Capitolo 9 · C2

Funzioni differenziabili

Differenziabilità in Rn, Iperpiano tangente, Regole di differenziazione, Differenziale totale, Gradiente della norma, Vettori di funzioni differenziabili, Regola della catena

18 pagine (16 numerate). Aggiornato il 16 ottobre 2026.

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1 Differenziabilità in Rn Definizione – Funzione differenziabile f : Rn → R è differenziabile in x0 ∈ Rn se esiste un vettore a ∈ Rn tale che, per x → x0, f (x) = f (x0) + aT(x − x0) + o∥x − x0∥. È la definizione del Capitolo 8 per R, con due cambi: la costante diventa un vettore a, che dipende da x0, e il prodotto a(x − x0) diventa il prodotto scalare aT(x − x0). L’errore o(∥x − x0∥) tende a 0 più rapidamente della distanza da x0: lim x→x0 f (x) − f (x0) − aT(x − x0) ∥x − x0∥ = 0. Vicino a x0, quindi, f si approssima con la funzione affine f (x0) + aT(x − x0): f è linearizzabile in x0. Con x = x0 + d la definizione dice la stessa cosa in funzione dello spostamento d: f (x0 + d) = f (x0) + aTd + o(∥d∥) per ∥d∥ → 0. Differenziabile e derivabile sono due proprietà diverse: derivabile vuol dire che esistono le derivate parziali (Capitolo 8). Il legame è nella prossima sezione. 2 Conseguenze della differenziabilità Proposizione – Proprietà di una funzione differenziabile Se f : Rn → R è differenziabile in x0, con vettore a, allora: 1. f è continua in x0; 2. f è derivabile in x0 e ∇f (x0) = a; 3. f ammette in x0 la derivata direzionale lungo ogni direzione d̸ = 0, e Df (x0, d) = ∇f (x0)Td. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 1

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Dimostrazione Dalla definizione, nella forma con x e in quella con d: 1. per x → x0 sia aT(x − x0) sia o(∥x − x0∥) tendono a 0, quindi f (x) → f (x0); 2. con lo spostamento td, t > 0: f (x0 + td) − f (x0) = t aTd + o(t∥d∥); si divide per t e, per t → 0+, il rapporto incrementale tende a aTd, quindi Df (x0, d) = aTd; 3. con d = ei e d = −ei si ha Df (x0, ei) = ai e Df (x0, −ei) = −ai; per la proposizione del Capitolo 8 su parziali e direzionali esiste ∂f (x0)/∂xi = ai, per ogni i: ∇f (x0) = a, e il passo 2 dà il punto 3. □ Il vettore della definizione è dunque il gradiente, e da qui si scrive ∇f (x0) al posto di a. Il punto 3 è la regola per le derivate direzionali: un numero, il prodotto scalare fra il gradiente e la direzione. L’ipotesi di differenziabilità non si può togliere: la Sezione 5 mostra che cosa succede senza. In una variabile derivabile e differenziabile coincidono (Capitolo 8). In Rn, con n ≥ 2, no: f differenziabile in x0 =⇒ f derivabile in x0, ma non vale il viceversa. Le due funzioni del Capitolo 8, Sezione 7, sono derivabili nell’origine ma non continue; per il punto 1 della proposizione non sono differenziabili. 3 Iperpiano tangente Definizione – Iperpiano tangente e vettore normale Se f : Rn → R è differenziabile in x0, l’iperpiano tangente al grafico di f nel punto (x0, f (x0)) è H = (x, y) ∈ Rn+1 : y = f (x0) + ∇f (x0)T(x − x0) , Il vettore normale all’iperpiano, e al grafico di f in quel punto, è −∇f (x0) 1 ! ∈ Rn+1. • L’iperpiano è il grafico della funzione affine che approssima f vicino a x0. • Sta in Rn+1, come il grafico di f : n coordinate per x e una per y. Per n = 2 è un piano di R3 (Figura 1); per n = 1 è la retta tangente del Capitolo 8, con normale (−f ′(x0), 1). • Il vettore normale ha n + 1 componenti: le prime n sono quelle di −∇f (x0), l’ultima è 1. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 2

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x1 x2 y Figura 1: Il grafico di f (x1, x2) = 4 − x2 1 − x2 2 (in azzurro) e, nel punto (x0, f (x0)) con x0 = (1, 1 2 )T, un tratto del piano tangente (in arancione) e, in rosso, la direzione del vettore normale (−∇f (x0), 1) = (2, 1, 1). 4 Regole di differenziazione Verificare la differenziabilità con la definizione richiede un limite in n variabili. Due strumenti lo evitano: le regole di questa sezione, che costruiscono funzioni differenziabili da altre che lo sono, e il teorema del differenziale totale (Sezione 5). Proposizione – Regole di differenziazione Siano f, g : Rn → R differenziabili in x0, λ ∈ R e ψ : R → R derivabile in g(x0). Sono differenziabili in x0, con gradiente: 1. somma e multiplo: ∇(f + g)(x0) = ∇f (x0) + ∇g(x0), ∇(λf )(x0) = λ∇f (x0); 2. prodotto: ∇(f g)(x0) = g(x0)∇f (x0) + f (x0)∇g(x0); 3. composta: ∇(ψ ◦ g)(x0) = ψ′g(x0) ∇g(x0); 4. reciproco, se g(x0)̸ = 0: ∇ 1 g (x0) = − 1 g(x0)2 ∇g(x0); 5. rapporto, se g(x0)̸ = 0: ∇ f g (x0) = g(x0)∇f (x0) − f (x0)∇g(x0) g(x0)2 . Sono le regole di derivazione di una variabile, con il gradiente al posto della derivata. Nella composta ψ è una funzione di una variabile: in R derivabile e differenziabile coincidono. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 3

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Dimostrazione I punti 4 e 5 seguono dalle regole 2 e 3: 1. 1/g = ψ ◦ g con ψ(t) = 1/t, derivabile in t = g(x0)̸ = 0 con ψ′(t) = −1/t2; la regola 3 dà il punto 4; 2. f /g = f · l con l = 1/g; per la regola 2 e il punto 4, ∇ f g (x0) = 1 g(x0)∇f (x0) − f (x0) g(x0)2 ∇g(x0) = g(x0)∇f (x0) − f (x0)∇g(x0) g(x0)2 . □ Le regole bastano già per molte funzioni: • una funzione lineare cTx (Capitolo 7) è differenziabile in ogni punto, con gradiente c: coincide con la propria approssimazione affine, con errore nullo; • somme e prodotti di funzioni lineari danno le funzioni quadratiche e, più in generale, i polinomi, differenziabili su tutto Rn. 5 Il teorema del differenziale totale Teorema – Del differenziale totale Siano f : Rn → R e x0 ∈ Rn. Se 1. f è derivabile in ogni punto di un intorno di x0, e 2. le derivate parziali, cioè le componenti di ∇f , sono continue in x0, allora f è differenziabile in x0. L’esistenza delle derivate parziali non basta; serve anche che siano continue. Il viceversa, «differenziabile ⇒ continua e derivabile», è la proposizione della Sezione 2. In pratica: si calcola ∇f nel punto generico, si guarda dove le sue componenti sono continue, e lì si usa Df (x0, d) = ∇f (x0)Td. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 4

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Esempio – Derivate direzionali di ex2+y2 e di sin(x2 + y2) Nel Capitolo 8 si sono calcolati i gradienti ∇ex2+y2 = 2ex2+y2 x y ! , ∇ sin(x2 + y2) = 2 cos(x2 + y2) x y ! . Le componenti sono continue su tutto R2, quindi per il teorema le due funzioni sono differenziabili in ogni punto, e le derivate direzionali lungo d = (1, 1)T sono la somma delle componenti del gradiente: 1. per f (x, y) = ex2+y2 in (−2, 1): Df (−2, 1), d = −4e5 + 2e5 = −2e5; 2. per f (x, y) = sin(x2 + y2) in (1, −1): Df (1, −1), d = 2 cos 2 − 2 cos 2 = 0. Senza differenziabilità la formula può sbagliare. La funzione del Capitolo 8 che vale 0 sugli assi e 1 fuori ha ∇f (0, 0) = 0, quindi ∇f (0, 0)Td = 0 per ogni d; ma lungo d = (1, 1)T la derivata direzionale non esiste, perché il rapporto incrementale tende a +∞. 6 Gradiente della norma Proposizione – Gradiente della norma euclidea 1. g(x) = ∥x∥2 2 è differenziabile su tutto Rn e ∇g(x) = 2x. 2. f (x) = ∥x∥2 è differenziabile in ogni x̸ = 0 e ∇f (x) = x ∥x∥2 ; nell’origine non è differenziabile. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 5

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Dimostrazione Si scrivono le funzioni con le componenti. 1. g(x) = x2 1 + · · · + x2 n è un polinomio, differenziabile ovunque. La variabile xi compare solo in x2 i , quindi ∂g(x)/∂xi = 2xi, e il vettore delle derivate è 2x. 2. f = ψ ◦ g con ψ(t) = √t, derivabile per t > 0 con ψ′(t) = 1 2√t . Per x̸ = 0 si ha g(x) > 0 e la regola della composta dà ∇f (x) = 1 2p∥x∥2 2 2x = x ∥x∥2 . 3. Nell’origine f (he1) = |h|, e il rapporto incrementale |h|/h vale 1 per h > 0 e −1 per h < 0: la derivata parziale rispetto a x1 non esiste, f non è derivabile in 0 e quindi, per la Sezione 2, non è differenziabile. □ Le derivate parziali si possono anche fare direttamente: rispetto a x1, la derivata della radice per quella dell’argomento dà ∂f (x) ∂x1 = 2x1 2px2 1 + · · · + x2 n = x1 ∥x∥2 , e lo stesso per le altre variabili. Le componenti xi/∥x∥2 sono continue fuori dall’origine, e il teorema del differenziale totale conferma la differenziabilità su Rn \ {0}. Gli Esercizi 2 e 3 usano i due gradienti per scrivere l’iperpiano tangente al grafico di 1 + ∥x∥2 2 e di 1 + ∥x∥2. 7 Vettori di funzioni differenziabili Definizione – Vettore di funzioni differenziabile g : Rn → Rm è differenziabile in x0 ∈ Rn se esiste una matrice A, m × n, tale che lim ∥d∥→0 ∥g(x0 + d) − g(x0) − Ad∥ ∥d∥ = 0. La matrice A si chiama derivata prima di g in x0. È la definizione della Sezione 1 con un vettore al posto di un numero: g(x0 + d) − g(x0) sta in Rm, la direzione d in Rn, quindi al posto del vettore a serve una matrice m × n, che dipende da x0. Al numeratore c’è una norma perché la differenza è un vettore. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 6

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Proposizione – Differenziabilità e Jacobiana Siano g : Rn → Rm e x0 ∈ Rn. 1. Se g è differenziabile in x0, allora g è continua in x0, esiste la Jacobiana Jg(x0) e la derivata prima è Jg(x0). 2. Se Jg esiste in ogni punto di un intorno di x0 ed è continua in x0, allora g è differenziabile in x0. Dimostrazione Per un vettore v ∈ Rm vale |vi| ≤ ∥v∥ ≤ |v1| + · · · + |vm|: v tende a 0 se e solo se ogni componente tende a 0. 1. Quindi g è differenziabile in x0, con matrice A, se e solo se ogni componente gi lo è, con vettore la riga i di A trasposta. 2. Punto 1: per la Sezione 2 ogni gi è continua e la riga i di A è ∇gi(x0)T, cioè la riga i di Jg(x0). 3. Punto 2: le righe di Jg sono i gradienti delle gi; per il teorema del differenziale totale ogni gi è differenziabile in x0, e il passo 1 conclude. □ Come per m = 1, l’esistenza della Jacobiana non basta: serve la differenziabilità, oppure la Jacobiana continua del punto 2, che si usa come criterio. Per m = 1 il punto 2 è il teorema del differenziale totale. Da qui la derivata prima si scrive Jg(x0), e vicino a x0 il vettore di funzioni affini L(x) = g(x0) + Jg(x0)(x − x0) approssima g con errore o(∥x − x0∥). Nel punto vale L(x0) = g(x0). Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 7

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Esempio – Jacobiana e approssimazione affine Sia g : R3 → R3, g(x) =    4x3 1x3 + x2x3 x1x3 − 12x2 2 x4 1 + x1x2    . Le derivate parziali della componente i formano la riga i; nella terza componente x3 non compare, quindi l’ultimo elemento è 0: Jg(x) =    12x2 1x3 x3 4x3 1 + x2 x3 −24x2 x1 4x3 1 + x2 x1 0    . Gli elementi sono polinomi, continui su R3: g è differenziabile ovunque. In x0 = (1, 0, 1)T: g(x0) =    4 1 1    , Jg(x0) =    12 1 4 1 0 1 4 1 0    , e il vettore di funzioni affini che approssima g vicino a x0 è L(x) = g(x0) + Jg(x0)    x1 − 1 x2 x3 − 1    =    12x1 + x2 + 4x3 − 12 x1 + x3 − 1 4x1 + x2 − 3    . Qui la Jacobiana è simmetrica, ma non è la regola: in generale non è nemmeno quadrata. Questa g è il gradiente di una funzione di tre variabili (Esercizio 1), e allora Jg raccoglie derivate seconde. 8 Regole per vettori di funzioni Proposizione – Mappe lineari e affini Siano A una matrice m × n e b ∈ Rm. Le funzioni h(x) = Ax e g(x) = Ax + b sono differenziabili su tutto Rn e Jh(x) = Jg(x) = A. Dimostrazione La componente i di Ax è ai1x1 + · · · + ainxn, con derivata parziale aij rispetto a xj : la Jacobiana ha elemento aij in riga i e colonna j, cioè è A, costante e quindi continua. Il vettore costante b ha derivate nulle. □ Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 8

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Per m = 1, con A = cT, è il gradiente c della funzione lineare cTx (Sezione 4). In gradienti: ∇(Ax) = AT. Proposizione – Gradiente del prodotto scalare Siano g, h : Rn → Rm differenziabili in x e f (x) = g(x)Th(x) = Pm i=1 gi(x)hi(x). Allora f è differenziabile in x e ∇f (x) = Jg(x)Th(x) + Jh(x)Tg(x) = ∇g(x) h(x) + ∇h(x) g(x). Dimostrazione f è una somma di prodotti di funzioni differenziabili, quindi è differenziabile (Sezione 4). 1. Per la regola del prodotto, ∇f (x) = Pm i=1 hi(x)∇gi(x) + Pm i=1 gi(x)∇hi(x). 2. La prima somma combina le colonne ∇g1(x), . . . , ∇gm(x) con coefficienti h1(x), . . . , hm(x): è il prodotto della matrice ∇g(x), che ha quelle colonne, per il vettore h(x). 3. Allo stesso modo la seconda è ∇h(x) g(x), e ∇g = JT g , ∇h = JT h (Capitolo 8). □ Proposizione – Gradiente della forma quadratica Sia Q una matrice n × n, non necessariamente simmetrica. Allora ∇xTQx = (Q + QT) x. Se Q è simmetrica, ∇(xTQx) = 2Qx e ∇1 2 xTQx = Qx. Dimostrazione xTQx è il prodotto scalare di g(x) = x e h(x) = Qx, con Jg = I e Jh = Q: ∇xTQx = IT Qx + QTx = (Q + QT) x. Con Q = QT si ha Q + QT = 2Q. □ Si ritrova la matrice simmetrica del Capitolo 7: xTQx = xTSx con S = 1 2 (Q + QT), e 2Sx = (Q + QT)x. Per questo il fattore 1 2 si mette spesso davanti alle forme quadratiche: il gradiente diventa Qx. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 9

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Teorema – Regola della catena Siano g : Rn → Rm differenziabile in x e h : Rm → Rp differenziabile in g(x). Allora f = h ◦ g : Rn → Rp è differenziabile in x e Jf (x) = Jh g(x) Jg(x), ∇f (x) = ∇g(x) ∇hg(x). La forma con le Jacobiane segue l’ordine della composizione, prima h e poi g; quella con i gradienti si ottiene trasponendo, perché il trasposto di un prodotto scambia l’ordine: ∇f (x) = Jh g(x) Jg(x) T = Jg(x)TJh g(x)T. Le dimensioni tornano, ed è il primo controllo da fare: Funzione Jacobiana Gradiente g : Rn → Rm Jg(x), m × n ∇g(x), n × m h : Rm → Rp Jh(g(x)), p × m ∇h(g(x)), m × p f = h ◦ g : Rn → Rp Jf (x), p × n ∇f (x), n × p Per m = p = 1, con h = ψ funzione di una variabile, Jψ = ψ′ e la regola dà ∇(ψ ◦ g)(x) = ∇g(x) ψ′g(x): è la regola 3 della Sezione 4. Gli Esercizi 4 e 5 la usano con p = 1. Riepilogo • Differenziabile: f (x) = f (x0) + ∇f (x0)T(x − x0) + o(∥x − x0∥), cioè linearizzabile in x0. • Conseguenze: differenziabile ⇒ continua, derivabile e Df (x0, d) = ∇f (x0)Td; in Rn non vale il viceversa. • Iperpiano tangente: y = f (x0) + ∇f (x0)T(x − x0) in Rn+1, normale (−∇f (x0), 1). • Regole: ∇(f g) = g∇f + f ∇g, ∇(ψ ◦ g) = ψ′(g) ∇g, ∇(f /g) = (g∇f − f ∇g)/g2. • Differenziale totale: derivate parziali (o Jg) in un intorno, continue in x0 ⇒ differenziabile in x0. • Norma: ∇∥x∥2 2 = 2x; ∇∥x∥2 = x/∥x∥2 per x̸ = 0, non differenziabile in 0. • Vettore di funzioni: g(x) = g(x0) + Jg(x0)(x − x0) + o(∥x − x0∥); JAx+b = A. • Regole vettoriali: Jh◦g(x) = Jh(g(x)) Jg(x); ∇(gTh) = JT g h + JT h g; ∇(xTQx) = (Q + QT)x. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 10

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9 Esercizi Esercizio 1 – Una funzione di tre variabili Data la funzione f (x1, x2, x3) = x4 1x3 + x1x2x3 − 4x3 2 e il punto x0 = (1, 1, 2)T: 1. calcolare il gradiente ∇f (x); 2. determinare la funzione affine che meglio approssima f vicino a x0; 3. scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (x0, f (x0)); 4. dire se il piano tangente sta in R2 oppure in R3; 5. calcolare la derivata direzionale di f in x0 lungo d = (−1, 1, 0)T. Soluzione a pagina 13 → Esercizio 2 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti B e M, esercizio 2 Sono assegnate le funzioni g : R3 → R2 e f : R2 → R così definite: g(x1, x2, x3) = 1 ∥x∥2 2 ! , f (y1, y2) = y1 + y2, x0 =    1 1 2    , e la funzione h : R3 → R composizione di f e g, cioè h(x) = f (g(x)). 1. Calcolare la Jacobiana Jg(x) e il vettore ∇h(x). 2. Scrivere l’equazione che definisce il piano tangente al grafico di h nel punto x0, determinandone anche il vettore normale. Soluzione a pagina 13 → Esercizio 3 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti C e N, esercizio 2 Sono assegnate le funzioni g : R3 → R2 e f : R2 → R così definite: g(x1, x2, x3) = 1 ∥x∥2 ! , f (y1, y2) = y1 + y2, x0 =    1 2 1    , e la funzione h : R3 → R composizione di f e g, cioè h(x) = f (g(x)). 1. Calcolare la Jacobiana Jg(x) e il vettore ∇h(x). Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 11

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2. Scrivere l’equazione che definisce il piano tangente al grafico di h nel punto x0, determinandone anche il vettore normale. Soluzione a pagina 14 → Esercizio 4 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti J e U, esercizio 2 Sono assegnate le funzioni g : R3 → R2 e f : R2 → R così definite: g(x1, x2, x3) = x1 + ∥x∥2 x2 + x3 ! , f (y1, y2) = y1y2, x0 =    1 1 1    , e la funzione h : R3 → R composizione di f e g, cioè h(x) = f (g(x)). 1. Calcolare la Jacobiana Jg(x) e il vettore ∇h(x). 2. Scrivere l’equazione che definisce il piano tangente al grafico di h nel punto x0, determinandone anche il vettore normale. Soluzione a pagina 14 → Esercizio 5 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti D e O, esercizio 2 Sono assegnate le funzioni g : R3 → R2 e f : R2 → R così definite: g(x1, x2, x3) = x1x2 x2x3 ! , f (y1, y2) = ∥(y1, y2)∥3 2, x0 =    2 1 1    , e la funzione h : R3 → R composizione di f e g, cioè h(x) = f (g(x)). 1. Calcolare la Jacobiana Jg(x) e il vettore ∇h(x). 2. Scrivere l’equazione che definisce il piano tangente al grafico di h nel punto x0, determinandone anche il vettore normale. Soluzione a pagina 15 → Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 12

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10 Soluzioni Soluzione dell’Esercizio 1 – Una funzione di tre variabili 1. Derivando rispetto a ciascuna variabile: ∇f (x) =    4x3 1x3 + x2x3 x1x3 − 12x2 2 x4 1 + x1x2    . È il vettore g dell’esempio della Sezione 7. Le componenti sono polinomi, continue su R3: per il teorema del differenziale totale f è differenziabile ovunque. 2. f (x0) = 2 + 2 − 4 = 0 e ∇f (x0) = (10, −10, 2)T, quindi L(x) = f (x0) + ∇f (x0)T(x − x0) = 10(x1 − 1) − 10(x2 − 1) + 2(x3 − 2) = 10x1 − 10x2 + 2x3 − 4. 3. Il piano tangente è il grafico di L: y = 10x1 − 10x2 + 2x3 − 4, con normale (−10, 10, −2, 1)T. 4. In nessuno dei due: le variabili sono x1, x2, x3, y, quindi è un iperpiano di R4. 5. f è differenziabile, quindi Df (x0, d) = ∇f (x0)Td = −10 − 10 + 0 = −20. ← Torna all’Esercizio 1, pagina 11 Soluzione dell’Esercizio 2 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti B e M, esercizio 2 1. La prima componente di g è costante, con gradiente nullo; la seconda è ∥x∥2 2, con gradiente 2x. Le righe della Jacobiana sono i gradienti trasposti: Jg(x) = 0 0 0 2x1 2x2 2x3 ! . Poi h(x) = 1 + ∥x∥2 2, somma di una costante e di una funzione differenziabile su R3, quindi differenziabile ovunque, con ∇h(x) = 2x =    2x1 2x2 2x3    . 2. In x0: h(x0) = 1 + 1 + 1 + 4 = 7 e ∇h(x0) = (2, 2, 4)T. Il piano tangente al grafico, un iperpiano di R4 con coordinate (x1, x2, x3, y), è y = 7 + 2(x1 − 1) + 2(x2 − 1) + 4(x3 − 2) = 2x1 + 2x2 + 4x3 − 5, Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 13

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con vettore normale −∇h(x0) 1 ! =      −2 −2 −4 1      . ← Torna all’Esercizio 2, pagina 11 Soluzione dell’Esercizio 3 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti C e N, esercizio 2 1. La prima componente di g è costante; la seconda è la norma, con gradiente x/∥x∥2 per x̸ = 0, mentre nell’origine non è derivabile. Per x̸ = 0: Jg(x) =   0 0 0 x1 ∥x∥2 x2 ∥x∥2 x3 ∥x∥2   . Poi h(x) = 1 + ∥x∥2, differenziabile in ogni x̸ = 0, con ∇h(x) = x ∥x∥2 . 2. In x0: ∥x0∥2 = √1 + 4 + 1 = √6, quindi h(x0) = 1 + √6 e ∇h(x0) = 1√6 (1, 2, 1)T. Il piano tangente al grafico, un iperpiano di R4, è y = 1 + √6 + (x1 − 1) + 2(x2 − 2) + (x3 − 1) √6 = 1 + x1 + 2x2 + x3 √6 , perché √6 − 6/√6 = 0. Il vettore normale è −∇h(x0) 1 ! =      −1/√6 −2/√6 −1/√6 1      . ← Torna all’Esercizio 3, pagina 11 Soluzione dell’Esercizio 4 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti J e U, esercizio 2 1. La norma è differenziabile per x̸ = 0, con gradiente x/∥x∥2; la seconda componente è lineare. Per x̸ = 0: Jg(x) =  1 + x1 ∥x∥2 x2 ∥x∥2 x3 ∥x∥2 0 1 1   . Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 14

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f è un polinomio, con ∇f (y) = (y2, y1)T. Per la regola della catena h è differenziabile in ogni x̸ = 0 e ∇h(x) = Jg(x)T∇f (g(x)), con ∇f (g(x)) = (x2 + x3, x1 + ∥x∥2)T: ∇h(x) =         x2 + x3 + x1(x2 + x3) ∥x∥2 x2(x2 + x3) ∥x∥2 + x1 + ∥x∥2 x3(x2 + x3) ∥x∥2 + x1 + ∥x∥2         . 2. In x0: ∥x0∥2 = √3, g(x0) = (1 + √3, 2)T, h(x0) = 2 + 2√3 e ∇h(x0) =    2 + 2/√3 1 + √3 + 2/√3 1 + √3 + 2/√3    =    2 + 2√3/3 1 + 5√3/3 1 + 5√3/3    . Il piano tangente, un iperpiano di R4, è y = 2 + 2√3 + 2 + 2√3 3 (x1 − 1) + 1 + 5√3 3 (x2 + x3 − 2), con vettore normale −∇h(x0), 1. ← Torna all’Esercizio 4, pagina 12 Soluzione dell’Esercizio 5 – Primo esonero 2025-26, Canale M-Z, Prof. Giampaolo Liuzzi, compiti D e O, esercizio 2 1. Le componenti di g sono polinomi: Jg(x) = x2 x1 0 0 x3 x2 ! . f (y) = (y2 1 + y2 2 )3/2 ha derivata parziale 3 2 (y2 1 + y2 2 )1/2 · 2y1 = 3∥y∥2 y1 rispetto a y1, e lo stesso per y2; in y = 0 il rapporto incrementale |t|3/t tende a 0, come la formula. Quindi ∇f (y) = 3∥y∥2 y, continuo su R2: f è differenziabile ovunque. Per la regola della catena: ∇h(x) = Jg(x)T∇f (g(x)) = 3∥g(x)∥2 Jg(x)Tg(x) = 3∥g(x)∥2    x1x2 2 x2 1x2 + x2x2 3 x2 2x3    , con ∥g(x)∥2 = px2 1x2 2 + x2 2x2 3. 2. In x0: g(x0) = (2, 1)T, ∥g(x0)∥2 = √5, h(x0) = 5√5 e ∇h(x0) = 3√5 (2, 5, 1)T. Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 15

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Il piano tangente, un iperpiano di R4, è y = 5√5 + 3√52(x1 − 2) + 5(x2 − 1) + (x3 − 1) = 3√5 (2x1 + 5x2 + x3) − 25√5, con vettore normale (−6√5, −15√5, −3√5, 1)T. ← Torna all’Esercizio 5, pagina 12 Canale 2 · Prof. Giampaolo Liuzzi 16

Entrambi

9 Funzioni differenziabiliC2

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