Convoluzione e trasformata di Fourier

Convoluzione di due rettangoli di durata 8 e 3

La convoluzione di due segnali è un terzo segnale. Il suo valore in $t$ è l'area del prodotto fra $x$ e una copia di $y$ ribaltata e traslata di $t$. Si calcola per tratti, perché il prodotto è diverso da zero solo dove i due supporti si sovrappongono.

$$\varphi_{xy}(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\,y(t-\tau)\,d\tau=x(t)*y(t)$$

$\tau$ è la variabile di integrazione. $t$ è un parametro esterno all'integrale e si fa variare su tutto $\mathbb R$, per ottenere il segnale completo.

Sia $x(\tau)=1$ in $[-4,4]$ e $y(\tau)=1$ in $[0,3]$. Ribaltato e traslato, $y(t-\tau)$ vale $1$ in $[t-3,\,t]$: il bordo destro è $t$, il sinistro è $t-3$. Conviene farlo scorrere da sinistra a destra, nel verso di lettura.

Prima della sovrapposizione. Per $t<-4$ il bordo destro non ha raggiunto $-4$, quindi i supporti sono disgiunti e $\varphi_{xy}(t)=0$.

Ingresso. Per $-4<t<-1$ il bordo destro è dentro $[-4,4]$ e il sinistro è ancora fuori, cioè $t>-4$ e $t-3<-4$. Si sovrappongono i punti di $[-4,t]$:

$$\varphi_{xy}(t)=\int_{-4}^{t}1\,d\tau=t+4$$

È una retta di pendenza $1$, che vale $0$ in $t=-4$ e $3$ in $t=-1$.

Contenimento. Per $-1<t<4$ valgono $t-3>-4$ e $t<4$, quindi $y(t-\tau)$ sta tutto dentro il supporto di $x$. L'area è quella di $y$ e non dipende da $t$:

$$\varphi_{xy}(t)=\int_{t-3}^{t}1\,d\tau=3$$

Uscita. Per $4<t<7$ il bordo destro ha superato $4$ e il sinistro è ancora dentro, cioè $t>4$ e $t-3<4$. Si sovrappongono i punti di $[t-3,\,4]$:

$$\varphi_{xy}(t)=\int_{t-3}^{4}1\,d\tau=7-t$$

Questa retta vale $3$ in $t=4$ e $0$ in $t=7$. Per $t>7$ i supporti sono di nuovo disgiunti. Il risultato è un trapezio:

$$\varphi_{xy}(t)=\begin{cases} 0&t<-4\\ t+4&-4\le t\le-1\\ 3&-1\le t\le4\\ 7-t&4\le t\le7\\ 0&t>7 \end{cases}$$

Due rettangoli uguali: il triangolo

Con $x(\tau)=\operatorname{rect}(\tau)$, che vale $1$ in $[-1/2,\,1/2]$, e $y(t-\tau)=\operatorname{rect}(t-\tau)$, che vale $1$ in $[t-1/2,\,t+1/2]$, i casi sono gli stessi, tranne il contenimento, che si riduce al solo $t=0$. Il ribaltamento non cambia la forma, perché la rect è pari.

Per $t<-1$ il bordo destro $t+1/2$ è prima di $-1/2$: i supporti sono disgiunti e la convoluzione è nulla. Per $-1<t<0$ si sovrappongono i punti di $[-1/2,\,t+1/2]$. Per $0<t<1$ quelli di $[t-1/2,\,1/2]$. Per $t>1$ la convoluzione torna a zero. In $t=0$ i due rettangoli coincidono e l'area è $1$.

$$\begin{gathered} \int_{-1/2}^{t+1/2}1\,d\tau=1+t\quad(-1<t<0)\\[0.6em] \int_{t-1/2}^{1/2}1\,d\tau=1-t\quad(0<t<1) \end{gathered}$$

I due tratti formano la triangolare, diversa da zero in $[-1,1]$ e con massimo $1$ in $t=0$:

$$\operatorname{rect}(t)*\operatorname{rect}(t)=\operatorname{tri}(t)$$

Proprietà della convoluzione

La convoluzione è commutativa e associativa:

$$\begin{gathered} x(t)*y(t)=y(t)*x(t)\\[0.6em] [x(t)*y(t)]*z(t)=x(t)*[y(t)*z(t)] \end{gathered}$$

Nel calcolo a mano si può quindi scegliere quale segnale ribaltare e traslare. Con una rect e una tri conviene traslare la rect, che è più semplice da seguire.

Se $x$ e $y$ hanno durate $\Delta_x$ e $\Delta_y$, la convoluzione dura $\Delta_x+\Delta_y$. La proprietà si usa senza dimostrarla, come controllo del calcolo: $8+3=11$, da $-4$ a $7$, e $1+1=2$, da $-1$ a $1$.

Durata della convoluzione

I due segnali, centrati in $-2$ e $2$

${\Delta }_x$${\Delta }_y$$t$

• $x(t)$
• $y(t)$

La convoluzione

${\Delta }_x+{\Delta }_y$$t$

• ${\phi }_{xy}(t)$

${\Delta }_x$

1

${\Delta }_y$

1

Convoluzione con un impulso

Si sostituisce $y=\delta$ nella definizione:

$$x(t)*\delta(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\,\delta(t-\tau)\,d\tau=x(t)$$

Come funzione di $\tau$, $\delta(t-\tau)$ è concentrato in $\tau=t$. Per la proprietà di campionamento l'integrale restituisce il valore di $x$ in quel punto. L'impulso è quindi l'elemento neutro della convoluzione, come $1$ lo è del prodotto.

Con un impulso centrato in $t_0$ il campionamento avviene in $\tau=t-t_0$, e il risultato è $x$ traslato di $t_0$:

$$x(t)*\delta(t-t_0)=x(t-t_0)$$

Convoluzione con un impulso traslato

$\delta (t-t_0)$$t$

• $x(t)$
• $x(t)\ast \delta (t-t_0)$

$t_0$

1,5

Convoluzione con un treno di impulsi

Il treno di impulsi matematici $\Gamma_T(t)$ somma impulsi centrati nei multipli del passo $T$. È un segnale periodico di periodo $T$, come il treno di rettangoli ma con $\delta$ al posto del rettangolo:

$$\Gamma_T(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(t-kT)$$

Nella convoluzione la somma esce dall'integrale. Ogni termine è la convoluzione di $x$ con un impulso traslato, e trasla $x$ di $kT$:

$$\begin{aligned} x(t)*\Gamma_T(t)&=\sum_k x(t)*\delta(t-kT)\\ &=\sum_k x(t-kT) \end{aligned}$$

Il risultato è una replica di $x$ per ogni multiplo di $T$. Serve per il teorema del campionamento.

Un segnale convolto con un treno di impulsi

Il segnale e il treno

${\Gamma }_T(t)$$T$$t$

• $x(t)$

La convoluzione

$t$

• $x(t)\ast {\Gamma }_T(t)$

$T$

1,5

Convoluzione a tempo discreto

Per le sequenze la convoluzione si definisce allo stesso modo. L'integrale diventa una somma dei prodotti dei campioni:

$$\varphi_n=\sum_k x_k\,y_{n-k}$$

Filtri e risposta impulsiva

Un sistema è un blocco che riceve un ingresso $x(t)$ e produce un'uscita $y(t)$. È lineare se vale la sovrapposizione degli effetti: se $x_1(t)\to y_1(t)$ e $x_2(t)\to y_2(t)$, allora, con $a$ e $b$ costanti,

$$a\,x_1(t)+b\,x_2(t)\to a\,y_1(t)+b\,y_2(t)$$

È invariante nel tempo se un ingresso anticipato o ritardato di $t_0$ dà un'uscita anticipata o ritardata della stessa quantità: se $x(t)\to y(t)$, allora

$$x(t-t_0)\to y(t-t_0)$$

Un sistema con entrambe le proprietà si chiama filtro.

La risposta impulsiva $h(t)$ è l'uscita del filtro quando l'ingresso è l'impulso matematico $\delta(t)$. Si definisce quando si progetta il filtro, in base all'operazione che deve compiere. Con un ingresso qualunque l'uscita è la convoluzione dell'ingresso con $h(t)$:

$$y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau=x(t)*h(t)$$

Filtri diversi hanno risposte impulsive diverse, scelte in base all'operazione voluta, per esempio attenuare il rumore bianco. Anche i filtri passa basso e passa banda hanno la loro $h(t)$.

Trasformata di Fourier a tempo continuo

La trasformata di Fourier a tempo continuo (CTFT) vale per i segnali a tempo continuo. Per quelli a tempo discreto esiste un'altra trasformata. La CTFT porta $x(t)$ nel dominio della frequenza e lo scompone in componenti alle frequenze $f$: è l'analisi. L'antitrasformata ricompone il segnale dalle sue componenti: è la sintesi.

$$\begin{gathered} X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\,e^{-\mathrm j2\pi ft}\,dt=\mathrm{FT}\{x(t)\}\\[0.6em] x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\,e^{\mathrm j2\pi ft}\,df=\mathrm{FT}^{-1}\{X(f)\} \end{gathered}$$

Le frequenze compaiono perché $x(t)$ si moltiplica per un esponenziale complesso. Per la formula di Eulero ha una parte reale cosinusoidale e una immaginaria sinusoidale, entrambe alla frequenza $f$ dell'esponente:

$$e^{-\mathrm j2\pi ft}=\cos(2\pi ft)-\mathrm j\sin(2\pi ft)$$

Facendo variare $f$ su tutto $\mathbb R$ il segnale si analizza a tutte le frequenze.

Trasformata di un rettangolo

La rettangolare larga $T$, $\operatorname{rect}_T(t)=\operatorname{rect}(t/T)$, vale $1$ in $[-T/2,\,T/2]$ e $0$ altrove. L'integrale si riduce a quell'intervallo:

$$\begin{aligned} X(f)&=\int_{-T/2}^{T/2}e^{-\mathrm j2\pi ft}\,dt\\ &=\frac{e^{-\mathrm j\pi fT}-e^{\mathrm j\pi fT}}{-\mathrm j2\pi f} \end{aligned}$$

Si cambia il segno al numeratore e al denominatore e si usa $\sin z=(e^{\mathrm jz}-e^{-\mathrm jz})/(2\mathrm j)$, con $z=\pi fT$. Poi si moltiplica e si divide per $T$, per ottenere la forma della sinc, $\operatorname{sinc}(u)=\sin(\pi u)/(\pi u)$:

$$\begin{aligned} X(f)&=\frac{e^{\mathrm j\pi fT}-e^{-\mathrm j\pi fT}}{\mathrm j2\pi f}\\ &=\frac{\sin(\pi fT)}{\pi f}\\ &=T\,\frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT}=T\operatorname{sinc}(fT) \end{aligned}$$

La sinc vale $1$ in $0$, quindi $X(0)=T$, e si annulla nei multipli non nulli di $1/T$. Per il rettangolo elementare, con $T=1$, la trasformata è $\operatorname{sinc}(f)$.