Trasformata di Laplace e antitrasformazione

L'idea

Nel dominio $s$ l'uscita è $Y(s)=\Psi(s)\,x_0+W(s)\,U(s)$. Per tornare a $y(t)$ servono le trasformate dei segnali che compaiono, cioè i modi naturali e gli ingressi, e un modo di antitrasformare senza integrali nel campo complesso. Si costruisce una piccola tabella di trasformate, i cui integrali si calcolano una volta sola, poi si scompone ogni $F(s)$ in pezzi della tabella: la funzione del tempo si legge pezzo per pezzo.

Per esempio, con $W(s)=1/(s+1)$ e ingresso $u(t)=\sin\omega t$ la risposta forzata è

$$Y_f(s)=\frac{1}{s+1}\cdot\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$$

Una grandezza fisica, per esempio una tensione, si vuole però nel tempo: serve l'antitrasformata.

Esponenziale, seno e coseno

Con $\lambda$ numero complesso, l'integrale è quello del gradino con $s-\lambda$ al posto di $s$:

$$\mathcal L[e^{\lambda t}]=\int_0^{+\infty}e^{-(s-\lambda)t}\,dt=\frac1{s-\lambda}$$

Converge se $\operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(\lambda)$. Con $\lambda=0$ si ritrova $1/s$. D'ora in poi si lavora in un dominio dove tutte le trasformate considerate esistono, quindi la convergenza non si ricontrolla a ogni calcolo.

Seno e coseno, con $\omega$ reale, si scrivono come combinazioni di esponenziali complessi, e si usa la linearità:

$$\begin{gathered} \sin\omega t=\frac{e^{\mathrm i\omega t}-e^{-\mathrm i\omega t}}{2\mathrm i}\\ \cos\omega t=\frac{e^{\mathrm i\omega t}+e^{-\mathrm i\omega t}}{2} \end{gathered}$$ $$\begin{aligned} \mathcal L[\sin\omega t]&=\frac1{2\mathrm i}\Bigl(\frac1{s-\mathrm i\omega}-\frac1{s+\mathrm i\omega}\Bigr)\\ &=\frac1{2\mathrm i}\cdot\frac{2\mathrm i\omega}{s^2+\omega^2}=\frac{\omega}{s^2+\omega^2} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \mathcal L[\cos\omega t]&=\frac12\Bigl(\frac1{s-\mathrm i\omega}+\frac1{s+\mathrm i\omega}\Bigr)\\ &=\frac12\cdot\frac{2s}{s^2+\omega^2}=\frac{s}{s^2+\omega^2} \end{aligned}$$

Gli esponenti $\pm\mathrm i\omega$ hanno parte reale nulla, quindi per entrambe la condizione è $\operatorname{Re}(s)>0$.

Moltiplicare per un esponenziale

Se $f(t)$ ha trasformata $F(s)$, si raccoglie l'esponenziale nell'integrando:

$$\begin{aligned} \mathcal L[e^{\lambda t}f(t)]&=\int_0^{+\infty}f(t)\,e^{-(s-\lambda)t}\,dt\\ &=F(s-\lambda) \end{aligned}$$

Un esponenziale nel tempo sposta la trasformata: dove c'era $s$ si scrive $s-\lambda$. Con $f=1$ si ritrova $1/(s-\lambda)$. Con $f=\sin\omega t$ o $f=\cos\omega t$ e $\lambda=\alpha$ reale si hanno la quarta e la quinta riga della tabella qui sotto. Con $f=t^n/n!$, di trasformata $1/s^{n+1}$, l'ultima.

$f(t)$	$F(s)$	Condizione
$e^{\lambda t}$	$1/(s-\lambda)$	$\operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(\lambda)$
$\sin\omega t$	$\omega/(s^2+\omega^2)$	$\operatorname{Re}(s)>0$
$\cos\omega t$	$s/(s^2+\omega^2)$	$\operatorname{Re}(s)>0$
$e^{\alpha t}\sin\omega t$	$\omega/((s-\alpha)^2+\omega^2)$	$\operatorname{Re}(s)>\alpha$
$e^{\alpha t}\cos\omega t$	$(s-\alpha)/((s-\alpha)^2+\omega^2)$	$\operatorname{Re}(s)>\alpha$
$e^{\lambda t}\,t^n/n!$	$1/(s-\lambda)^{n+1}$	$\operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(\lambda)$

Una funzione complicata si può approssimare con un tratto della sua serie di Taylor o, se è periodica, con una somma di seni, coseni o esponenziali, e trasformare termine a termine con queste righe.

Ritardo nel tempo

Se più sistemi partono in istanti diversi, serve la trasformata di una funzione ritardata di $T\ge0$. Si ritarda il segnale $f(t)\,\delta_{-1}(t)$, nullo prima di $0$, e il risultato è nullo prima di $T$. Senza il gradino, $f(t-T)$ sposterebbe anche la parte di $f$ precedente a $0$. L'integrando è nullo prima di $T$, quindi l'integrale parte da $T$, e con $\theta=t-T$ diventa:

$$\begin{aligned} \mathcal L[f(t-T)\,\delta_{-1}(t-T)]&=\int_T^{+\infty}f(t-T)\,e^{-st}\,dt\\ &=\int_0^{+\infty}f(\theta)\,e^{-s(\theta+T)}\,d\theta\\ &=e^{-sT}F(s) \end{aligned}$$

Il fattore $e^{-sT}$ non dipende da $\theta$, quindi esce dall'integrale e resta $F(s)$. C'è una simmetria: un esponenziale nel tempo è una traslazione in $s$, una traslazione nel tempo è un esponenziale in $s$.

Un segnale e la sua versione ritardata

$t$

• $f(t){\delta }_{-1}(t)$
• $f(t-T){\delta }_{-1}(t-T)$
• $f(t-T)$ senza gradino, prima di $T$

$T$

1,5

Antitrasformare

I modi naturali sono combinazioni delle funzioni della tabella, e lo sono anche gli ingressi usuali: costanti, sinusoidi. A parte l'impulso, le loro trasformate sono rapporti di polinomi con il numeratore di grado minore del denominatore (funzioni razionali strettamente proprie), e somme e prodotti di funzioni così lo restano. Quindi $F(s)$ si scompone in fratti semplici, che si trovano nella tabella, e si antitrasforma termine a termine. L'antitrasformata non si calcola: si trova. Alla fine si moltiplica per $\delta_{-1}(t)$, per ricordare che la funzione è nulla prima di $0$.

Poli reali distinti

Se il denominatore ha radici reali distinte $s_1,\dots,s_n$, ogni fratto ha denominatore di primo grado. Deve essere strettamente proprio come $F$: con un fratto solo proprio, nemmeno la somma lo sarebbe. Quindi il numeratore è una costante:

$$F(s)=\sum_{i=1}^{n}\frac{R_i}{s-s_i}$$

Le radici $s_i$ del denominatore sono i poli di $F$ e i numeri $R_i$ i residui: lo sviluppo in fratti semplici si chiama anche sviluppo in poli e residui. Un esempio:

$$F(s)=\frac{s}{(s+1)(s+2)}=\frac{R_1}{s+1}+\frac{R_2}{s+2}$$

Il metodo diretto prende il denominatore comune: il numeratore deve valere $s$, e si uguagliano i coefficienti dei polinomi.

$$R_1(s+2)+R_2(s+1)=(R_1+R_2)\,s+2R_1+R_2=s$$

Da $R_1+R_2=1$ e $2R_1+R_2=0$ segue $R_1=-1$, $R_2=2$. Con un denominatore di grado $21$ servirebbe un sistema lineare di $21$ equazioni.

Conviene un'altra strada. Si moltiplica $F(s)$ per $s-s_i$ e si fa tendere $s$ a $s_i$: tutti gli altri termini hanno ancora il fattore $s-s_i$ a numeratore e si annullano, e resta soltanto $R_i$.

$$R_i=\lim_{s\to s_i}(s-s_i)\,F(s)$$

Sono $n$ limiti, non un sistema. Ciascuno è la formula del residuo dell'analisi complessa. Nell'esempio:

$$\begin{aligned} R_1&=\lim_{s\to-1}\frac{s}{s+2}=-1\\ R_2&=\lim_{s\to-2}\frac{s}{s+1}=2 \end{aligned}$$

Dalla prima riga della tabella, $R_i/(s-s_i)$ ha antitrasformata $R_ie^{s_it}$, quindi

$$f(t)=\sum_{i=1}^{n}R_i\,e^{s_it}\,\delta_{-1}(t)$$

e nell'esempio $f(t)=(-e^{-t}+2e^{-2t})\,\delta_{-1}(t)$.

Un segnale come somma di due modi

$t$

• $f(t)=-e^{-t}+2e^{-2t}$
• $R_1{e}^{-t}$, con $R_1=-1$
• $R_2{e}^{-2t}$, con $R_2=2$

Poli multipli

Se $s_1$ ha molteplicità $r$, nello sviluppo compaiono tutte le potenze del suo fattore, da $r$ fino a $1$:

$$F(s)=\sum_{k=1}^{r}\frac{R_{1k}}{(s-s_1)^k}+\cdots$$

I puntini sono gli altri poli. Con la sola potenza $r$ il numeratore sarebbe un polinomio, e i suoi coefficienti non si separano con i limiti. Un numeratore di grado minore di $r$ si riscrive invece in potenze di $s-s_1$, e ciascuna semplifica il denominatore: scrivendo tutte le potenze ogni numeratore è una costante.

Gli altri poli si trattano come prima. Per $s_1$ si pone $G(s)=(s-s_1)^rF(s)$, regolare in $s_1$, dove $(\cdots)$ indica i termini degli altri poli:

$$G(s)=\sum_{k=1}^{r}R_{1k}\,(s-s_1)^{r-k}+(s-s_1)^r\,(\cdots)$$

Derivando $r-k$ volte, i termini con potenza di $s-s_1$ minore di $r-k$ spariscono e quelli con potenza maggiore valgono zero in $s_1$: resta solo $(r-k)!\,R_{1k}$, quindi

$$R_{1k}=\frac1{(r-k)!}\,\frac{d^{\,r-k}G}{ds^{\,r-k}}\Big|_{s=s_1}$$

Per $k=r$ è il limite di $G$, per $k=r-1$ la derivata prima, e così via. Dall'ultima riga della tabella, $1/(s-s_1)^k$ ha antitrasformata

$$\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}\,e^{s_1t}$$

quindi un polo multiplo dà potenze di $t$ davanti all'esponenziale.

Se la scomposizione dà

$$\begin{aligned} F(s)={}&\frac{2}{(s+1)^3}+\frac{1}{(s+1)^2}\\ &-\frac{3}{s+1}+\frac{2}{s+2} \end{aligned}$$

ogni termine si legge nella tabella, con gli stessi coefficienti. Il primo dà $2\,(t^2/2)\,e^{-t}=t^2e^{-t}$:

$$f(t)=\bigl((t^2+t-3)\,e^{-t}+2e^{-2t}\bigr)\,\delta_{-1}(t)$$

Leggi di un polo triplo in $-1$

$t$

• $e^{-t}$
• $t{e}^{-t}$
• $t^2{e}^{-t}/2$

Poli complessi coniugati

Con coefficienti reali, i poli complessi sono coppie coniugate $s_1=\alpha+\mathrm i\omega$ e $s_1^*=\alpha-\mathrm i\omega$, come per le righe del seno e del coseno. Se sono radici semplici, in campo complesso sono due poli distinti, quindi

$$F(s)=\frac{R_1}{s-s_1}+\frac{R_2}{s-s_1^*}+\cdots$$

I residui si calcolano con i limiti, in campo complesso, e in generale sono complessi (in $\mathcal L[\cos\omega t]$ valgono però $1/2$). Poiché $F$ è reale per $s$ reale, $F(s^*)=F(s)^*$ e i due limiti sono coniugati: $R_2=R_1^*$. Se ne calcola uno solo, che si scrive $R_1=R_a+\mathrm iR_b$. La somma delle due antitrasformate è reale:

$$\begin{aligned} &R_1e^{(\alpha+\mathrm i\omega)t}+R_1^*e^{(\alpha-\mathrm i\omega)t}\\ &=2e^{\alpha t}\bigl(R_a\cos\omega t-R_b\sin\omega t\bigr) \end{aligned}$$

Lo stesso risultato si ottiene restando in $s$, con i termini della tabella:

$$\frac{R_1}{s-s_1}+\frac{R_1^*}{s-s_1^*}=\frac{2R_a(s-\alpha)-2R_b\,\omega}{(s-\alpha)^2+\omega^2}$$

I due termini del numeratore sono le righe del coseno e del seno, e per ogni coppia complessa si ragiona così. In un esercizio $R_1$ è un numero: davanti al coseno compare il doppio della sua parte reale, e non serve ricordare la formula, perché esce dai conti.

Poli e legge nel tempo

Poli nel piano $s$

$\alpha +\mathrm{i}\omega$$\alpha -\mathrm{i}\omega$ReIm

• convergenza $\mathrm{Re}(s)>\alpha$

Antitrasformata della coppia, $R_1=0,4-0,3\mathrm{i}$

$t$

• $2e^{\alpha t}(R_a\cos \omega t-R_b\sin \omega t)$
• inviluppo $\pm 2|R_1|e^{\alpha t}$

$\alpha$

−0,5

$\omega$

1,5

Matrice di transizione e polinomio minimo

Lo sviluppo vale anche per una matrice di funzioni: i residui hanno le sue dimensioni, perché i termini $R_i/(s-s_i)$ sommati devono dare $F$, e si calcolano con gli stessi limiti, elemento per elemento.

La matrice $\Phi(s)=[sI-A]^{-1}=\mathcal L[e^{At}]$ permette di calcolare $e^{At}$ per qualunque $A$, senza autovalori né autovettori: si inverte $sI-A$ e si antitrasforma. Vale anche per $A$ non diagonalizzabile, ma dà le leggi, non gli autospazi né le direzioni dei modi.

$$\begin{gathered} \Phi(s)=\frac{\operatorname{adj}(sI-A)}{d(s)}\\ d(s)=\det(sI-A) \end{gathered}$$

$d(s)$ è il polinomio caratteristico e le sue radici sono gli autovalori. Un fattore comune al determinante e a tutti gli elementi dell'aggiunta si semplifica: il denominatore che resta è il polinomio minimo $m(s)$. Ha le stesse radici di $d(s)$, con molteplicità minori o uguali: la molteplicità di una radice in $m(s)$ si chiama anche indice dell'autovalore. Nessuna radice sparisce, perché $e^{At}$ contiene la legge $e^{\lambda_it}$ di ogni autovalore.

Se tutte le radici di $m(s)$ sono semplici, $e^{At}$ contiene solo esponenziali semplici e $A$ è diagonalizzabile. Confrontando con la forma in $t$, il residuo di $\lambda_i$ è la somma dei prodotti $u_{ij}v_{ij}$ sui suoi autovettori:

$$\begin{gathered} e^{At}=\sum_ie^{\lambda_it}\,R_i\\ R_i=\sum_ju_{ij}v_{ij} \end{gathered}$$

In questo caso il residuo ha rango uguale alla molteplicità algebrica di $\lambda_i$: la molteplicità che $m(s)$ perde si legge nel rango del residuo. Se $m(s)$ ha una radice multipla compaiono potenze di $t$ e $A$ non è diagonalizzabile.

Un caso con autovalore doppio è $A=I$:

$$\begin{gathered} d(s)=\det(sI-A)=(s-1)^2\\ \Phi(s)=\frac{(s-1)\,I}{(s-1)^2}=\frac{1}{s-1}\,I \end{gathered}$$

L'aggiunta è $(s-1)\,I$ e il fattore $s-1$ si semplifica: resta $m(s)=s-1$, con radice semplice come per ogni matrice diagonalizzabile. Il residuo $I$ ha rango $2$, la molteplicità algebrica.

Funzione di trasferimento e modi

Dall'inversa seguono le altre matrici in $s$:

$$\begin{gathered} \Psi(s)=C\Phi(s)\\ H(s)=\Phi(s)B\\ W(s)=C\Phi(s)B+D \end{gathered}$$

Moltiplicare per $C$ o per $B$ combina gli elementi di $\Phi(s)$, e il numeratore può acquisire fattori del denominatore, che si semplificano. Ogni radice che resta dà, antitrasformando, una legge nel tempo, e $\Psi(t)=Ce^{At}$ contiene solo le leggi dei modi osservabili, $H(t)=e^{At}B$ solo quelle dei modi eccitabili. Quindi:

• In $\Psi(s)=C\Phi(s)$ restano i modi osservabili, quelli che si vedono nell'uscita.
• In $H(s)=\Phi(s)B$ restano i modi eccitabili, quelli che l'ingresso può attivare.
• In $W(s)$ restano, con autovalori distinti, i modi che sono insieme osservabili ed eccitabili.

Le radici del denominatore di $W(s)$ sono i poli della funzione di trasferimento, e il grado di quel denominatore è al più $n$. Sono autovalori di $A$, ma non tutti: un autovalore che non è polo appartiene a un modo che non compare nella risposta forzata in uscita. Un polo può anche avere in $W(s)$ molteplicità minore che in $d(s)$.

Per esempio, se $A$ ha autovalori distinti $-1,0,1,2$, allora $m(s)=d(s)=(s+1)\,s\,(s-1)(s-2)$. Se i modi osservabili sono quelli di $-1,0,1$ e gli eccitabili quelli di $-1,2$, dopo le semplificazioni restano questi denominatori:

$$\begin{gathered} \Psi(s):\ (s+1)\,s\,(s-1)\\ H(s):\ (s+1)(s-2)\\ W(s):\ s+1 \end{gathered}$$