[t-3,t]$.

• Per $t<-4$ i supporti sono disgiunti, il prodotto è nullo e $\varphi_{xy}(t)=0$.
• Per $-4\le t\le-1$ la sovrapposizione va da $-4$ a $t$:

$$\varphi_{xy}(t)=\int_{-4}^{t}1\,d\tau=t+4$$

È una retta di pendenza $1$ che parte da $0$ in $t=-4$. In $t=-1$, quando $y(t-\tau)$ è tutto dentro $x(\tau)$, vale $3$: l'area di $y$.

Le slide completano il calcolo con lo stesso metodo. Per $-1\le t\le4$ il rettangolo $y(t-\tau)$ resta dentro $x(\tau)$ e l'area è $3$. Per $4\le t\le7$ la sovrapposizione va da $t-3$ a $4$ e vale $7-t$. Per $t>7$ i supporti sono di nuovo disgiunti. Il risultato è un trapezio:

$$\varphi_{xy}(t)=\begin{cases}0,&t<-4\\t+4,&-4\le t\le-1\\3,&-1\le t\le4\\7-t,&4\le t\le7\\0,&t>7\end{cases}$$

Il rettangolo che scorre

$\tau$

• $x(\tau )$
• $x(\tau )y(t-\tau )$
• $y(t-\tau )$

$t$

• ${\phi }_{xy}(t)$

$t$

−5,5