Capitolo 4 · C1

Tempo discreto e sistemi a tempo campionato

Rappresentazione alle differenze, Dalla forma esplicita alle differenze e ritorno, Potenze di A, Modi aperiodici e alternanti, Coppie complesse in forma polare, Osservabilità ed eccitabilità a tempo discreto, Campionatore e mantenitore, Il sistema a tempo discreto equivalente, Autovalori e modi del sistema campionato

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1 La rappresentazione alle differenze Definizione – Rappresentazione alle differenze La forma implicita di un sistema lineare stazionario a tempo discreto, o rappresentazione alle differenze, è x(t + 1) = A x(t) + B u(t), y(t) = C x(t) + D u(t), x(t0) = x0 con t intero e A, B, C, D costanti, delle dimensioni del Capitolo 2. Al posto della derivata c’è lo stato al passo successivo, e così la prima equazione dice come cambia lo stato da un istante al seguente con una differenza, invece che con una variazione istantanea. È la descrizione naturale di un sistema che evolve a passi. Come a tempo continuo (Capitolo 2), la forma esplicita del Capitolo 1 dà x(t) da x0 e da tutta la sequenza degli ingressi, mentre la forma alle differenze dà solo il passo successivo. Le due sezioni seguenti passano dall’una all’altra. 2 Dalla forma esplicita alla forma alle differenze Teorema – Dalla forma esplicita alla forma alle differenze Dalla rappresentazione esplicita a tempo discreto del Capitolo 1, x(t) = Φ(t − t0) x0 + t−1X τ =t0 H(t − τ ) u(τ ), y(t) = C x(t) + D u(t), si ottiene x(t + 1) = A x(t) + B u(t), A := Φ(1), B := H(1) Dimostrazione La forma esplicita vale per ogni istante iniziale. Si prende come istante iniziale t e si osserva in t + 1, cioè dopo un passo solo: 1. Φ(t + 1) − t = Φ(1). 2. La somma va da τ = t a τ = (t + 1) − 1 = t, quindi ha il solo termine H(t + 1) − t u(t) = H(1) u(t). Quindi x(t + 1) = Φ(1) x(t) + H(1) u(t). L’uscita è già istantanea e resta com’è. □ Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 1

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A tempo discreto il passaggio è più semplice che a tempo continuo, perché non serve derivare, né chiedere a Φ di essere derivabile, e basta guardare un passo. 3 Dalla forma alle differenze alla forma esplicita Teorema – Soluzione della forma alle differenze Per t ≥ t0: x(t) = At−t0 x0 + t−1X τ =t0 At−1−τ B u(τ ) con la somma vuota, cioè nulla, per t = t0. Dimostrazione 1. Un passo alla volta. x(t0 + 1) = A x0 + B u(t0), x(t0 + 2) = A x(t0 + 1) + B u(t0 + 1) = A2x0 + AB u(t0) + B u(t0 + 1), x(t0 + 3) = A3x0 + A2B u(t0) + AB u(t0 + 1) + B u(t0 + 2). 2. La regola. Dopo N passi x0 è moltiplicato per AN . L’ingresso u(τ ), con τ da t0 a t0 + N − 1, è moltiplicato per A elevata al numero di passi che restano dopo il suo, t0 + N − 1 − τ , e per B. 3. Induzione. Se la formula vale in t, allora x(t + 1) = A x(t) + B u(t) dà At+1−t0 x0 più la somma fino a t − 1 con un fattore A in più, più B u(t), che è il termine τ = t. 4. Nomi. Con N = t − t0 si ottiene la formula. □ Proposizione – Le matrici della forma esplicita Confrontando con la forma esplicita del Capitolo 1, per k ≥ 1: Φ(k) = Ak, H(k) = Ak−1B, Ψ(k) = CAk, W (k) = CAk−1B, W (0) = D e Φ(0) = I. Le due forme si equivalgono, perché dalla esplicita si legge la forma alle differenze guardando un passo, e iterando la forma alle differenze si ritrova la esplicita. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 2

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Osservazione – H(0) non serve H(k) = Ak−1B vale solo per k ≥ 1, perché in k = 0 darebbe A−1B, che può non esistere. Non è un problema, perché H(0) non compare mai. Nella somma si ha τ ≤ t − 1, quindi t − τ ≥ 1. L’ingresso applicato in τ entra nello stato solo al passo dopo, e infatti B = H(1), mentre a tempo continuo (Capitolo 2) B = H(0). 4 Le potenze di A Proposizione – Potenza di una matrice diagonalizzabile Se A = U ΛU −1, con U di colonne ui e U −1 di righe vi: At = U ΛtU −1 = nX i=1 λt i ui vi con Λt la diagonale delle potenze λt i. Vale anche con autovalori ripetuti, se gi = ri (Capitolo 3). Dimostrazione Nel prodotto (U ΛU −1)(U ΛU −1) · · · i fattori U −1U interni danno I, e la potenza di una matrice diagonale si fa elemento per elemento. Il prodotto per righe e colonne dà la somma. □ Con t0 = 0 e ci := vi x0, l’evoluzione libera è xL(t) = Atx0 = nX i=1 ci λt i ui che ha la stessa struttura del Capitolo 2, con la potenza λt i al posto dell’esponenziale. Ogni termine è un modo naturale, cioè un autovettore con la sua legge temporale, che è definita solo negli istanti interi. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 3

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5 I modi aperiodici a tempo discreto Definizione – Modi aperiodici e alternanti Il modo ci λt i ui di un autovalore reale è un modo aperiodico. Se λi < 0 è anche alternante, cioè λt i cambia segno a ogni passo e lo stato salta da una parte all’altra dell’origine lungo ui. Il modulo |λ|t decide l’ampiezza, il segno decide se alterna (Tabella e Figura 1): autovalore legge λt modo λ > 1 cresce divergente λ = 1 costante limitato 0 < λ < 1 decresce a zero convergente λ = 0 nulla per ogni t ≥ 1 si annulla dopo un passo −1 < λ < 0 tende a zero cambiando segno alternante convergente λ = −1 vale ±1 alternante limitato λ < −1 cresce in modulo cambiando segno alternante divergente Siccome a tempo continuo eλt > 0 e non si annulla mai, i modi alternanti e i modi che si annullano in un numero finito di passi esistono solo a tempo discreto. Quando conta una sola proprietà si usa solo quell’aggettivo, per esempio divergente. La parte geometrica non cambia rispetto al tempo continuo. Gli autovettori, le righe vi e i sottospazi invarianti sono gli stessi, e lungo ogni ui si svolge un modo. 6 Le coppie complesse: la forma polare Per una coppia λ = α + i ω, ̄λ, il cambio di base del Capitolo 3 porta al blocco J = M ΛcM −1, con Λc la diagonale di λ e ̄λ. Per le potenze la forma α + i ω non aiuta, perché (α + i ω)t si sviluppa con il binomio. Serve invece la forma polare. Definizione – Forma polare dell’autovalore λ = α + i ω = ρ eiθ, ρ = |λ| = √α2 + ω2, α = ρ cos θ, ω = ρ sin θ, con 0 < θ < π per l’autovalore con ω > 0. Allora λt = ρteiθt. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 4

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t 1 λ = 0,7 t 1 λ = 1 t 1 λ = 1,2 t 1 λ = −0,7 t 1 λ = −1 t 1 λ = −1,2 Figura 1: Le leggi λt: in alto aperiodici con λ > 0, in basso alternanti. Nei pannelli di destra la scala verticale è ridotta. Proposizione – Potenza del blocco reale Jt = ρt cos θt sin θt − sin θt cos θt ! Dimostrazione 1. Diagonale complessa. Jt = M Λt cM −1, con λt = ρteiθt e ̄λt = ρte−iθt. 2. Prodotto. Come per l’esponenziale del blocco (Capitolo 3), con ρt al posto di eαt: Jt = ρt 2 eiθt + e−iθt −i (eiθt − e−iθt) i (eiθt − e−iθt) eiθt + e−iθt ! . 3. Eulero. La somma dà 2 cos θt, la differenza 2i sin θt. □ La forma è quella di eJt nel Capitolo 3, con due differenze: • Davanti c’è il modulo ρt e non eαt, quindi conta |λ| e non la parte reale. • Nelle funzioni trigonometriche c’è la fase θ e non ω, e così θ e θ + 2π danno le stesse leggi. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 5

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Proposizione – Modo pseudoperiodico a tempo discreto Con cA = vA x0 = m sin φ e cB = vB x0 = m cos φ, come nel Capitolo 3, la coppia contribuisce all’evoluzione libera con m ρt sin(θt + φ) uA + cos(θt + φ) uB un modo pseudoperiodico, che diverge se ρ > 1, resta limitato se ρ = 1 e converge a zero se ρ < 1. Dimostrazione La dimostrazione è quella del Capitolo 3 con Jt al posto di eJt, cioè con ρt al posto di eαt e θt al posto di ωt. □ Un modo pseudoperiodico non è mai alternante, perché ρ > 0 e quindi ρt non cambia segno. L’oscillazione viene solo dal seno e dal coseno. Nel piano di uA e uB lo stato si muove a punti lungo una spirale, che si stringe se ρ < 1 e si allarga se ρ > 1 (Figura 2). uA uB 0 1 2 Figura 2: Un modo pseudoperiodico convergente (ρ < 1) nel piano della coppia: lo stato salta di punto in punto lungo una spirale. I numeri sono gli istanti t. Teorema – Evoluzione libera a tempo discreto Nelle ipotesi della forma reale a blocchi del Capitolo 3, con t0 = 0: xL(t) = μ X i=1 ci λt i ui + νX k=1 mk ρt k sin(θkt + φk) ukA + cos(θkt + φk) ukB con μ modi aperiodici, eventualmente alternanti, e ν pseudoperiodici. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 6

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7 Osservabilità ed eccitabilità: la stessa geometria Proposizione – Le condizioni non dipendono dal tempo A tempo discreto le condizioni di osservabilità ed eccitabilità dei modi sono quelle del tempo continuo (Capitoli 2 e 3): • Il modo di λi è non osservabile se C Ui = 0, non eccitabile se Vi B = 0. • Il modo pseudoperiodico è non osservabile se C uA = C uB = 0, non eccitabile se vA B = vB B = 0. Dimostrazione In Ψ(k) = CAk e in H(k) = Ak−1B le leggi temporali, λk i o ρk per seno e coseno, stanno fra C u e v, o fra u e v B, come eλit o eαt a tempo continuo, quindi un modo manca se e solo se si annullano gli stessi prodotti. I conti sono quelli dei Capitoli 2 e 3. □ Autovalori, autovettori, B e C sono la parte geometrica del sistema, e tutto ciò che non coinvolge il tempo si studia una volta sola e vale per entrambi i casi. Cambiano solo le leggi temporali, che sono esponenziali a tempo continuo e potenze a tempo discreto. 8 Campionatore e mantenitore Definizione – Campionatore e mantenitore di ordine zero Sia T > 0 il periodo di campionamento e k ∈ Z l’indice dei campioni. • Il campionatore legge un segnale continuo solo negli istanti t = kT , e così da y(t) dà la sequenza yd(k) := y(kT ). • Il mantenitore di ordine zero (ZOH, zero order holder ) fa l’opposto, e da una sequenza ud(k) costruisce il segnale continuo u(t) = ud(k) per kT ≤ t < (k + 1)T che tiene costante ogni campione fino al successivo. Un sistema fisico a tempo continuo comandato da un dispositivo digitale riceve e fornisce numeri solo a passi di durata T . Fra due campioni d’ingresso il sistema continua però a evolvere e ha bisogno di un ingresso in ogni istante, e glielo fornisce il mantenitore. Il campionatore, all’uscita, riporta y(t) a una sequenza (Figura 3). Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 7

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sistema a tempo discreto ZOH ̇x = Ax + Bu T ud(k) u(t) y(t) yd(k) Figura 3: Il sistema continuo fra il mantenitore e il campionatore, sincronizzati con lo stesso periodo T . Dall’esterno entra ed esce una sequenza. Il mantenitore si chiama così perché tiene un valore. L’ordine è il grado del polinomio con cui riempie l’intervallo fra due campioni. Una costante dà l’ordine zero, una retta l’ordine uno, e così via. Osservazione – Perché l’ordine zero Per tracciare una retta da ud(k) a ud(k + 1) già nell’istante kT serve il campione successivo, che arriva solo in (k + 1)T . Un mantenitore di ordine maggiore di zero deve quindi aspettare uno o più campioni, e così introduce un ritardo, più grande quanto più alto è l’ordine. L’ordine zero usa solo il campione già arrivato. t T 2T 3T 4T 5T0 Figura 4: Mantenitore di ordine zero: i campioni ud(k) (punti) e il segnale costante a tratti u(t) che entra nel sistema continuo. 9 Il sistema a tempo discreto equivalente Teorema – Sistema a tempo discreto equivalente Il sistema continuo ̇x = Ax + Bu, y = Cx + Du, fra un mantenitore di ordine zero e un campionatore di periodo T sincronizzati, con xd(k) := x(kT ), ud(k) := u(kT ) e yd(k) := y(kT ), è descritto dalla rappresentazione alle differenze xd(k + 1) = Ad xd(k) + Bd ud(k), yd(k) = C xd(k) + D ud(k) con Ad = eAT , Bd = Z T 0 eAθ dθ B Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 8

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Dimostrazione 1. Un passo. Nella forma esplicita dello stato (Capitoli 1 e 2) si prendono l’istante iniziale kT e l’osservazione in (k + 1)T : x(k + 1)T = eAT x(kT ) + Z (k+1)T kT eA((k+1)T −τ )B u(τ ) dτ. 2. Ingresso costante. Nell’intervallo d’integrazione il mantenitore dà u(τ ) = ud(k), che esce dall’integrale. 3. Cambio di variabile. Con θ = (k + 1)T − τ si ha dθ = − dτ . Per τ = kT è θ = T , e per τ = (k + 1)T è θ = 0. Il segno meno si toglie scambiando gli estremi: Z (k+1)T kT eA((k+1)T −τ ) dτ = Z T 0 eAθ dθ. 4. Uscita. La trasformazione d’uscita è istantanea, quindi in t = kT dà y(kT ) = C x(kT ) + D u(kT ), con u(kT ) = ud(k). □ L’integrale di una matrice si fa elemento per elemento, quindi Bd è una matrice costante, n × p come B. Ad dice come evolve lo stato libero in un periodo, e Bd raccoglie l’effetto dell’ingresso tenuto costante in quel periodo. C e D restano le stesse. Proposizione – Bd con A invertibile Se A è invertibile, Bd = A−1eAT − IB Dimostrazione La derivata di A−1eAθ è eAθ (Capitolo 2), quindi R T 0 eAθ dθ = A−1eAT − e0 = A−1eAT − I. □ Il tempo del sistema equivalente è l’indice k dei campioni, perché per il sistema conta solo che il passo k venga dopo il passo k − 1, e T resta dentro Ad e Bd. Il campione k corrisponde all’istante t = kT dell’orologio. A θ si può dare qualunque nome, perché dopo l’integrazione non compare più. Con Ad e Bd valgono tutti i risultati delle Sezioni 1-7. Da un passo all’altro il sistema equivalente è esatto, non approssimato. Negli istanti kT dà proprio x(kT ) e y(kT ), perché l’ingresso è davvero costante fra due campioni. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 9

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10 Evoluzione libera e autovalori Proposizione – L’evoluzione libera campionata Con k0 = 0 e xd(0) = x0: xd(k) = Ak d x0 = eAkT x0 = x(kT ) cioè l’evoluzione libera del sistema equivalente è quella continua letta negli istanti kT . Proposizione – Autovalori del sistema campionato Ogni autovettore di A è autovettore di Ad = eAT e, per ogni autovalore λi di A, Ad ha l’autovalore λd,i = eλiT Dimostrazione Se A = U ΛU −1, la forma spettrale del Capitolo 2 con t = T dà Ad = eAT = U eΛT U −1 = nX i=1 eλiT ui vi, con eΛT diagonale. Questa è la forma spettrale di Ad, con le stesse ui e vi e gli autovalori eλiT . Per una coppia complessa il blocco reale J del Capitolo 3 dà eJT , che è il blocco della Sezione 6 con ρ = eαT e θ = ωT , cioè gli autovalori e(α±iω)T . □ La parte geometrica del sistema (autovettori, righe vi) passa al sistema campionato, e cambiano solo le leggi temporali, eλikT = λk d,i al posto di eλit (Figura 5). Se due autovalori distinti di A hanno lo stesso eλiT , però, i loro autospazi si uniscono e Ad ha anche altri autovettori: nell’Esercizio 2, con T = π, Ad = I. tT 2T 3T eλt λk d = eλkT Figura 5: Un modo aperiodico convergente (λ < 0) e la sua legge nel sistema campionato, che ha gli stessi valori, ma solo negli istanti kT . Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 10

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11 I modi del sistema campionato Per un autovalore reale λ, λd = eλT è sempre positivo, e il segno di λ decide da che parte di 1 cade: tempo continuo sistema campionato modo λ > 0 λd > 1 aperiodico divergente λ = 0 λd = 1 aperiodico costante λ < 0 0 < λd < 1 aperiodico convergente Il modo campionato ha lo stesso comportamento di quello continuo. Proposizione – Autovalori che un sistema campionato non ha • λd = 0 non si ha mai, perché Ad = eAT è invertibile, con inversa e−AT . • Un λd reale negativo viene solo da una coppia complessa α±iω con ωT multiplo dispari di π, e allora e(α±iω)T = −eαT è un autovalore doppio. Quindi un modo alternante nel sistema campionato viene solo da un modo pseudoperiodico, e i modi alternanti sono sempre a coppie. Dimostrazione 1. Reali. Se λ ∈ R, eλT > 0. 2. Coppie. e(α+iω)T = eαT cos ωT + i sin ωT è reale solo se sin ωT = 0, e negativo se inoltre cos ωT = −1, cioè ωT = (2m + 1)π, m ∈ Z. 3. Il blocco. Con ωT = (2m + 1)π si ha eJT = −eαT I, quindi ogni vettore del piano della coppia è un autovettore di −eαT . □ Con ωT = π l’alternanza si vede subito, perché si campiona ogni mezzo periodo dell’oscillazione e cos(ωkT + φ) = (−1)k cos φ cambia segno a ogni campione. Per un modo continuo aperiodico invece non succede, dato che un esponenziale reale non cambia segno e campionarlo non lo fa cambiare. Un sistema nato discreto, come quelli delle Sezioni 1-7, può invece avere autovalori negativi o nulli qualsiasi. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 11

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Riepilogo • Forma alle differenze: x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t), y = Cx + Du, con A = Φ(1), B = H(1). • Soluzione: x(t) = At−t0 x0 + Pt−1 τ =t0 At−1−τ Bu(τ ), e W (0) = D, W (k) = CAk−1B. • Modi reali: At = P i λt iuivi, aperiodici, alternanti se λ < 0, convergono se |λ| < 1, divergono se |λ| > 1. • Coppie: λ = ρeiθ, Jt = ρt cos θt sin θt − sin θt cos θt , e osservabilità ed eccitabilità come a tempo continuo. • Campionamento: mantenitore di ordine zero, u(t) = ud(k) per kT ≤ t < (k + 1)T , sistema continuo, campionatore di periodo T . • Sistema equivalente: xd(k + 1) = Ad xd(k) + Bd ud(k), con Ad = eAT , Bd = R T 0 eAθ dθ B = A−1(eAT − I)B se A è invertibile. • Autovalori campionati: xd(k) = eAkT x0 = x(kT ), λd = eλT , autovettori di A conservati. • Modi campionati: λd̸ = 0, mai alternanti da λ reale, alternanti solo a coppie, da ωT = (2m + 1)π. 12 Esercizi Esercizio 1 – Esonero del 14/11/2025 (fila A), Canale 1, Prof. Paolo Di Giamberardino, esercizio 2, adattato Dato il sistema a tempo discreto descritto dalle equazioni x(t + 1) = 0 1 a −1 ! x(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) + Du(t), determinare i valori di a ∈ R, a̸ = −1 4 , se esistono, tali che il sistema presenti almeno un modo naturale alternante. Soluzione a pagina 14 → Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 12

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Esercizio 2 – Appello del 30/01/2023 (fila A), Canale 1, Prof. Paolo Di Giamberardino, esercizio 2 Dato il sistema descritto da ̇x(t) = 1 1 −5 −1 ! x(t) + 0 1 ! u(t), y(t) = 0 1 x(t) a. calcolare l’evoluzione libera a partire dallo stato iniziale x0 = 0 1 ! ; b. calcolare la risposta indiciale; c. determinare la rappresentazione nello spazio di stato a tempo discreto del sistema ottenuto campionando il sistema dato con tempo di campionamento Tc = π; d. per il sistema ottenuto al punto c., calcolare l’evoluzione libera a partire dallo stato iniziale x0 = 0 1 ! , confrontando il risultato con quanto ottenuto al punto a.; e. per il sistema ottenuto al punto c., calcolare la risposta indiciale. Soluzione a pagina 14 → Esercizio 3 – Appello del 05/11/2024, II canale, Prof.ssa Claudia Califano, esercizio 2 È dato il sistema con rappresentazione nello spazio di stato ̇x(t) = 1 10 −1 −1 ! x(t) + 1 0 ! u(t), y(t) = 1 0 x(t). Calcolare la rappresentazione nello spazio di stato del sistema a tempo discreto equivalente ottenuto mediante campionamento con tempo di campionamento T = 3 sec. Soluzione a pagina 15 → Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 13

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13 Soluzioni Soluzione dell’Esercizio 1 – Esonero del 14/11/2025 (fila A), Canale 1, Prof. Paolo Di Giamberardino, esercizio 2, adattato Autovalori. det(A − λI) = −λ(−1 − λ) − a = λ2 + λ − a, quindi λ1,2 = −1 ∓ √1 + 4a 2 . Un modo alternante viene da un autovalore reale negativo, mentre le coppie complesse danno modi pseudoperiodici, mai alternanti. Caso a > −1 4 . Gli autovalori sono reali e distinti, e sempre λ1 = −1 − √1 + 4a 2 < 0, quindi c’è almeno un modo alternante. Inoltre λ2 = −1+√1+4a 2 è negativo per −1 4 < a < 0 (due modi alternanti), nullo per a = 0, positivo per a > 0 (un modo aperiodico non alternante). Caso a < −1 4 . Gli autovalori sono una coppia complessa con ρ = √−a (il loro prodotto è −a), che dà un modo pseudoperiodico e nessun modo alternante. Risposta. Il sistema ha almeno un modo alternante per ogni a > −1 4 . ← Torna all’Esercizio 1, pagina 12 Soluzione dell’Esercizio 2 – Appello del 30/01/2023 (fila A), Canale 1, Prof. Paolo Di Giamberardino, esercizio 2 a. Esponenziale. det(A − λI) = (1 − λ)(−1 − λ) + 5 = λ2 + 4, quindi gli autovalori sono ±2i, con α = 0 e ω = 2. Inoltre A2 = −4I, quindi nella serie di eAt le potenze pari danno il coseno e le dispari il seno: eAt = cos 2t I + sin 2t 2 A = cos 2t + 1 2 sin 2t 1 2 sin 2t −5 2 sin 2t cos 2t − 1 2 sin 2t ! . Evoluzione libera (seconda colonna): xL(t) = 1 2 sin 2t cos 2t − 1 2 sin 2t ! , un modo pseudoperiodico limitato, di periodo π. b. Risposta indiciale. Con D = 0, W (t) = C eAtB = cos 2t − 1 2 sin 2t, e con Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 14

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u = δ−1: yF (t) = Z t 0 W (t − τ ) dτ = Z t 0 W (σ) dσ = 1 2 sin 2t − 1 4 1 − cos 2t, t ≥ 0. c. Sistema campionato. Con T = π: Ad = eAπ = cos 2π I + sin 2π 2 A = I, Bd = Z π 0 cos 2θ I + sin 2θ 2 A dθ B = 0, perché R π 0 cos 2θ dθ = R π 0 sin 2θ dθ = 0. Quindi xd(k + 1) = xd(k), yd(k) = (0 1) xd(k). Gli autovalori sono e±2iπ = 1, doppio, perché ωT = 2π. d. Evoluzione libera campionata. xd(k) = Ak dx0 = x0 per ogni k. È proprio xL(kπ). Il periodo di campionamento è uguale al periodo del modo, quindi ogni campione cade nello stesso punto dell’oscillazione, che non si vede più. e. Risposta indiciale campionata. Con Bd = 0 e D = 0, yd(k) = Pk−1 τ =0 CAk−1−τ d Bd = 0 per ogni k. Coincide con yF (kπ) = 0 del punto b., cioè negli istanti di campionamento l’ingresso non arriva mai all’uscita. ← Torna all’Esercizio 2, pagina 13 Soluzione dell’Esercizio 3 – Appello del 05/11/2024, II canale, Prof.ssa Claudia Califano, esercizio 2 Esponenziale. det(A − λI) = λ2 + 9, quindi gli autovalori sono ±3i. Si verifica A2 = −9I, quindi, come nell’Esercizio 2, eAt = cos 3t I + sin 3t 3 A. Ad. Con T = 3: Ad = e3A = cos 9 + 1 3 sin 9 10 3 sin 9 −1 3 sin 9 cos 9 − 1 3 sin 9 ! ≈ −0,774 1,374 −0,137 −1,049 ! . Bd. Integrando termine per termine: Z 3 0 eAθ dθ = sin 9 3 I + 1 − cos 9 9 A, e con AB = 1 −1 ! : Bd = sin 9 3 1 0 ! + 1 − cos 9 9 1 −1 ! ≈ 0,350 −0,212 ! . Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 15

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Lo stesso risultato dà A−1(Ad − I)B, con A−1 = −1 9 A. Rappresentazione. xd(k + 1) = Ad xd(k) + Bd ud(k), yd(k) = 1 0 xd(k). Controllo: det Ad = cos2 9 + sin2 9 = 1, il prodotto degli autovalori e±9i. ← Torna all’Esercizio 3, pagina 13 Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 16

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