Capitolo 7 · C1

Sistemi a tempo campionato

Campionatore e mantenitore di ordine zero, Il sistema a tempo discreto equivalente, Evoluzione libera e autovalori, I modi del sistema campionato

10 pagine (8 numerate). Aggiornato il 10 ottobre 2026.

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1 Campionatore e mantenitore Definizione – Campionatore e mantenitore di ordine zero Sia T > 0 il periodo di campionamento e k ∈ Z l’indice dei campioni. • Il campionatore legge un segnale continuo solo negli istanti t = kT : da y(t) dà la sequenza yD(k) := y(kT ). • Il mantenitore di ordine zero (ZOH, zero order holder ) fa l’opposto: da una sequenza uD(k) costruisce il segnale continuo u(t) = uD(k) per kT ≤ t < (k + 1)T che tiene costante ogni campione fino al successivo. Un sistema fisico a tempo continuo comandato da un dispositivo digitale riceve e fornisce numeri solo a passi di durata T . Fra due campioni d’ingresso il sistema continua però a evolvere e ha bisogno di un ingresso in ogni istante: il mantenitore glielo fornisce. Il campionatore, all’uscita, riporta y(t) a una sequenza (Figura 1). sistema a tempo discreto ZOH ̇x = Ax + Bu T uD(k) u(t) y(t) yD(k) Figura 1: Il sistema continuo fra il mantenitore e il campionatore, sincronizzati con lo stesso periodo T : dall’esterno entra e esce una sequenza. Il mantenitore si chiama così perché tiene un valore. L’ordine è il grado del polinomio con cui riempie l’intervallo fra due campioni: costante, ordine zero; retta, ordine uno; e così via. Osservazione – Perché l’ordine zero Per tracciare una retta da uD(k) a uD(k + 1) già nell’istante kT serve il campione successivo, che arriva solo in (k + 1)T . Un mantenitore di ordine maggiore di zero deve quindi aspettare uno o più campioni: introduce un ritardo, più grande quanto più alto è l’ordine. L’ordine zero usa solo il campione già arrivato. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 1

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t T 2T 3T 4T 5T0 Figura 2: Mantenitore di ordine zero: i campioni uD(k) (punti) e il segnale costante a tratti u(t) che entra nel sistema continuo. 2 Il sistema a tempo discreto equivalente Teorema – Sistema a tempo discreto equivalente Il sistema continuo ̇x = Ax + Bu, y = Cx + Du, fra un mantenitore di ordine zero e un campionatore di periodo T sincronizzati, con xD(k) := x(kT ), uD(k) := u(kT ) e yD(k) := y(kT ), è descritto dalla rappresentazione alle differenze xD(k + 1) = AD xD(k) + BD uD(k), yD(k) = C xD(k) + D uD(k) con AD = eAT , BD = Z T 0 eAθ dθ B Dimostrazione 1. Un passo. Nella forma esplicita dello stato (Capitoli 2 e 3) si prende istante iniziale kT e osservazione in (k + 1)T : x(k + 1)T = eAT x(kT ) + Z (k+1)T kT eA((k+1)T −τ )B u(τ ) dτ. 2. Ingresso costante. Nell’intervallo d’integrazione il mantenitore dà u(τ ) = uD(k), che esce dall’integrale. 3. Cambio di variabile. Con θ = (k + 1)T − τ si ha dθ = − dτ ; per τ = kT è θ = T , per τ = (k + 1)T è θ = 0. Il segno meno si toglie scambiando gli estremi: Z (k+1)T kT eA((k+1)T −τ ) dτ = Z T 0 eAθ dθ. 4. Uscita. La trasformazione d’uscita è istantanea: in t = kT dà y(kT ) = C x(kT ) + D u(kT ), con u(kT ) = uD(k). □ L’integrale di una matrice si fa elemento per elemento: BD è una matrice costante, n × Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 2

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p come B. AD dice come evolve lo stato libero in un periodo; BD raccoglie l’effetto dell’ingresso tenuto costante in quel periodo. C e D restano le stesse. Proposizione – BD con A invertibile Se A è invertibile, BD = A−1eAT − IB Dimostrazione La derivata di A−1eAθ è eAθ (Capitolo 3), quindi R T 0 eAθ dθ = A−1eAT − e0 = A−1eAT − I. □ Il tempo del sistema equivalente è l’indice k dei campioni: per il sistema conta solo che il passo k venga dopo il passo k − 1, e T resta dentro AD e BD. Il campione k corrisponde all’istante t = kT dell’orologio. A θ si può dare qualunque nome: dopo l’integrazione non compare più. Con AD e BD valgono tutti i risultati del Capitolo 6. Da un passo all’altro il sistema equivalente è esatto, non approssimato: negli istanti kT dà proprio x(kT ) e y(kT ), perché l’ingresso è davvero costante fra due campioni. 3 Evoluzione libera e autovalori Proposizione – L’evoluzione libera campionata Con k0 = 0 e xD(0) = x0: xD(k) = Ak D x0 = eAkT x0 = x(kT ) l’evoluzione libera del sistema equivalente è quella continua letta negli istanti kT . Proposizione – Autovalori del sistema campionato AD = eAT ha gli stessi autovettori di A e, per ogni autovalore λi di A, l’autovalore λD,i = eλiT Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 3

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Dimostrazione Se A = U ΛU −1, la forma spettrale del Capitolo 3 con t = T dà AD = eAT = U eΛT U −1 = nX i=1 eλiT ui vi, con eΛT diagonale: è la forma spettrale di AD, con le stesse ui e vi e gli autovalori eλiT . Per una coppia complessa il blocco reale J del Capitolo 5 dà eJT : è il blocco del Capitolo 6 con ρ = eαT e θ = ωT , cioè gli autovalori e(α±iω)T . □ La parte geometrica del sistema (autovettori, autospazi, righe vi) passa intatta al sistema campionato; cambiano solo le leggi temporali, eλikT = λk D,i al posto di eλit (Figura 3). tT 2T 3T eλt λk D = eλkT Figura 3: Un modo aperiodico convergente (λ < 0) e la sua legge nel sistema campionato: gli stessi valori, solo negli istanti kT . 4 I modi del sistema campionato Per un autovalore reale λ, λD = eλT è sempre positivo, e il segno di λ decide da che parte di 1 cade: tempo continuo sistema campionato modo λ > 0 λD > 1 aperiodico divergente λ = 0 λD = 1 aperiodico costante λ < 0 0 < λD < 1 aperiodico convergente Il modo campionato ha lo stesso comportamento di quello continuo. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 4

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Proposizione – Autovalori che un sistema campionato non ha • λD = 0 mai: AD = eAT è invertibile, con inversa e−AT . • λD reale negativo solo da una coppia complessa α ± iω con ωT multiplo dispari di π: allora e(α±iω)T = −eαT , autovalore doppio. Quindi un modo alternante nel sistema campionato viene solo da un modo pseudoperiodico, e i modi alternanti sono sempre a coppie. Dimostrazione 1. Reali. Se λ ∈ R, eλT > 0. 2. Coppie. e(α+iω)T = eαT cos ωT + i sin ωT è reale solo se sin ωT = 0, e negativo se inoltre cos ωT = −1, cioè ωT = (2m + 1)π, m ∈ Z. 3. Il blocco. Con ωT = (2m + 1)π si ha eJT = −eαT I: ogni vettore del piano della coppia è un autovettore di −eαT . □ L’alternanza ha una lettura semplice: con ωT = π si campiona ogni mezzo periodo dell’oscillazione, e cos(ωkT + φ) = (−1)k cos φ cambia segno a ogni campione. Per un modo continuo aperiodico questo non succede: un esponenziale reale non cambia segno, e campionarlo non lo fa cambiare. Un sistema nato discreto, come quelli del Capitolo 6, può invece avere autovalori negativi o nulli qualsiasi. Riepilogo • Schema: mantenitore di ordine zero, sistema continuo, campionatore di periodo T . • Ordine zero: u(t) = uD(k) per kT ≤ t < (k + 1)T ; ordini maggiori introducono ritardo. • Sistema equivalente: xD(k + 1) = AD xD(k) + BD uD(k), yD(k) = C xD(k) + D uD(k). • Matrici: AD = eAT , BD = R T 0 eAθ dθ B = A−1(eAT − I)B se A è invertibile. • Evoluzione libera: xD(k) = eAkT x0 = x(kT ). • Autovalori: λD = eλT , stessi autovettori. • Modi: da λ reale mai alternanti; λD̸ = 0; alternanti solo a coppie, da ωT = (2m + 1)π. Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 5

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5 Esercizi Esercizio 1 – Appello del 30/01/2023 (fila A), Canale 1, Prof. Paolo Di Giamberardino, esercizio 2 Dato il sistema descritto da ̇x(t) = 1 1 −5 −1 ! x(t) + 0 1 ! u(t), y(t) = 0 1 x(t) a. calcolare l’evoluzione libera a partire dallo stato iniziale x0 = 0 1 ! ; b. calcolare la risposta indiciale; c. determinare la rappresentazione nello spazio di stato a tempo discreto del sistema ottenuto campionando il sistema dato con tempo di campionamento Tc = π; d. per il sistema ottenuto al punto c., calcolare l’evoluzione libera a partire dallo stato iniziale x0 = 0 1 ! , confrontando il risultato con quanto ottenuto al punto a.; e. per il sistema ottenuto al punto c., calcolare la risposta indiciale. Soluzione a pagina 7 → Esercizio 2 – Appello del 05/11/2024, II canale, Prof.ssa Claudia Califano, esercizio 2 È dato il sistema con rappresentazione nello spazio di stato ̇x(t) = 1 10 −1 −1 ! x(t) + 1 0 ! u(t), y(t) = 1 0 x(t). Calcolare la rappresentazione nello spazio di stato del sistema a tempo discreto equivalente ottenuto mediante campionamento con tempo di campionamento T = 3 sec. Soluzione a pagina 8 → Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 6

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6 Soluzioni Soluzione dell’Esercizio 1 – Appello del 30/01/2023 (fila A), Canale 1, Prof. Paolo Di Giamberardino, esercizio 2 a. Esponenziale. det(A − λI) = (1 − λ)(−1 − λ) + 5 = λ2 + 4: autovalori ±2i, con α = 0 e ω = 2. Inoltre A2 = −4I, quindi nella serie di eAt le potenze pari danno il coseno e le dispari il seno: eAt = cos 2t I + sin 2t 2 A = cos 2t + 1 2 sin 2t 1 2 sin 2t −5 2 sin 2t cos 2t − 1 2 sin 2t ! . Evoluzione libera (seconda colonna): xL(t) = 1 2 sin 2t cos 2t − 1 2 sin 2t ! , un modo pseudoperiodico limitato, di periodo π. b. Risposta indiciale. Con D = 0, W (t) = C eAtB = cos 2t − 1 2 sin 2t, e con u = δ−1: yF (t) = Z t 0 W (t − τ ) dτ = Z t 0 W (σ) dσ = 1 2 sin 2t − 1 4 1 − cos 2t, t ≥ 0. c. Sistema campionato. Con T = π: AD = eAπ = cos 2π I + sin 2π 2 A = I, BD = Z π 0 cos 2θ I + sin 2θ 2 A dθ B = 0, perché R π 0 cos 2θ dθ = R π 0 sin 2θ dθ = 0. Quindi xD(k + 1) = xD(k), yD(k) = (0 1) xD(k). Gli autovalori sono e±2iπ = 1, doppio: ωT = 2π. d. Evoluzione libera campionata. xD(k) = Ak Dx0 = x0 per ogni k. È xL(kπ): il periodo di campionamento è uguale al periodo del modo, e ogni campione cade nello stesso punto dell’oscillazione, che non si vede più. e. Risposta indiciale campionata. Con BD = 0 e D = 0, yD(k) = Pk−1 τ =0 CAk−1−τ D BD = 0 per ogni k. Coincide con yF (kπ) = 0 del punto b.: l’ingresso non arriva mai all’uscita negli istanti di campionamento. ← Torna all’Esercizio 1, pagina 6 Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 7

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Soluzione dell’Esercizio 2 – Appello del 05/11/2024, II canale, Prof.ssa Claudia Califano, esercizio 2 Esponenziale. det(A − λI) = λ2 + 9: autovalori ±3i. Si verifica A2 = −9I, quindi, come nell’Esercizio 1, eAt = cos 3t I + sin 3t 3 A. AD. Con T = 3: AD = e3A = cos 9 + 1 3 sin 9 10 3 sin 9 −1 3 sin 9 cos 9 − 1 3 sin 9 ! ≈ −0,774 1,374 −0,137 −1,049 ! . BD. Integrando termine per termine: Z 3 0 eAθ dθ = sin 9 3 I + 1 − cos 9 9 A, e con AB = 1 −1 ! : BD = sin 9 3 1 0 ! + 1 − cos 9 9 1 −1 ! ≈ 0,350 −0,212 ! . Lo stesso risultato dà A−1(AD − I)B, con A−1 = −1 9 A. Rappresentazione. xD(k + 1) = AD xD(k) + BD uD(k), yD(k) = 1 0 xD(k). Controllo: det AD = cos2 9 + sin2 9 = 1, il prodotto degli autovalori e±9i. ← Torna all’Esercizio 2, pagina 6 Canale 1 · Prof. Paolo Di Giamberardino 8

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