Capitolo 10 · C1

La trasformata Z

Definizione e linearità, Impulso e gradino, Anticipo e ritardo, Il sistema nel dominio di z

10 pagine (8 numerate). Aggiornato il 16 ottobre 2026.

Indice

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A tempo discreto la risposta forzata è una somma di convoluzione, matrice per vettore, da rifare per ogni ingresso. La trasformata Z fa per le successioni quello che la trasformata di Laplace fa per le funzioni del tempo continuo: quella somma diventa un prodotto. 1 Definizione e linearità Definizione – Trasformata Z La trasformata Z di una successione f (t), definita per gli interi t ≥ 0, è la funzione della variabile complessa z F (z) = Zf (t) := +∞X t=0 f (t) z−t definita per gli z in cui la serie converge, cioè fuori da un cerchio, |z| > ρf . Al posto dell’integrale c’è la serie, al posto di e−st la potenza z−t. Un vettore o una matrice di successioni si trasforma elemento per elemento. La convergenza dipende solo da |z|, perché il fattore z−t cresce o decresce con il modulo e la fase lo fa solo girare: dove Laplace ha un semipiano Re s > αf , qui c’è l’esterno di un cerchio di raggio ρf . Proposizione – Linearità e unicità 1. Per costanti a, b e successioni f , g: Za f (t) + b g(t) = a F (z) + b G(z). 2. Due successioni con la stessa trasformata coincidono per t ≥ 0: da F (z) si torna a una sola successione. La linearità segue dalla linearità della somma. Come in Laplace, la trasformata guarda solo t ≥ 0: le successioni si considerano nulle prima di 0, cioè della forma f (t) δ−1(t), con il gradino della Sezione 2. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 1

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2 Impulso e gradino Definizione – Impulso e gradino a tempo discreto L’impulso discreto vale 1 in t = 0 e 0 altrove; il gradino discreto vale 1 da 0 in poi: δ(t) = (1 t = 0 0 t̸ = 0 δ−1(t) = (0 t < 0 1 t ≥ 0 A differenza dell’impulso di Dirac, l’impulso discreto è una successione come le altre. Proposizione – Trasformate dell’impulso e del gradino f (t) F (z) dove δ(t) 1 ogni z δ−1(t) z z − 1 |z| > 1 Dimostrazione 1. Impulso. Nella serie resta il solo termine t = 0, che vale 1 · z0 = 1. 2. Gradino. La serie P t≥0 z−t è geometrica di ragione z−1 e converge se e solo se |z−1| < 1, cioè |z| > 1, con somma 1 1 − z−1 = z z − 1. □ Osservazione – Il gradino non è strettamente proprio In Laplace il gradino è 1 s , razionale strettamente propria. In z è z z−1 : razionale, ma con numeratore e denominatore dello stesso grado, quindi propria e non strettamente propria. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 2

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3 Anticipo e ritardo Teorema – Anticipo Se F (z) = Z[f (t)], Zf (t + 1) = z F (z) − z f (0) Dimostrazione 1. Si cambia indice con τ = t + 1, che va da 1 a +∞: +∞X t=0 f (t + 1) z−t = +∞X τ =1 f (τ ) z−(τ −1) = z +∞X τ =1 f (τ ) z−τ . 2. Manca il primo termine. La somma da 1 è F (z) senza il termine τ = 0, che vale f (0) z0 = f (0): quindi è F (z) − f (0). □ L’anticipo fa per la forma alle differenze quello che il teorema della derivata fa per la forma differenziale: x(t + 1) diventa z X(z), meno un termine con il valore iniziale. Teorema – Ritardo Se F (z) = Z[f (t)] e T ≥ 0 è intero, Zf (t − T ) δ−1(t − T ) = z−T F (z) Dimostrazione 1. La somma parte da T , perché prima la successione è nulla: Zf (t − T ) δ−1(t − T ) = +∞X t=T f (t − T ) z−t. 2. Si cambia indice con τ = t − T , che va da 0 a +∞: +∞X τ =0 f (τ ) z−(τ +T ) = z−T +∞X τ =0 f (τ ) z−τ = z−T F (z). □ Un anticipo di un passo moltiplica per z, un ritardo di un passo per z−1, e l’operazione inversa resta inversa: ritardando f (t) δ−1(t) di un passo si ottiene g(t) con g(0) = 0, e Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 3

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anticipando g il termine z g(0) sparisce e si ritrova z · z−1F (z) = F (z). A tempo continuo il ritardo è il fattore e−sT , non razionale; qui z−T è razionale. 4 Il sistema nel dominio di z Teorema – La rappresentazione in z Per x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) + Du(t) con x(0) = x0, per |z| maggiore dei moduli degli autovalori di A e del raggio di convergenza di U (z): X(z) = z (zI − A)−1x0 + (zI − A)−1B U (z) Y (z) = C z (zI − A)−1x0 + C(zI − A)−1B + D U (z) Dimostrazione 1. Si trasformano i due membri. Per la linearità e il teorema dell’anticipo: z X(z) − z x0 = A X(z) + B U (z), Y (z) = C X(z) + D U (z). 2. Si raccoglie X(z): (zI − A) X(z) = z x0 + B U (z). 3. Si inverte. det(zI − A) = 0 solo negli autovalori di A; per gli altri z si moltiplica a sinistra per (zI − A)−1 e si sostituisce X(z) in Y (z). □ Come in s, la parte con x0 è l’evoluzione libera e quella con U (z) la forzata. Proposizione – Le matrici della forma esplicita in z Le trasformate delle matrici della forma esplicita a tempo discreto (Capitolo 6) sono Φ(z) = ZAt = z (zI − A)−1, H(z) = (zI − A)−1B, Ψ(z) = C z (zI − A)−1, W (z) = C(zI − A)−1B + D e la somma di convoluzione diventa il prodotto: Z Pt−1 τ =0 H(t−τ ) u(τ ) = H(z) U (z). W (z) è la funzione di trasferimento del sistema a tempo discreto. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 4

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Dimostrazione 1. Forma esplicita. Con t0 = 0, x(t) = Atx0 + Pt−1 τ =0 H(t − τ ) u(τ ), e l’uscita y(t) = Ψ(t) x0 + Pt−1 τ =0 C H(t − τ ) u(τ ) + D u(t). 2. Evoluzione libera. Con u = 0 il teorema dà Z[Atx0] = z(zI − A)−1x0 per ogni x0; con x0 uguale, a turno, ai vettori della base canonica si ottiene Φ(z), e Ψ(z) = C Φ(z). 3. Evoluzione forzata. Con x0 = 0, per ogni ingresso la trasformata della somma è (zI − A)−1B U (z). 4. H(z) con il ritardo. H(t) = At−1B per t ≥ 1 e la somma non usa H(0), quindi H(t) è AtB ritardata di un passo: ZAt−1δ−1(t − 1) B = z−1 z (zI − A)−1B = (zI − A)−1B, lo stesso H(z) del punto 3. □ Osservazione – W (z) è la trasformata della risposta impulsiva Dallo stato nullo, con l’impulso discreto in ingresso, U (z) = 1 e quindi Y (z) = W (z). Infatti la risposta impulsiva W (0) = D, W (t) = CAt−1B per t ≥ 1 (Capitolo 6) è D δ(t) + C H(t), che ha trasformata D + C(zI − A)−1B. Osservazione – Il caso scalare Con n = 1 e A = a, Φ(z) dà Z[at] = z z−a , che è la serie geometrica P t(a/z)t e converge per |z| > |a|. Con a = 1 si ritrova il gradino della Sezione 2. Per questo la serie di At converge quando |z| supera i moduli degli autovalori. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 5

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Le formule hanno la struttura di quelle in s (Capitolo 8), con z al posto di s: tempo continuo, in s tempo discreto, in z trasformata R +∞ 0 f (t) e−st dt P t≥0 f (t) z−t dove converge Re s > αf |z| > ρf passo dell’equazione ̇x → sX(s) − x(0) x(t + 1) → zX(z) − z x(0) ritardo di T e−sT z−T evoluzione libera Φ(s) = (sI − A)−1 Φ(z) = z (zI − A)−1 forzata nello stato H(s) = (sI − A)−1B H(z) = (zI − A)−1B funzione di trasferimento C(sI − A)−1B + D C(zI − A)−1B + D impulso, gradino 1, 1 s 1, z z−1 H(z) e W (z) sono identiche a H(s) e W (s) con z al posto di s; nell’evoluzione libera c’è un fattore z in più, perché l’anticipo toglie z x(0) e non x(0). L’Esercizio 1 calcola W (z) di un sistema campionato e la sua risposta al gradino. Riepilogo • Definizione: F (z) = P t≥0 f (t) z−t, per |z| > ρf , lineare. • Impulso e gradino: δ → 1, δ−1 → z z−1 per |z| > 1. • Anticipo: f (t + 1) → zF (z) − z f (0). • Ritardo: f (t − T ) δ−1(t − T ) → z−T F (z). • Sistema in z: X(z) = Φ(z)x0 + H(z)U (z), Y (z) = Ψ(z)x0 + W (z)U (z). • Matrici: Φ(z) = z(zI − A)−1, H(z) = (zI − A)−1B, W (z) = C(zI − A)−1B + D. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 6

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5 Esercizi Esercizio 1 – Appello del 05/04/2024, Canale 1, Prof. Paolo Di Giamberardino, esercizio 3 Dato il sistema a tempo continuo rappresentato da W (s) = 10 s2 se ne calcoli l’equivalente tempo discreto ottenuto campionandolo con tempo di campionamento T = 0.1 s e si calcoli la risposta forzata all’ingresso (discreto) u(t) = 2 δ−1(t). Soluzione a pagina 8 → Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 7

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6 Soluzioni Soluzione dell’Esercizio 1 – Appello del 05/04/2024, Canale 1, Prof. Paolo Di Giamberardino, esercizio 3 Uno stato. Con stato nullo, per il teorema della derivata applicato due volte s2Y (s) = 10 U (s) è la trasformata di ̈y = 10 u. Con x1 = y, x2 = ̇y: A = 0 1 0 0 ! , B = 0 10 ! , C = 1 0 , D = 0, e infatti C(sI − A)−1B = 10 s2 . La risposta campionata non dipende da questa scelta: è la risposta forzata del sistema continuo all’ingresso mantenuto, che dipende solo da W (s). Il sistema campionato. A2 = 0, quindi eAθ = I + Aθ e AD = eAT = 1 0.1 0 1 ! , BD = Z T 0 10 θ 10 ! dθ = 5 T 2 10 T ! = 0.05 1 ! . Funzione di trasferimento. C(zI − AD)−1 = 1 z − 1 0.1 (z − 1)2 , quindi W (z) = C(zI − AD)−1BD = 0.05 z − 1 + 0.1 (z − 1)2 = 0.05 (z + 1) (z − 1)2 . Risposta forzata. Con k il passo, come nel Capitolo 7, e Aj D = 1 0.1j 0 1 , CAj DBD = 0.05 + 0.1 j, e la somma del Capitolo 6 con u = 2 dà y(k) = k−1X j=0 2 (0.05 + 0.1 j) = 0.1 k + 0.1 k(k − 1) = 0.1 k2, cioè 10 (kT )2: i campioni di 10 t2, la risposta continua al gradino di ampiezza 2, perché 10 s2 · 2 s = 20 s3 . Controllo in z. U (z) = 2z z−1 e Y (z) = W (z) U (z) = 0.1 z (z + 1) (z − 1)3 = 0.1 z−1 + 4 z−2 + 9 z−3 + . . . , i cui coefficienti sono proprio y(k) = 0.1 k2. ← Torna all’Esercizio 1, pagina 7 Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 8

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