Capitolo 3 · C1

Autovalori multipli e autovalori complessi

Molteplicità algebrica e geometrica, Le matrici residue e il loro rango, Autospazi invarianti, Osservabilità ed eccitabilità con autovalori multipli, Coppie complesse coniugate, Il blocco reale e il suo esponenziale, La forma reale a blocchi, Il modo naturale pseudoperiodico, Osservabilità ed eccitabilità di una coppia

24 pagine (22 numerate). Aggiornato il 18 ottobre 2026.

Scarica PDF399 KB

Glossario5 voci di questo capitolo Ripasso23 domande su questo capitolo

Indice

Testo estratto dal PDF compilato: le formule perdono l'impaginazione (apici, pedici, frazioni, matrici) e le figure mancano. Per una formula esatta, apri la pagina nel lettore. Anche in Markdown.

Pagina 1

I modi del Capitolo 2 chiedono n autovalori reali e distinti, mentre la forma spettrale chiede soltanto n autovettori indipendenti. Qui l’ipotesi si allarga: • gli autovalori reali possono ripetersi, purché A abbia ancora n autovettori indipendenti, • possono comparire coppie di autovalori complessi coniugati, ciascuna semplice. Le Sezioni 1-4 trattano gli autovalori reali, le Sezioni 5-9 le coppie complesse. Il sistema ha p ingressi e q uscite, come nel Capitolo 2. 1 Autovalori ripetuti Definizione – Molteplicità algebrica e geometrica Siano λ1, . . . , λK gli autovalori distinti di A, con det(A − λI) = (−1)n (λ − λ1)r1 · · · (λ − λK )rK , r1 + · · · + rK = n. • La molteplicità algebrica di λi è l’esponente ri. • La molteplicità geometrica gi è il numero massimo di autovettori indipendenti di λi, cioè la dimensione dell’autospazio Ei := Ker(A − λiI), gi = n − rk(A − λiI). Contando le radici con la loro molteplicità se ne trovano sempre n, e così un autovalore doppio vale come due autovalori con lo stesso valore. Per ognuno, però, gli autovettori vengono da un solo sistema (A − λiI) u = 0, e si ha sempre 1 ≤ gi ≤ ri. Teorema – Autovalori ripetuti e forma spettrale Se per ogni autovalore la molteplicità geometrica è uguale a quella algebrica, gi = ri per i = 1, . . . , K allora A ha n autovettori indipendenti, che si ottengono scegliendo una base ui1, . . . , uiri di ogni autospazio Ei. Con questi autovettori come colonne di U , e con λi ripetuto ri volte nella diagonale di Λ, valgono la forma spettrale e l’esponenziale del Capitolo 2: A = U ΛU −1, eAt = KX i=1 riX h=1 eλit uih vih, dove vih è la riga di U −1 nella stessa posizione della colonna uih. Si procede come se le ri occorrenze di λi fossero autovalori diversi con lo stesso valore, perché le basi dei diversi autospazi, insieme, restano indipendenti. Se per qualche auto- Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 1

Pagina 2

valore gi < ri, gli autovettori non bastano a costruire U , e quel caso resta fuori da questo capitolo. Esempio – Un autovalore doppio Con λ1 = 1 doppio, g1 = 2, e λ2 = 2 semplice, in R3: Λ =    1 1 2    , eAt = et u11v11 + et u12v12 + e2t u21v21. I primi due modi naturali avanzano lungo autovettori diversi, ma con la stessa legge temporale et, quindi se uno cresce l’altro cresce allo stesso modo. 2 Le matrici residue e il loro rango Proposizione – Raggruppamento per autovalore Raccogliendo i termini con la stessa legge temporale, eAt = KX i=1 eλit Ri, Ri := riX h=1 uih vih = Ui Vi con Ui = (ui1 · · · uiri ) di n × ri e Vi la matrice ri × n delle righe vi1, . . . , viri . La matrice residua Ri ha rk Ri = ri, Im Ri = Ei. Dimostrazione 1. Un termine. uih vih è una colonna per una riga, cioè una matrice n × n di rango 1. 2. La somma. P h uihvih è il prodotto righe per colonne UiVi, di una n × ri per una ri × n. 3. Il rango. Le righe di Vi sono righe di U −1, quindi indipendenti, e così Viw percorre tutto Rri al variare di w. Allora Im Ri = Im Ui, che è generato dalla base ui1, . . . , uiri di Ei e ha dimensione ri. □ Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 2

Pagina 3

Osservazione – Le molteplicità si leggono in eAt Quando eAt è calcolata, ogni legge eλit compare sparsa negli elementi. Se le leggi diverse sono meno di n, qualche autovalore è ripetuto, e la molteplicità di λi è il rango della matrice Ri che moltiplica eλit. Le Ri non dipendono dagli autovettori scelti, perché sono i coefficienti di eAt rispetto alle leggi eλ1t, . . . , eλK t, che sono funzioni indipendenti. Inoltre P i Ri = eA·0 = I. Nell’appello dell’11/02/2022 del Capitolo 2, per esempio, e−t ha coefficiente I −u1v1, di rango 2, quindi l’autovalore −1 è doppio. L’Esercizio 1 ricava autovalori e autospazi da eAt. 3 Autospazi invarianti Proposizione – Partire in un autospazio Ogni vettore non nullo di Ei è un autovettore di λi, e Ei è invariante. Se x0 ∈ Ei, l’evoluzione libera è x(t) = eλi(t−t0) x0 Se x0̸ = 0 lo stato resta sulla retta per l’origine e per x0, fermo in x0 se λi = 0. Se x0 = 0 resta nell’origine. Dimostrazione 1. Autovettore. Se x0 = P h cihuih, allora Ax0 = P h cihλiuih = λix0. 2. Evoluzione. Per la forma spettrale eA(t−t0)x0 = P h cih eλi(t−t0)uih, quindi tutte le componenti hanno la stessa legge, e si raccoglie eλi(t−t0). □ E1 (autovalore λ1) u11 u12 u21 (autovalore λ2) x0 Nella figura λ1 < 0 e x0 sta nel piano E1. Le sue componenti lungo u11 e u12 si riducono con la stessa legge, restano in proporzione, e lo stato va verso l’origine lungo la retta tratteggiata. Si muove come lungo un autovettore, e infatti ogni vettore non nullo di quella retta lo è, perché sta in E1. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 3

Pagina 4

Osservazione – La base dell’autospazio è una scelta (A − λiI) u = 0 individua il sottospazio Ei, non una sua base, e quindi qualunque coppia indipendente del piano E1 poteva essere presa come u11, u12. Le rette di u11 e u12 sono invarianti, ma lo è anche ogni retta di E1. Per un autovalore ripetuto è l’autospazio intero a essere invariante. I termini con la stessa legge eλit sono quindi ri modi naturali che si distinguono solo per la direzione. Presi insieme formano l’evoluzione nell’autospazio Ei, ed è a questo insieme che ci si riferisce come al modo di λi. L’Esercizio 5 segue questi modi in un caso numerico. 4 Osservabilità ed eccitabilità con autovalori ripetuti Con λ1 doppio l’uscita libera contiene eλ1tc11 Cu11+c12 Cu12 . Può accadere che Cu11 = 0 e Cu12̸ = 0. In quel caso la legge eλ1t compare in Ψ, e quindi nell’uscita libera da ogni x0 con c12̸ = 0. Con un’altra base di E1 entrambi i prodotti potrebbero essere non nulli, quindi guardare i singoli autovettori darebbe un risultato che dipende dalla base. Definizione – Osservabilità ed eccitabilità del modo di λi • Il modo di λi è non osservabile se C annulla tutto l’autospazio, cioè tutti i vettori della base: C uih = 0 per h = 1, . . . , ri ⇐⇒ C Ui = 0; è osservabile altrimenti. • Il modo di λi è non eccitabile se vih B = 0 per h = 1, . . . , ri ⇐⇒ Vi B = 0; è eccitabile altrimenti. Proposizione – Le condizioni non dipendono dalla base 1. Il modo di λi è non osservabile se e solo se la legge eλit manca da Ψ(t) = C eAt, cioè C Ri = 0. 2. Il modo di λi è non eccitabile se e solo se la legge eλit manca da H(t) = eAtB, cioè Ri B = 0. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 4

Pagina 5

Dimostrazione 1. Le leggi. Ψ = P i eλit CRi e H = P i eλit RiB. Le leggi distinte sono indipendenti, quindi eλit manca se e solo se il suo coefficiente è nullo. 2. Uscita. CRi = (CUi) Vi, e le righe di Vi sono indipendenti, quindi CRi = 0 se e solo se CUi = 0. 3. Ingresso. RiB = Ui (ViB), e le colonne di Ui sono indipendenti, quindi RiB = 0 se e solo se ViB = 0. Ri non dipende dalla base scelta in Ei, e quindi nemmeno le due condizioni. □ Con le matrici residue la tabella del Capitolo 2 diventa: matrice coefficiente di eλit manca se Φ(t) = eAt Ri = UiVi mai H(t) = eAtB RiB = Ui (ViB) il modo è non eccitabile Ψ(t) = C eAt CRi = (CUi) Vi il modo è non osservabile W (t) − D δ(t) CRiB = (CUi)(ViB) vedi la nota Nota – Errore tipico Con ri > 1, eccitabile e osservabile non basta perché eλit compaia in W , perché il suo coefficiente nella tabella è il prodotto di una q × ri per una ri × p, e può essere la matrice nulla anche se nessuno dei due fattori è nullo. Resta vero il contrario, cioè che se la legge compare in W il modo è eccitabile e osservabile. Ne è un esempio l’Esercizio 6, in cui il modo di −1 è eccitabile e osservabile, ma W non lo contiene. Il libro chiama completamente osservabile il modo con C u̸ = 0 per ogni u̸ = 0 di Ei, e completamente eccitabile quello con v B̸ = 0 per ogni riga v̸ = 0 generata da Vi. Sono condizioni più forti di queste. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 5

Pagina 6

5 Coppie di autovalori complessi coniugati Proposizione – Autovalori e autovettori coniugati Sia A reale e λ = α+i ω, con ω > 0, un suo autovalore con autovettore u = uA +i uB , dove uA, uB ∈ Rn. Allora ̄λ = α − i ω è autovalore con autovettore ̄u = uA − i uB Basta coniugare Au = λu. Siccome A è reale, si ottiene A ̄u = ̄λ ̄u. Trovato l’autovettore di λ, quello di ̄λ non richiede conti. Della coppia si prende sempre come λ l’autovalore con parte immaginaria positiva. I due autovalori sono distinti, e la forma spettrale del Capitolo 2 vale ancora, ma con U e Λ complesse. Lo stato, però, è una grandezza fisica reale, quindi in eAtx0 le parti immaginarie devono annullarsi da sole. Per vederlo, e per disegnare le traiettorie, si cercano due vettori reali che, con coefficienti complessi, generino lo stesso sottospazio di u e ̄u. Il sottospazio della coppia è invariante, come quello generato da alcuni autovettori nel Capitolo 2, quindi si può lavorare solo lì, e il resto della base non cambia. Proposizione – Parte reale e parte immaginaria Au = λu equivale alle due equazioni reali A uA = α uA − ω uB , A uB = ω uA + α uB Dimostrazione 1. Sviluppo. (A − λI) u = (A − αI − i ωI)(uA + i uB ) = (A − αI)uA + ω uB + i (A − αI)uB − ω uA , perché i · i = −1. 2. Separazione. Un vettore complesso è nullo se e solo se lo sono la parte reale e la parte immaginaria. □ Si può quindi risolvere il sistema complesso (A − λI) u = 0, oppure il sistema reale delle due equazioni della proposizione, con 2n incognite: le componenti di uA e di uB . Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 6

Pagina 7

Proposizione – La base reale della coppia u ̄u = uA uB M, M := 1 1 i −i ! , M −1 = 1 2 1 −i 1 i ! . M è invertibile, quindi uA e uB sono indipendenti e P := a uA + b uB : a, b ∈ R ⊆ Rn è un piano reale invariante. Con coefficienti complessi, uA e uB generano lo stesso sottospazio di u e ̄u. La prima colonna di (uA uB )M è uA + i uB = u, la seconda uA − i uB = ̄u, e det M = −2i̸ = 0. I vettori u e ̄u sono indipendenti perché sono autovettori di autovalori distinti. P è invariante per le due equazioni della proposizione precedente, secondo cui A manda uA e uB in loro combinazioni reali. 6 Il blocco reale e il suo esponenziale Proposizione – Blocco reale di una coppia Nella base (uA, uB ) del suo piano, la coppia α ± i ω è rappresentata dal blocco reale J := α ω −ω α ! , A uA uB = uA uB J Dimostrazione 1. Per colonne. Le colonne di J sono le coordinate di AuA e di AuB nella base (uA, uB ), e per le due equazioni reali sono α −ω ! e ω α ! . 2. Dalla forma complessa. Equivalentemente J = M Λc M −1, con Λc la diagonale di λ e ̄λ: 1 1 i −i ! λ 0 0 ̄λ ! 1 2 1 −i 1 i ! = 1 2 λ + ̄λ −i(λ − ̄λ) i(λ − ̄λ) λ + ̄λ ! , e λ + ̄λ = 2α, λ − ̄λ = 2i ω. □ Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 7

Pagina 8

Proposizione – Esponenziale del blocco reale eJt = eαt cos ωt sin ωt − sin ωt cos ωt ! Dimostrazione 1. Diagonale complessa. J = M ΛcM −1, quindi, come per la forma spettrale, eJt = M eΛct M −1, con eλt = eαteiωt ed e ̄λt = eαte−iωt. 2. Prodotto. Si raccoglie eαt: eJt = eαt 2 eiωt + e−iωt −i (eiωt − e−iωt) i (eiωt − e−iωt) eiωt + e−iωt ! . 3. Eulero. eiθ + e−iθ = 2 cos θ ed eiθ − e−iθ = 2i sin θ, con θ = ωt, e così l’unità immaginaria sparisce. □ Osservazione – Nel piano della coppia nessuna retta è invariante uA e uB non sono autovettori. Per la prima equazione reale, AuA ha una componente lungo uB ed esce dalla retta di uA. È invariante il piano, preso tutto insieme. Un autovalore reale dà una retta invariante, una coppia complessa un piano invariante. Proposizione – Evoluzione nel piano della coppia Se x0 sta nel piano P , con coordinate z0 rispetto a (uA, uB ), le coordinate dello stato sono z(t) = eJ(t−t0) z0. eJ(t−t0) ruota le coordinate di un angolo e ne moltiplica l’ampiezza per un fattore: angolo ω(t − t0), fattore eα(t−t0). Se x0 = 0 lo stato resta nell’origine. Se x0̸ = 0 gira attorno all’origine, da uB verso uA: • si avvicina a spirale se α < 0, • si allontana a spirale se α > 0, • se α = 0 percorre una curva chiusa, di periodo 2π ω . Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 8

Pagina 9

uA uB x0 piano di uA e uB , α < 0 7 La forma reale a blocchi Teorema – Forma reale a blocchi Sia A reale con autovalori reali λ1, . . . , λμ, ripetuti secondo la molteplicità e con gi = ri, e coppie semplici αk ± i ωk, k = 1, . . . , ν, con ωk > 0 e μ + 2ν = n. Con T −1 := u1 · · · uμ u1A u1B · · · uνA uνB reale e invertibile, e Jk il blocco reale della coppia k: T AT −1 =         λ1 . . . λμ J1 . . .         , eAt = T −1         eλ1t . . . eλμt eJ1t . . .         T con tutti zeri fuori dai blocchi. Dimostrazione 1. Forma complessa. Si parte da A = U ΛU −1, con le coppie (u ̄u) fra le colonne di U . 2. Cambio di base nel piano. Per ogni coppia si sostituisce (u ̄u) con (uA uB )M . Le altre colonne non cambiano, e il blocco diag(λ, ̄λ) di Λ diventa M diag(λ, ̄λ) M −1 = J. 3. Esponenziale. Le potenze di una matrice diagonale a blocchi si fanno blocco per blocco, quindi l’esponenziale è la diagonale degli esponenziali dei blocchi. □ Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 9

Pagina 10

Con le righe v1, . . . , vμ, v1A, v1B , . . . di T la stessa formula si scrive come somma, per autovalori e coppie: eAt = μ X i=1 eλit ui vi + νX k=1 eαk t ukA ukB cos ωkt sin ωkt − sin ωkt cos ωkt ! vkA vkB ! Tutto è reale. Nell’esponenziale compaiono esponenziali e, per le coppie, seni e coseni moltiplicati per eαk t. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 10

Pagina 11

Per calcolare quindi eAt in forma reale si procede così: 1. si trovano gli autovalori con det(A − λI) = 0, 2. per ogni autovalore reale si trova una base di Ei, controllando che gi = ri, 3. per ogni coppia si trova un autovettore u di α + i ω e se ne prendono uA e uB , 4. si costruiscono T −1 e T , e si calcola eAt con il teorema. L’Esercizio 3 segue questi passi, e l’Esercizio 2 scrive tutta la forma esplicita nelle nuove coordinate. 8 Il modo naturale pseudoperiodico Proposizione – Evoluzione libera di una coppia Con t0 = 0, ckA := vkA x0 e ckB := vkB x0, si pone mk := q c2 kA + c2 kB , ckA = mk sin φk, ckB = mk cos φk. La coppia αk ± i ωk contribuisce all’evoluzione libera con mk eαk t sin(ωkt + φk) ukA + cos(ωkt + φk) ukB Dimostrazione 1. Il termine della coppia. Dalla somma della Sezione 7, applicata a x0: eαt uA uB cos ωt sin ωt − sin ωt cos ωt ! cA cB ! = eαt(cA cos ωt + cB sin ωt) uA + (−cA sin ωt + cB cos ωt) uB , senza l’indice k. 2. Ampiezza e fase. (cB , cA) è un punto del piano, di cui m è la distanza dall’origine e φ l’angolo, quindi m e φ esistono sempre. 3. Addizione. cA cos ωt + cB sin ωt = m(sin φ cos ωt + cos φ sin ωt) = m sin(ωt + φ), e −cA sin ωt + cB cos ωt = m cos(ωt + φ). □ ckA e ckB dipendono da x0 e sono numeri qualsiasi. Non si può porre direttamente ckA = sin φk e ckB = cos φk, perché la somma dei loro quadrati non è 1. Per questo si raccoglie mk. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 11

Pagina 12

Definizione – Modi aperiodici e pseudoperiodici • Il modo di un autovalore reale, ci eλit ui, è un modo naturale aperiodico. • Il modo di una coppia complessa, il termine della proposizione, è un modo naturale pseudoperiodico, ed è uno solo, con due vettori e due leggi temporali che non si separano. Senza il fattore eαk t il modo sarebbe periodico, di periodo 2π/ωk, mentre con αk̸ = 0 oscilla con lo stesso ritmo ma non torna nelle stesse condizioni, da cui il nome. Lungo ukA la legge m eαt sin(ωt + φ) si legge in due modi (Figura 1): • è un seno spostato di φ, che vale cA in t = 0 e si annulla negli stessi istanti qualunque sia α, a distanza π/ω, • la sua ampiezza è m eαt, quindi oscilla fra le curve ±m eαt, che crescono se α > 0 e si chiudono su zero se α < 0. Lungo ukB la legge è la stessa con il coseno, e le due sono in quadratura, cioè una è nulla quando l’altra è al massimo. Insieme, nel piano di ukA e ukB , danno la spirale della Sezione 6. Anche da x0 = cA uA il moto lascia la retta di uA, perché uA non è un autovettore. t cA m eαt −m eαt Figura 1: La legge m eαt sin(ωt + φ) con α < 0. Gli zeri sono quelli del seno, e l’ampiezza segue ±m eαt. Teorema – Evoluzione libera: modi aperiodici e pseudoperiodici Nelle ipotesi della forma reale a blocchi, con t0 = 0: xL(t) = μ X i=1 ci eλit ui + νX k=1 mk eαk t sin(ωkt + φk) ukA + cos(ωkt + φk) ukB con μ modi aperiodici e ν pseudoperiodici, e μ + 2ν = n. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 12

Pagina 13

Dimostrazione Basta applicare a x0 la somma della Sezione 7. Ogni autovalore reale dà eλitui (vix0) = ci eλitui, e ogni coppia dà il termine della proposizione. □ 9 Osservabilità ed eccitabilità di un modo pseudoperiodico Definizione – Osservabilità ed eccitabilità di una coppia Il modo pseudoperiodico della coppia k è • non osservabile se C ukA = 0 e C ukB = 0, osservabile altrimenti, • non eccitabile se vkA B = 0 e vkB B = 0, eccitabile altrimenti. Basta che uno dei due prodotti sia non nullo perché il modo si veda. Con l’autovettore complesso la condizione è la stessa del Capitolo 2. Siccome C è reale, infatti, C u = C uA + i C uB è nullo se e solo se lo sono C uA e C uB . Proposizione – Il modo pseudoperiodico in Ψ, H e W Le leggi eαk t cos ωkt ed eαk t sin ωkt: 1. mancano da Ψ(t) = C eAt se e solo se il modo è non osservabile, 2. mancano da H(t) = eAtB se e solo se il modo è non eccitabile, 3. almeno una compare in W (t) − D δ(t) se e solo se il modo è eccitabile e osservabile. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 13

Pagina 14

Dimostrazione Con Ck := (CuA CuB ), Bk la matrice di righe vAB e vB B, Vk quella di righe vA e vB , Uk := (uA uB ) ed R(t) la matrice di rotazione del blocco, i termini della coppia sono eαt Ck R(t) Vk in Ψ, eαt Uk R(t) Bk in H, eαt Ck R(t) Bk in W. 1. R(t) è invertibile e le righe di Vk sono indipendenti, quindi il termine in Ψ è nullo per ogni t se e solo se Ck = 0. 2. Allo stesso modo, con le colonne di Uk indipendenti, il termine in H è nullo se e solo se Bk = 0. 3. L’elemento (i, j) del termine in W , con c la riga i di Ck e b la colonna j di Bk, è eαt(c1b1 + c2b2) cos ωt + (c1b2 − c2b1) sin ωt. È nullo per ogni t se c e b sono insieme ortogonali e paralleli, cioè se uno dei due è nullo. Se qualche riga di Ck è non nulla, devono annullarsi tutte le colonne di Bk. Il termine manca quindi se e solo se Ck = 0 o Bk = 0. □ Riepilogo • Molteplicità: forma spettrale se gi = n − rk(A − λiI) = ri per ogni i. • Matrici residue: eAt = P i eλitRi, rk Ri = ri, Im Ri = Ei. • Autospazio: da x0 ∈ Ei, x(t) = eλi(t−t0)x0. • Osservabilità ed eccitabilità: non osservabile se CUi = 0 (coppia: CuA = CuB = 0), non eccitabile se ViB = 0 (coppia: vAB = vB B = 0). • In W : coefficiente (CUi)(ViB), anche nullo con il modo eccitabile e osservabile. • Coppia complessa: AuA = αuA − ωuB , AuB = ωuA + αuB . • Blocco reale: eJt = eαt( cos ωt sin ωt − sin ωt cos ωt ), e eAt = T −1eT AT −1t T . • Modo pseudoperiodico: m eαt[sin(ωt+φ) uA+cos(ωt+φ) uB ], con cA = m sin φ, cB = m cos φ. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 14

Pagina 15

10 Esercizi Esercizio 1 – Molteplicità lette nell’esponenziale Una matrice A di 3 × 3 ha tre autovettori indipendenti e eAt =    et 0 0 0 et 0 e2t − et 0 e2t    . 1. Trova gli autovalori di A e le loro molteplicità. 2. Trova gli autospazi. 3. Ricava A. Soluzione a pagina 18 → Esercizio 2 – La forma esplicita nelle nuove coordinate Con il cambio di coordinate z = T x del Capitolo 2: 1. scrivi le matrici ̃Φ, ̃H, ̃Ψ, ̃W della forma esplicita nelle coordinate z, in funzione di Φ, H, Ψ, W e T , 2. verifica il risultato con ̃A = T AT −1, ̃B = T B, ̃C = CT −1, 3. che cosa diventa ̃Φ se T è la matrice della forma reale a blocchi? Soluzione a pagina 18 → Esercizio 3 – Forma reale di una coppia complessa Sia A = 0 1 −2 −2 ! . 1. Trova gli autovalori e, per quello con parte immaginaria positiva, un autovettore u con le sue parti uA e uB . 2. Scrivi T , la forma reale T AT −1 ed eAt. 3. Calcola l’evoluzione libera con t0 = 0 da x0 = 1 0 ! e descrivi la traiettoria. Soluzione a pagina 19 → Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 15

Pagina 16

Esercizio 4 – I modi di massa, molla e smorzatore Il sistema massa, molla e smorzatore del Capitolo 2 (Esercizio «Massa, molla e smorzatore»), con massa M = 1, molla k = 1 e smorzamento b, è ̇x = 0 1 −1 −b ! x + 0 1 ! F, p = 1 0 x. Descrivi i modi naturali al variare di b > 0, escluso b = 2. Soluzione a pagina 20 → Esercizio 5 – Un autovalore doppio e la somma dei modi Sia ̇x = Ax con A =    1 0 0 0 0 1 0 −2 3    . 1. Trova gli autovalori, le loro molteplicità e gli autospazi. 2. Scrivi eAt raggruppando per autovalore e trova il rango delle matrici residue. 3. Descrivi l’evoluzione libera da un x0 ∈ E1 e da un x0 qualunque. Soluzione a pagina 20 → Esercizio 6 – Appello del 12/06/2026, Canale 1, Prof. Paolo Di Giamberardino, esercizio 2, adattato Sia dato il sistema ̇x =    0 1 1 0 −1 0 1 1 0    x +    1 0 −1    u, y = 0 1 0 x + 2u. 1. Determinarne i modi naturali e studiarne eccitabilità ed osservabilità. 2. Calcolarne la risposta impulsiva (in uscita). Soluzione a pagina 21 → Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 16

Pagina 17

Esercizio 7 – Appello del 12/06/2026, Canale 1, Prof. Paolo Di Giamberardino, esercizio 1, adattato Una bilancia meccanica si può schematizzare con un piatto appoggiato a uno smorzatore a e a una molla k, dove il peso viene misurato a partire dallo spostamento h prodotto. Si ricorda che l’equazione dinamica, quando si pone una massa M sulla bilancia nell’istante t = t0, può essere scritta, per t ≥ t0, come M ̈h(t) = −k h(t) − a ̇h(t) − u(t) con h(t0) = 0, ̇h(t0) = 0 e u(t) = M g δ−1(t − t0). a. Fornire una rappresentazione con lo spazio di stato; d. posto k = 100 [N m−1] e supponendo di pesare solo masse con M ≤ 100 kg, determinare i valori di a [N s m−1] per i quali la bilancia, quando viene posto il peso, non presenta andamento oscillatorio. Soluzione a pagina 22 → Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 17

Pagina 18

11 Soluzioni Soluzione dell’Esercizio 1 – Molteplicità lette nell’esponenziale 1. Residui. Si raccolgono le due leggi: eAt = et    1 0 0 0 1 0 −1 0 0    | {z } R1 +e2t    0 0 0 0 0 0 1 0 1    | {z } R2 . Le leggi sono due su n = 3, quindi un autovalore è doppio. R1 ha le prime due righe indipendenti e la terza opposta alla prima, perciò rk R1 = 2, mentre rk R2 = 1. Quindi λ = 1 con r = g = 2 e λ = 2 semplice. Infatti R1 + R2 = I. 2. Autospazi. Sono le immagini delle Ri, generate dalle loro colonne: E1 = D    1 0 −1    ,    0 1 0    E , E2 = D    0 0 1    E . 3. La matrice. A è la derivata di eAt in t = 0 (Capitolo 2): A = R1 + 2R2 =    1 0 0 0 1 0 1 0 2    . Verifica: A − I ha la sola riga non nulla (1 0 1), che annulla i due vettori di E1, e A − 2I ha la terza colonna nulla. ← Torna all’Esercizio 1, pagina 15 Soluzione dell’Esercizio 2 – La forma esplicita nelle nuove coordinate 1. Dalla forma esplicita. Si moltiplica per T lo stato e si scrive x0 = T −1z0: z(t) = T Φ(t − t0)T −1 z0 + Z t t0 T H(t − τ ) u(τ ) dτ, y(t) = Ψ(t − t0)T −1 z0 + Z t t0 W (t − τ ) u(τ ) dτ. Quindi ̃Φ = T Φ T −1, ̃H = T H, ̃Ψ = Ψ T −1, ̃W = W. 2. Verifica. (T AT −1)k = T AkT −1, perché i T −1T interni valgono I, e nella serie dell’esponenziale e ̃At = T eAtT −1. Allora ̃H = e ̃At ̃B = T eAtT −1T B = T H, ̃Ψ = ̃Ce ̃At = CT −1T eAtT −1 = ΨT −1 e ̃W = ̃C ̃H + Dδ = CH + Dδ = W . Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 18

Pagina 19

3. Forma reale. ̃Φ(t) = eT AT −1t è diagonale a blocchi, con eλit e i blocchi eJk t, quindi ogni coordinata di un autovalore reale, e ogni coppia di coordinate di una coppia complessa, evolve da sola con il suo modo naturale. W non cambia, perché il legame fra ingresso e uscita non dipende dalle coordinate dello stato. ← Torna all’Esercizio 2, pagina 15 Soluzione dell’Esercizio 3 – Forma reale di una coppia complessa 1. Autovalori. det(A − λI) = λ(λ + 2) + 2 = λ2 + 2λ + 2, quindi λ = −1 ± i, con α = −1 e ω = 1. Per λ = −1 + i la prima riga di A − λI dà (1 − i) a + b = 0, cioè b = (−1 + i) a, e con a = 1: u = 1 −1 + i ! , uA = 1 −1 ! , uB = 0 1 ! . Controllo: AuA = −uA − uB e AuB = uA − uB , come chiedono le due equazioni reali. 2. Forma reale. T −1 = uA uB = 1 0 −1 1 ! , T = 1 0 1 1 ! , T AT −1 = −1 1 −1 −1 ! = J. Quindi eAt = T −1 e−t cos t sin t − sin t cos t ! T = e−t cos t + sin t sin t −2 sin t cos t − sin t ! , che in t = 0 dà I e ha derivata A in t = 0. 3. Evoluzione libera. Con la prima colonna di eAt: x(t) = e−t cos t + sin t −2 sin t ! . Nelle coordinate z = T x si parte da z0 = T x0, con componenti 1 e 1, cioè x0 = uA + uB . Le coordinate ruotano di un angolo t, da uB verso uA, e l’ampiezza si riduce come e−t, quindi lo stato va verso l’origine lungo una spirale, con un giro ogni 2π. ← Torna all’Esercizio 3, pagina 15 Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 19

Pagina 20

Soluzione dell’Esercizio 4 – I modi di massa, molla e smorzatore Autovalori. Con M = k = 1, det(A − λI) = λ2 + bλ + 1 e λ1,2 = −b ± √b2 − 4 2 . • b > 2: due autovalori reali distinti, entrambi negativi perché √b2 − 4 < b. Si hanno due modi aperiodici convergenti, e la massa torna a riposo senza oscillare. • 0 < b < 2: una coppia con α = − b 2 < 0 e ω = √4−b2 2 . Si ha un modo pseudoperiodico convergente, e la massa oscilla, con ampiezza che si riduce come e−bt/2. Con b = 2 l’autovalore −1 è doppio e rk(A + I) = 1, quindi g = 1 < r = 2, un caso escluso dalle ipotesi del capitolo. In ogni caso, con b > 0 la massa torna a riposo, e per saperlo basta conoscere gli autovalori. ← Torna all’Esercizio 4, pagina 16 Soluzione dell’Esercizio 5 – Un autovalore doppio e la somma dei modi 1. Autovalori. Sviluppando sulla prima riga, det(A − λI) = (1 − λ)(−λ)(3 − λ) + 2 = (1 − λ)(λ2 − 3λ + 2) = −(λ − 1)2(λ − 2), quindi λ1 = 1 con r1 = 2 e λ2 = 2 semplice. Autospazi. A−I ha la prima riga nulla e le altre due proporzionali a (0 −1 1), quindi rk(A − I) = 1 e g1 = 2 = r1. E1 è il piano b = c (componenti a, b, c), e da (A − 2I) u = 0 si ha a = 0 e c = 2b. Con u11 =    0 1 1    , u12 =    1 0 0    , u21 =    0 1 2    , U −1 =    0 2 −1 1 0 0 0 −1 1    . Si verifica U U −1 = I. 2. Residui. R1 = u11v11 + u12v12 =    1 0 0 0 2 −1 0 2 −1    , R2 = u21v21 =    0 0 0 0 −1 1 0 −2 2    , e eAt = etR1 + e2tR2. R1 ha due righe indipendenti, quindi rk R1 = 2, mentre rk R2 = 1, e così i ranghi sono le molteplicità. Controllo: R1 + R2 = I e R1 + 2R2 = A. Un’altra base di E1 dà gli stessi R1 e R2. 3. Evoluzione libera. Con cih = vihx0: xL(t) = etc11u11 + c12u12 + e2tc21u21, c21 = x03 − x02. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 20

Pagina 21

• Se x0 ∈ E1, cioè x02 = x03, allora c21 = 0 e xL(t) = etx0, quindi lo stato si allontana dall’origine lungo la retta per x0, come lungo un autovettore. • In generale la parte in E1 cresce come et e quella lungo u21 come e2t, più in fretta, e così, se c21̸ = 0, lo stato si allontana e la sua direzione tende a quella di u21. ← Torna all’Esercizio 5, pagina 16 Soluzione dell’Esercizio 6 – Appello del 12/06/2026, Canale 1, Prof. Paolo Di Giamberardino, esercizio 2, adattato 1. Autovalori. Sviluppando sulla seconda riga, det(A−λI) = (−1−λ)(λ2 −1) = −(λ + 1)2(λ − 1), quindi λ1 = −1 con r1 = 2 e λ2 = 1 semplice. Autospazi. A+I ha due righe uguali a (1 1 1) e una nulla, quindi rk(A+I) = 1, g1 = 3 − 1 = 2 = r1, e A ha tre autovettori indipendenti. E1 è il piano a + b + c = 0 (componenti a, b, c), e per λ2 = 1 il sistema (A − I) u = 0 dà b = 0 e a = c. Con u11 =    1 −1 0    , u12 =    1 0 −1    , u21 =    1 0 1    , U −1 =    0 −1 0 1 2 1 2 −1 2 1 2 1 2 1 2    . Modi naturali. Ci sono due modi con legge e−(t−t0), lungo u11 e u12, che insieme sono l’evoluzione nel piano invariante E1, e un modo et−t0 lungo u21, che cresce. Eccitabilità. V1B = v11B v12B ! = 0 1 !̸ = 0 : il modo di −1 è eccitabile. Invece v21B = 1 2 (1 − 1) = 0, quindi il modo di 1 è non eccitabile. Osservabilità. CU1 = (Cu11 Cu12) = (−1 0)̸ = 0, quindi il modo di −1 è osservabile. Invece Cu21 = 0, quindi il modo di 1 è non osservabile. Nella base scelta u11 si vede in uscita ma non è eccitato, u12 è eccitato ma non si vede. Queste sono letture della base, mentre la definizione guarda tutto E1. 2. Risposta impulsiva. I coefficienti di W sono (CU1)(V1B) = (−1) · 0 + 0 · 1 = 0, (Cu21)(v21B) = 0, quindi W (t) = C eAtB + D δ(t) = 2 δ(t). Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 21

Pagina 22

Lo si vede anche direttamente, perché AB = −B, cioè B = u12 ∈ E1, quindi H(t) = e−tB, e CB = 0. Il modo di −1 è eccitabile e osservabile, ma non compare in W , e in uscita resta solo il legame diretto. ← Torna all’Esercizio 6, pagina 16 Soluzione dell’Esercizio 7 – Appello del 12/06/2026, Canale 1, Prof. Paolo Di Giamberardino, esercizio 1, adattato a. Stato. Con x1 = h e x2 = ̇h si ha ̇x1 = x2 e ̇x2 = − k M x1 − a M x2 − 1 M u. Con uscita lo spostamento misurato, y = h: ̇x = 0 1 − k M − a M ! x + 0 − 1 M ! u, y = 1 0 x, D = 0. d. Oscillazioni. Le oscillazioni vengono da un modo pseudoperiodico, cioè da una coppia di autovalori complessi. Gli autovalori risolvono M det(A − λI) = M λ2 + aλ + k = 0, e sono reali se e solo se a2 − 4M k ≥ 0. Deve valere per ogni M ≤ 100, quindi per il caso peggiore M = 100: a2 ≥ 4 · 100 · 100 ⇐⇒ a ≥ 200 N s m−1. Con a > 200 gli autovalori sono reali, distinti e negativi per ogni massa, e danno due modi aperiodici convergenti. Con a = 200 e M = 100 l’autovalore −1 è doppio e reale, quindi non c’è una coppia complessa. ← Torna all’Esercizio 7, pagina 17 Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 22

Entrambi

3 Autovalori multipli e autovalori complessiC1

Apertura del capitolo