Lezione 4 · Canale 2 · martedì 20 ottobre 2026

Trasformata di Fourier: proprietà e coppie notevoli

FCI · Segnali

La trasformata e la sua inversa

La trasformata di Fourier scrive un segnale come somma di infinite componenti armoniche, cioè di esponenziali complessi di ogni frequenza. La trasformata è l'analisi, l'antitrasformata la sintesi:

\begin{gathered} X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\,e^{-\mathrm j2\pi ft}\,dt=\mathrm{FT}\{x(t)\}\\[0.6em] x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\,e^{\mathrm j2\pi ft}\,df=\mathrm{FT}^{-1}\{X(f)\} \end{gathered}

Una coppia segnale e trasformata si scrive $x(t)\longleftrightarrow X(f)$ . La rect larga $T$ ha per trasformata una sinc, e per $T=1$ si ha la coppia unitaria:

\begin{gathered} \operatorname{rect}\Bigl(\frac tT\Bigr)\longleftrightarrow T\operatorname{sinc}(Tf)\\[0.6em] \operatorname{rect}(t)\longleftrightarrow\operatorname{sinc}(f) \end{gathered}

Le proprietà seguono dalla definizione: ogni dimostrazione parte dall'integrale e cambia variabile.

Linearità e dualità

La trasformata è un integrale, quindi è lineare: la trasformata di una somma pesata è la somma pesata delle trasformate.

\mathrm{FT}\{a\,x(t)+b\,y(t)\}=a\,X(f)+b\,Y(f)

La dualità ricava da una coppia un'altra coppia, con i ruoli di tempo e frequenza scambiati:

x(t)\longleftrightarrow X(f)\quad\Longrightarrow\quad X(t)\longleftrightarrow x(-f)

Se $x$ è pari, $x(-f)=x(f)$ e la riflessione sparisce. Da $\operatorname{rect}(t)\longleftrightarrow\operatorname{sinc}(f)$ si ottiene così $\operatorname{sinc}(t)\longleftrightarrow\operatorname{rect}(f)$ . Basta dunque calcolare metà delle coppie notevoli: l'altra metà viene per dualità.

Scalatura

Una scalatura nel tempo, con $\alpha\ne0$ , scala al contrario l'asse delle frequenze:

\mathrm{FT}\{x(\alpha t)\}=\frac1{|\alpha|}\,X\Bigl(\frac f\alpha\Bigr)

Per $\alpha>0$ si pone $t'=\alpha t$ , quindi $dt=dt'/\alpha$ , e l'integrale diventa quello di $X$ calcolato in $f/\alpha$ :

\begin{aligned} \mathrm{FT}\{x(\alpha t)\}&=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\alpha t)\,e^{-\mathrm j2\pi ft}\,dt\\ &=\frac1\alpha\int_{-\infty}^{+\infty}x(t')\,e^{-\mathrm j2\pi\frac f\alpha t'}\,dt'\\ &=\frac1\alpha\,X\Bigl(\frac f\alpha\Bigr) \end{aligned}

Per $\alpha<0$ gli estremi di integrazione si invertono e davanti compare il modulo.

La $\operatorname{rect}(t/T)$ è la $\operatorname{rect}(t)$ scalata con $\alpha=1/T$ . Dalla coppia unitaria si ritrova quindi $T\operatorname{sinc}(Tf)$ . Un segnale più largo nel tempo ha una trasformata più stretta, e un segnale breve è largo in frequenza.

Scalatura della rect

Nel tempo

T

t

$rect (t / T)$

In frequenza

1/ T

- 1/ T

f

$T sinc (T f)$

T

Un segnale più largo nel tempo ha una trasformata più stretta e più alta, e viceversa: il primo zero della sinc sta in

1/ T

Traslazione nel tempo e in frequenza

Traslare un segnale di $t_0$ moltiplica la trasformata per un esponenziale complesso. Con $t'=t-t_0$ l'esponenziale si separa in due fattori. Quello che contiene $t_0$ non dipende da $t'$ , quindi esce dall'integrale:

\begin{aligned} \mathrm{FT}\{x(t-t_0)\}&=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t-t_0)\,e^{-\mathrm j2\pi ft}\,dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t')\,e^{-\mathrm j2\pi f(t'+t_0)}\,dt'\\ &=e^{-\mathrm j2\pi ft_0}\,X(f) \end{aligned}

Il segno di $t_0$ resta nella formula, anche se $t_0$ è negativo.

Il caso duale è la moltiplicazione del segnale per un esponenziale complesso. Gli esponenti si sommano, e la trasformata si sposta in frequenza:

\begin{aligned} \mathrm{FT}\{x(t)\,e^{\mathrm j2\pi f_0t}\}&=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\,e^{-\mathrm j2\pi(f-f_0)t}\,dt\\ &=X(f-f_0) \end{aligned}

Il segno dell'esponente decide il verso: con $e^{+\mathrm j2\pi f_0t}$ la trasformata trasla verso destra, con $e^{-\mathrm j2\pi f_0t}$ verso sinistra. Per $\operatorname{rect}(t)\,e^{\mathrm j10\pi t}$ si ha $f_0=5$ , e la trasformata è $\operatorname{sinc}(f-5)$ .

Impulso e costante

La trasformata dell'impulso matematico si calcola con la proprietà di campionamento: l'esponenziale si valuta in $t=0$ e vale $1$ .

\mathrm{FT}\{\delta(t)\}=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\,e^{-\mathrm j2\pi ft}\,dt=1

Un segnale infinitamente stretto nel tempo è infinitamente largo in frequenza: contiene tutte le frequenze con lo stesso peso. Anche la rect, di durata finita, ha una sinc che si estende a tutte le frequenze.

Per dualità e linearità, la trasformata di una costante $C$ è un impulso in frequenza, di area $C$ :

\mathrm{FT}\{C\}=C\,\delta(f)

La traslazione nel tempo, applicata a $x(t)=\delta(t)$ , e quella in frequenza, applicata a $x(t)=1$ , danno l'impulso traslato e l'esponenziale complesso:

\begin{gathered} \delta(t-t_0)\longleftrightarrow e^{-\mathrm j2\pi ft_0}\\[0.6em] e^{\mathrm j2\pi f_0t}\longleftrightarrow\delta(f-f_0) \end{gathered}

Coseno e seno

Si scrivono come somme di esponenziali complessi, di cui si conosce la trasformata. Con $\cos z=(e^{\mathrm jz}+e^{-\mathrm jz})/2$ :

\begin{aligned} \mathrm{FT}\{A\cos(2\pi f_0t)\}&=\frac A2\,\delta(f-f_0)\\ &\quad+\frac A2\,\delta(f+f_0) \end{aligned}

Il coseno dura per sempre nel tempo, mentre la sua trasformata sta in due sole frequenze, $\pm f_0$ .

Con $\sin z=(e^{\mathrm jz}-e^{-\mathrm jz})/(2\mathrm j)$ compare $\mathrm j$ al denominatore. Si moltiplica e si divide per $\mathrm j$ , e poiché $\mathrm j^2=-1$ si ha $1/\mathrm j=-\mathrm j$ :

\begin{aligned} \mathrm{FT}\{A\sin(2\pi f_0t)\}&=\frac A{2\mathrm j}\bigl[\delta(f-f_0)-\delta(f+f_0)\bigr]\\ &=-\mathrm j\,\frac A2\,\delta(f-f_0)\\ &\quad+\mathrm j\,\frac A2\,\delta(f+f_0) \end{aligned}

Coseno e seno in frequenza

Coseno: $X (f)$ è reale

A /2

A /2

f

Re X

Seno: $X (f)$ è immaginaria

A /2

- A /2

f

Im X

A

1,6

f_{0}

Coseno e seno hanno impulsi in

\pm f_{0}

: per il coseno la trasformata è reale e pari, per il seno immaginaria e dispari.

Simmetrie e natura della trasformata

Anche un segnale reale ha in generale una trasformata complessa, perché $e^{-\mathrm j2\pi ft}=\cos(2\pi ft)-\mathrm j\sin(2\pi ft)$ :

\begin{aligned} X(f)&=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cos(2\pi ft)\,dt\\ &\quad-\mathrm j\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\sin(2\pi ft)\,dt \end{aligned}

Se $x$ è reale, il primo integrale è la parte reale $R(f)$ , pari in $f$ . Il secondo, cambiato di segno, è la parte immaginaria $I(f)$ , dispari. La trasformata ha allora simmetria hermitiana:

X(f)=X^*(-f)

Se $x$ è reale e pari, l'integrando con il seno è dispari e l'integrale si annulla: $X(f)$ è reale e pari. Lo mostrano il coseno e la rect, con trasformate $\delta$ e sinc.

Se $x$ è reale ma non pari, $X(f)$ è in generale complessa. Il seno è reale e dispari e ha una trasformata puramente immaginaria. La rect traslata è reale ma non pari, e la sua trasformata è la sinc moltiplicata per l'esponenziale della traslazione:

\operatorname{rect}(t-t_0)\longleftrightarrow\operatorname{sinc}(f)\,e^{-\mathrm j2\pi ft_0}

Rect traslata

Nel tempo

t_{0}

t

$rect (t - t_{0})$

In frequenza

f

parte reale
parte immaginaria
$∣ X (f) ∣$

t_{0}

0,5

Traslando nel tempo il modulo non cambia e la trasformata prende una parte immaginaria. Con

t_{0} = 0

il segnale è pari e la trasformata è reale.

Convoluzione e trasformata del triangolo

La convoluzione nel tempo diventa un prodotto in frequenza, e il prodotto nel tempo una convoluzione in frequenza:

\begin{gathered} x(t)*y(t)\longleftrightarrow X(f)\,Y(f)\\[0.6em] x(t)\,y(t)\longleftrightarrow X(f)*Y(f) \end{gathered}

Un prodotto è più semplice da calcolare di una convoluzione, quindi per segnali complessi si passa in frequenza. La tri è la convoluzione di due rect uguali, perciò la sua trasformata è il prodotto di due sinc:

\begin{aligned} \mathrm{FT}\{\operatorname{tri}(t)\}&=\mathrm{FT}\{\operatorname{rect}(t)\}\cdot\mathrm{FT}\{\operatorname{rect}(t)\}\\ &=\operatorname{sinc}^2(f) \end{aligned}

Per dualità, e perché la tri è pari, $\operatorname{sinc}^2(t)\longleftrightarrow\operatorname{tri}(f)$ .

Triangolo e sinc al quadrato

Nel tempo

t

$rect (t)$
$tri (t)$

In frequenza

f

$sinc (f)$
$sinc^{2} (f)$

La convoluzione di due rect è una tri; in frequenza le due sinc si moltiplicano e danno una sinc al quadrato, sempre non negativa.

Serie di Fourier e segnali periodici

Un segnale periodico di periodo $T$ è una somma pesata di esponenziali complessi alle armoniche $f_n=nF$ , multipli della frequenza fondamentale $F=1/T$ . I pesi $X_n$ sono i coefficienti della serie di Fourier e si calcolano su un periodo. Qui la serie è uno strumento di calcolo, e non se ne dimostra la validità.

\begin{gathered} x(t)=\sum_{n\in\mathbb Z}X_n\,e^{\mathrm j2\pi f_nt}\\[0.6em] X_n=\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\,e^{-\mathrm j2\pi f_nt}\,dt \end{gathered}

Per linearità, e perché $e^{\mathrm j2\pi f_nt}\longleftrightarrow\delta(f-f_n)$ , la trasformata è una somma di impulsi alle armoniche, pesati dai coefficienti:

\mathrm{FT}\{x(t)\}=\sum_{n\in\mathbb Z}X_n\,\delta(f-nF)

Il treno periodico di impulsi

Il treno di impulsi matematici di periodo $T$ ha un impulso in ogni multiplo di $T$ :

\Gamma_T(t)=\sum_{k\in\mathbb Z}\delta(t-kT)

È periodico, quindi basta calcolare i suoi coefficienti. In $[-T/2,\,T/2]$ resta il solo impulso in $t=0$ , e per la proprietà di campionamento l'esponenziale vale $1$ :

X_n=\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}\delta(t)\,e^{-\mathrm j2\pi f_nt}\,dt=\frac1T=F

I coefficienti sono tutti uguali a $F$ , quindi:

\mathrm{FT}\{\Gamma_T(t)\}=F\sum_{n\in\mathbb Z}\delta(f-nF)=F\,\Gamma_F(f)

con $\Gamma_F(f)=\sum_{n}\delta(f-nF)$ . Il treno si trasforma in un treno: gli impulsi distano $T$ nel tempo e $F=1/T$ in frequenza, e in frequenza hanno area $F$ . Questo risultato serve per il campionamento.

Treno di impulsi e sua trasformata

Nel tempo

1

T

t

In frequenza

F

F

f

T

Un treno di impulsi di periodo

T

ha per trasformata un treno di periodo

F = 1/ T

e area

F

: accorciando

T

il primo si infittisce, il secondo si dirada.

Formulario

Trasformata

X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\,e^{-\mathrm j2\pi ft}dt

Antitrasformata

x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\,e^{\mathrm j2\pi ft}df

Linearità

\begin{gathered} \mathrm{FT}\{a\,x(t)+b\,y(t)\}\\ =a\,X(f)+b\,Y(f) \end{gathered}

Dualità

\begin{gathered} x(t)\longleftrightarrow X(f)\\ \Rightarrow X(t)\longleftrightarrow x(-f) \end{gathered}

Scalatura, $\alpha\ne0$

\begin{gathered} x(\alpha t)\longleftrightarrow\\ \frac1{|\alpha|}X\Bigl(\frac f\alpha\Bigr) \end{gathered}

Rect larga $T$

\begin{gathered} \operatorname{rect}(t/T)\longleftrightarrow\\ T\operatorname{sinc}(Tf) \end{gathered}

Traslazione nel tempo

\begin{gathered} x(t-t_0)\longleftrightarrow\\ X(f)\,e^{-\mathrm j2\pi ft_0} \end{gathered}

Traslazione in frequenza

\begin{gathered} x(t)\,e^{\mathrm j2\pi f_0t}\longleftrightarrow\\ X(f-f_0) \end{gathered}

Impulso e costante

\begin{gathered} \delta(t)\longleftrightarrow1\\ C\longleftrightarrow C\,\delta(f) \end{gathered}

Impulso traslato

\begin{gathered} \delta(t-t_0)\longleftrightarrow\\ e^{-\mathrm j2\pi ft_0} \end{gathered}

Esponenziale complesso

\begin{gathered} e^{\mathrm j2\pi f_0t}\longleftrightarrow\\ \delta(f-f_0) \end{gathered}

Coseno

\begin{aligned} A\cos(2\pi f_0t)&\longleftrightarrow\\ &\frac A2\,\delta(f-f_0)\\ &+\frac A2\,\delta(f+f_0) \end{aligned}

Seno

\begin{aligned} A\sin(2\pi f_0t)&\longleftrightarrow\\ &-\mathrm j\frac A2\,\delta(f-f_0)\\ &+\mathrm j\frac A2\,\delta(f+f_0) \end{aligned}

Segnale reale

X(f)=X^*(-f)

Reale e pari: $X(f)$ reale e pari

Convoluzione e prodotto

\begin{gathered} x*y\longleftrightarrow X\,Y\\ x\,y\longleftrightarrow X*Y \end{gathered}

Triangolo

\begin{gathered} \operatorname{tri}(t)\longleftrightarrow\operatorname{sinc}^2(f)\\ \operatorname{sinc}^2(t)\longleftrightarrow\operatorname{tri}(f) \end{gathered}

Serie di Fourier, $f_n=nF$

x(t)=\sum_nX_n\,e^{\mathrm j2\pi f_nt}

Coefficienti

\begin{aligned} X_n&=\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}\\ &\quad x(t)\,e^{-\mathrm j2\pi f_nt}dt \end{aligned}

Segnale periodico

\mathrm{FT}\{x\}=\sum_nX_n\,\delta(f-nF)

Treno di impulsi, $F=1/T$

\begin{gathered} \Gamma_T(t)=\sum_k\delta(t-kT)\\ X_n=F\\ \Gamma_T(t)\longleftrightarrow F\,\Gamma_F(f) \end{gathered}